2022年高三寒假数学综合卷一.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三寒假数学综合卷（一）一、填空题 （每道题 5 分,共 70 分）1、设复数z 12i z 2x2 i xR ,如z 1z 为实数,9否就 x 为. 开头2、e RN*Nx13、半径为 1 的半球的表面积为. 4、“ycosx 是周期函数” 写成三段论是：y1大前提：三角函数都是周期函数x5.小前提：是输出 y结论：函数ycosx 是周期函数y2y15、如某程序框图如所示,就该程序运作后输出的y 等于xx1结束 . 1 4,就该6、在锐角ABC中,A2B,B,C 的对边长分别是b c ,就bbc的取值范畴是. 7、如双曲

2、线x2y21 a0,b0的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的22ab双曲线的渐近线方程是 . 的最小值8、已知各项均为正数的等比数列a n 满意:a 7a 62 a 5,如a ma n2 ,就1mn为 . 名师归纳总结 9 、 已 知定 义 在 R 上 的 可导 函 数yf x 的 导 函 数为f/ x , 满 足f/ f x 且第 1 页,共 9 页yf x1为偶函数,f21,就不等式f x x e 的解集为. 10、两圆x2y22axa40aR和x2y24b y14b0bR恰有三条共切线,就11的最小值为 . ab11、设定义在R 上的函数f x 满意对x tR ,且t0,都有t f x

3、tf 0,就 , x y|yf x , |ya 的元素个数为12 、设点a,b 在平面区域Da,b |a| ,|b|1中按匀称分布显现,就椭圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 xy21优秀学习资料欢迎下载（ab0）的离心率 e 3的概率为2 ab2213 已知ABC 中, I 为内心,AC2,BC3,AB4,且AIxAByAC,就 xy 的值为 . 14、已知数列 an的各项都是正整数, 且an13a n5a n 为奇数1 为奇数的正整数ana n 为偶数,k是使 a n2k如存在m* N ,当 nm且a 为奇数时,a 恒为常数 p ,就 p二、解

4、答题15、14 分 如图,正ABC的边长为 15,AP1AB2AC ,BQC 1AB2AC 3555（1）求证：四边形APQB为梯形；（2）求梯形 APQB 的面积16、（14 分）如图,已知正四周体ABCD的棱长为 3cmA P B Q （1）求证： ADBC；（2）已知点E 是 CD 的中点,点P 在 ABC的内部及边界上运动,且满意EP 平面 ABD,试求点 P 的轨迹；（3）有一个小虫从点 A 开头按以下规章前进：在每一个顶点处等可能地挑选通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到终点,当它爬了 12cm 之后,求恰好回到 A 点的概率D C 名师归纳总结 - - - - - - -

5、第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载31海里的 B 处有一艘走私17、（14 分）在海岸 A 处,发觉北偏东0 45 方向、距离A处船；在 A 处北偏西 75 方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的辑私船奉命以 010 3 海里 / 小时的速度追截走私船 . 同时,走私船正以 10海里 / 小时的速度从 B处向北偏东 30 方向逃跑,问辑 0私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？D C B A 18、（16 分）如图,在平面直角坐标系中,方程为x2y2DxEyF0的圆 M 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相

6、互垂直,且（1）求证：F0；AC 和 BD 分别在 x 轴和 y 轴上 .（2）如四边形 ABCD 的面积为 8,对角线 AC 的长为 2,且AB AD0,求D2E24F的值；（3）设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G ,OHAB 且垂足为 H . 试用平面解析几何的讨论方法判定点O、G、H是否共线, 并说明理由 .y DMG名师归纳总结 AHOCx 第 3 页,共 9 页B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19、（16 分）定义：对于任意n优秀学习资料欢迎下载a n1且anM （ M 是与 n 无关* N ,满意条件a na n22的常数

7、）的无穷数列 a n 称为 T 数列2 *（1）如 na n n N ,证明：数列 a n 是 T 数列；n（2）设数列 nb 的通项为 nb 24 n 3,且数列 nb 是 T 数列,求 M 的取值范畴；（3）设数列 nc q 1 n N ,问数列 *nc 是否是 T 数列？请说明理由n p20、（16 分）对于正整数 a b,存在唯独一对整数 q 和 r,使得 a bq r ,0 r q .特殊地,当 r 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b a ,已知 A 1,2,3, ,23 . （1）存在 q A,使得 2022 91 q r 0 r 91,试求 q r 的值；（ 2）求证：不存在

8、这样的函数 f : A 1,2,3,使得对任意的整数 x x 2 A ,如| x 1 x 2 | 1,2,3,就 f x 1 f x 2 ；（3）如 B A card B 12 card B 指集合 B 中元素的个数） ,且存在 a b B b a b a ,就称 B 为“ 和谐集”.求最大的 m A,使含m的集合A的有 12 个元素的任意子集为“ 和谐集” ,并说明理由 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载答案一、填空题1、4；2、0； 3、5；4、y cos x 是三角函数；5、63； 6

9、、1 1 , ； 7、x 3 y 0；3 3 28、4； 9、 0, ；10、1； 11、或；12、1； 13、2； 14、1 或 5. 16 3二、解答题15、解：（1）因 PQ PA AB BQ = 1 AB 2 AC AB 1 AB 2 AC =13 AB , 4 分3 5 5 5 15故 PQ AB ,且 | PQ |=13 ,| AB |=15 ,| PQ | | AB | ,于是四边形 APQB为梯形 7 分（2）设直线 PQ交 AC于点 M,就 AM 2AC ,故梯形 APQB的高 h 为正 ABC的 AB边上5高的2,即 h 2 3 15 3 3 11 分5 5 2从而,梯形

10、APQB的面积为1 13 15 3 3 42 3 14 分216、解：（1）取 BC中点 M ,连 AM ,DM因 ABC及 BCD均为正三角形,故 BCAM ,BCDM 因 AM, DM 为平面 ADM 内的两条相交直线,故BC平面 ADM,于是 BCAD 4 分（2）连接 EM,并取 AC的中点 Q,连 QE,QM于是 EQ AD,故 EQ 平面 ABD同理 MQ 平面 ABD因 EQ,MQ 为平面 QEM 内的两条相交直线,故平面 QEM 平面 ABD,从而点 P 的轨迹为线段 QM 8 分（3）依题设小虫共走过了 4 条棱,每次走某条棱均有 3 种挑选,故全部等可能基本领件总数为 3

11、4=81 10 分走第 1 条棱时,有 3 种挑选,不妨设走了 AB,然后走第 2 条棱为：或 BA 或 BC或 BD如第 2 条棱走的为 BA,就第 3 条棱可以挑选走 AB,AC,AD,计 3 种可能；如第 2 条棱走的为 BC,就第 3 条棱可以挑选走 CB,CD,计 2 种可能；同理第 2 条棱走 BD 时,第 3 棱的走法亦有 2 种挑选 12 分故小虫走 12cm 后仍回到 A 点的挑选有3 3+2+2=21 种可能名师归纳总结 于是,所求的概率为2170 14 分第 5 页,共 9 页812717、解：设辑私船t 小时后在 D 处追上走私船,就有CD103 t,BD10t.在AB

12、C 中,AB3,1AC2 ,ABC120. 利用余弦定理可得BC6. 4 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由正弦定理,sinABCAC优秀学习资料2欢迎下载2, sinBAC3BC6220 0得 ABC 45,即 BC 与正北方向垂直 . 于是 CBD 120 . 8 分0在 BCD中,由正弦定理得,sin BCD BD sin CBD 10 t sin 120 1CD 10 3 t 2得 BCD 30 0, 又 CD0 BC0,10 3 t6,得 t 6. 12 分sin 120 sin 30 3 106答： 当辑私船沿东偏北 30 的方向能最快

13、追上走私船,最少要花的时间为 小时 . 1014 分名师归纳总结 18、解 :（1）证法一：由题意,原点O 必定在圆 M 内,第 6 页,共 9 页即点 0,0 代入方程x2y2DxEyF0的左边后的值小于0,于是有F0,即证 . 4 分证法二：由题意,不难发觉A 、 C 两点分别在x 轴正负半轴上 . 设两点坐标分别为A a,0,C c ,0,就有ac0. 对于圆方程x2y2DxEyF0,当y0时,可得x2DxF0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,于是有x xCacF . 因 为ac0,故F0. 4 分（2）不难发觉,对角线相互垂直的四边形ABCD 面积SAC2BD,由于S8,AC2

14、,可得BD8. 6 分又由于AB AD0,所以A 为直角,而由于四边形是圆M 的内接四边形,故BD2r8r4. 8 分对于方程x2y2DxEyF0所表示的圆,可知D2E2Fr2,所以44D2E24F4r264. 10 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载0,b ,C c ,0,D0, d. （3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A a ,0,B名师归纳总结 就可得点 G 的坐标为c d ,2 2,即OGc d ,2 2. 12 分第 7 页,共 9 页又ABa b ,且 ABOH ,故要使 G 、 O 、 H 三点共线,只需证AB

15、OG0即可 . 而AB OGbd2ac,且对于圆 M 的一般方程x2y2DxEyF0,当y0时可得x2DxF0,其中方程的两根分别为点A 和点 C 的横坐标,于是有x xCacF . 14 分同理,当x0时,可得y2EyF0,其中方程的两根分别为点B 和点 D 的纵坐标,于是有y yDbdF . 所以,AB OGbd2ac0,即 ABOG . 故 O 、 G 、 H 必定三点共线 . 16 分19、解： 1 由an2 n 得anan22 an1n2n222n2 120所以数列a n满意a na n2a n1. 2an2 n n* N 单调递减 ,所以当 n=1 时,a 取得最大值 -1,即an

16、1. 所以,数列a n是 T 数列 . 4 分2 由b n24n3n得b n1b n24n1n 3124 nn 324n 2 3,当 242 3n0,即n2时,b n1b n0,此时数列nb单调递增； 6 分而当n3时,b n1bn0,此时数列nb单调递减；因此数列nb中的最大项是b ,所以, M 的取值范畴是Mb 349. 9 分4（3） 假设数列nc是 T 数列,依题意有：c nc n22c n1p1np12p21pn p21pn2 11 分nnn由于n* N ,所以当且仅当p 小于 n 的最小值时 ,c nc n2c n10对任意 n 恒成立,2- - - - - - -精选学习资料 -

17、 - - - - - - - - 即可得p1. 优秀学习资料欢迎下载 14 分名师归纳总结 又当p1时,np0,cnqn1pq,故 Mq第 8 页,共 9 页综上所述：当p1且 Mq 时,数列nc是 T 数列 16 分20、（1）解：由于 202291 229 ,所以q22,r9. 3 分（ 2 ） 证 明 ： 假 设 存 在 这 样 的 函 数f:A1,2,3, 使 得 对 任 意 的 整 数,x y , 如|x 1x2| 1,2,3,就fx 1f x2. 设f1a a1,2,3,f2b b1,2,3,由已知 ab . 由于 | 31|2,| 32 |1,所以f3f1, 3f2. 6 分不妨

18、令f3c c1,2,3,这里ca且cb,同理,f4b,且f4c, 由于 1,2,3 只有三个元素,所以f4a . 即f1f4,但 | 41|3 ,与已知冲突 . 因此,假设不成立,即不存在这样的函数f:A1,2,3,使得对任意的整数x 1,x 2A ,如|x 1x2| 1,2,3,就f x 1f x 2. 9 分（ 3） 解 ： 当m8时 , 记M7i|i1, 2,16, N27ii |1, 2, 3, 记Pe MN, 就c a r d P1 2, 显 然 对 任 意 1ij16, 不 存 在n3, 使 得7jn 7i 成立 .故 P 是非 “ 和谐集” ,此时,P8,9,10,11,12,1

19、3,14,15,17,19,21,23同理,当m9,10,11,12时,存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为“ 和谐集”. 因此m7. 12 分下面证明：含7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“ 和谐集”. 设Ba a2,a 11,7. 如 1,14,21 都不属于集合B ,构造集合B 12, 4,8,16,B 23,6,12,B 35,10, 20,B 49,18,B 511,22,B/13,15,17,19, 23. 以上B 1,B 2,B 3,B4,B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B/B 的情形,也即/ B 中 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,B 3,B 4,B 这 5 个集合中选取6 个个元素全都是 B 的元素, B 中剩下 6 个元素必需从B B2元素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述, 含 7 的任意集合 A的有 12 个元素的子集B为“ 和谐集” ,即 m 的最大值为7. 16 分名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页