2022年高中数学不等式知识点总结教师版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学不等式专题老师版一、高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含肯定值的不等式考试要求：1懂得不等式的性质及其证明2把握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简洁的应用3把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式4把握简洁不等式的解法5懂得不等式a - b a+b a + ba. b ;ab0ab .二、 不 等 式知 识要点1.不等式的基本概念（1）不等等号的定义：ab0ab ;ab0（2）不等式的分类：肯定不等式；条件不等式；冲突不等式（3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式

2、与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质1a b b a对称性2a b , b c a c传递性3a b a c b c加法单调性4a b , c d a c b d同向不等式相加5a b , c d a c b d异向不等式相减6a . b , c 0 ac bc7a b , c 0 ac bc乘法单调性8a b 0 , c d 0 ac bd同向不等式相乘9 a b 0,0 c d a b异向不等式相除c d10 a b ab 0 1 1倒数关系a b11a b 0 a n b n n Z , 且 n 1平方法就12a b 0 n a n b n Z , 且 n 1开方法就3. 几个重

3、要不等式1如aR,就|a|0,a20a2b22|ab|2 ab当仅当 a=b 时取等号2如a、bR,就a2b22 ab 或3假如 a,b 都是正数,那么abab.当仅当 a=b 时取等号2极值定理：假设x yR,xyS xyP 就：1 假如 P 是定值 , 那么当 x=y 时, S 的值最小；2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时, P 的值最大 . 名师归纳总结 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等. 第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 如 、 、cR,就abc3abc当仅当 a=b=c 时取等号35 如a

4、b0,就ba b2当仅当 a=b 时取等号|a2 xa2axaa6a0 时,x|ax2a2xa或xa ;|x7如 a、bR ,就|a|b|ab|a|b|4. 几个闻名不等式1平均不等式：假如 a,b 都是正数,那么2aba2ba22b2.当仅当 a=b 时11aba、b 为正数：取等号即：平方平均算术平均几何平均调和平均特殊地,aba2b2a2b2当 a = b 时,a2b2a22b2ab2a2b2c2abc2a,b,cR,abc 时取等33a n2幂平均不等式：2 a 1a2.a21a 1a2.2nn注：例如：acbd2a2b2c2d2. 1n111 nn2常用不等式的放缩法：1n11111

5、1nn nn2n nn1nn1n121nn1n1nn1n12柯西不等式：如a 1 ,1 b 1a2,a 3 ,2 b 2a 1,an b23R,b 1,b2, b 3b n 2a n,bn a 1 2R ; 就a 22（aaa 3aaa2a2b 1 2b 2 2b2b2a3n3n3n当且仅当时取等号b 1b 2b 3bn3琴生不等式特例与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数ffx,x2对于定义域中任意两点x x 1 2x 1x 2,有fx 12x2f x 12f x 2或x 12f x 12f x2.就称 fx 为凸或凹函数. 5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反

6、证法、放缩法、构造法 . 6. 不等式的解法1整式不等式的解法根轴法. 步骤：正化,求根,标轴,穿线偶重根打结,定解 . 特例 一元一次不等式 axb 解的争论；一元二次不等式 ax 2+bx+c0 a 0 解的争论 . 2分式不等式的解法：先移项通分标准化,就名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x 0f x g x 0;f x 0f x g x0g x 0g x g x 3无理不等式：转化为有理不等式求解1ff x gg x f g f x 0定义域0 03fxgx f g x x 0 0x2g x 02x x

7、或f g x x f x g x x x 0 0x2fx gfx g4. 指数不等式：转化为代数不等式af ag x a10f x g x ;afxag x0a1f x g x af b a0,bf x lgalgb5对数不等式：转化为代数不等式logaf x logag x a1f x 0;logaf x logag x 0a1f x 0g x 0g x 0f x g x f x g x 6含肯定值不等式1 应用分类争论思想去肯定值；2 应用数形思想；3应用化归思想等价转化|fx|gxg x g x0fxgxgx0gx 或fxgx|fx|gx gx0fx,gx不同时为0 或fx注：常用不等式

8、的解法举例x 为正数：x 1x212 1x 1x 1 2 2 334227y2 3同号,故取等2yx 1x2y22x21x21x21 2 2 3342279|1 x类似于ysinxcos2xsinx1sin2x ,|x1| |x|x 与1xx三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式a2bab a0,b0, 当且仅当ab 时等号成立是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题；对于有些题目, 可以直接利用公式求解；但是有些题目必需进行必要的变形才能利用均值不等式求解；下面是一些常用的变形方法；一、配凑1. 凑系数名师归纳总结 例 1. 当 0x4时,求 yx 82 x的最大值；第 3 页,共

9、12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：由 0x4知, 82x0,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到 2x82 x8为定值, 故只需从而可利用均将 yx 82x 凑上一个系数即可；yx 82x 12 x82 x12x82x28222当且仅当 2x82x ,即 x2 时取等号；所以当 x2 时, yx 82 x的最大值为8；评注： 此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,值不等式求最大值；2. 凑项对 4例 2. 已知 x5,求函数 f x 4x215的最大值；415不是

10、定值,故需44 x解析：由题意知4x50,第一要调整符号,又4x2xx2进行凑项才能得到定值； x5,54x04f x 4x21 54x35134x54 x254x 132154x当且仅当 54x51x,即 x1时等号成立；4评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；3. 别离例 3. 求 yx27x10x1 的值域；x1的项,再将其x1解析：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有别离；名师归纳总结 yx27x10x1 2x5 x1 4x1 x415第 4 页,共 12 页1x11 时1当 x0,即 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

11、 - - - y2x1 x4159当且仅当x1 时取“ ” 号；当 x10,即 x1 时m0,gx 恒正y52x1 x411当且仅当x 3 时取“ ” 号； yx2x7x10x 1 的值域为 ,1 9,；1评注：分式函数求最值,通常化成ymg x AB A0,g x 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值；二、整体代换名师归纳总结 例 4. 已知 a0,b0,a2 b1,求 t11 的最小值；b第 5 页,共 12 页a解法 1：不妨将1a1 1 1 1 a b a1乘以 1,而 1 用 a 2b 代换；b1 a 2 b b12ba2ab32 baab322baab32 2当且仅当2b aa

12、时取等号,由2b2a,得a121abb2bab12即a121时, t11 的最小值为 3 b2 2 ；b2a2解法 2：将1 a1分子中的 1 用 a2 b代换；b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aa2 bab2 b12ba2ab312ba32 2t32 ba,而2b a与a b的积为定值,即ab评注：此题奇妙运用“1” 的代换,得到ab可用均值不等式求得t1 的最小值；ba三、换元例 5. 求函数 y2xt2的最大值；t22 t0 ,就y2 tt1x5解析：变量代换,令x2 ,就 x2当 t0 时, y0 当 t0 时, y11122 t2 2 t

13、1 t4t当且仅当 2t1,即 t2 2时取等号；t故 x3时,ymax2 4；2评注：此题通过换元法使问题得到了简化,值问题,从而为构造积为定值制造有利条件；四、取平方而且将问题转化为熟识的分式型函数的求最名师归纳总结 例 6. 求函数 y2x152x1x5 的最大值；第 6 页,共 12 页22解析：留意到2x1 与52x的和为定值；y22x152x2422x1 52x42x1 52x 8又 y0,所以 0y2 252x ,即 x3时取等号；当且仅当 2x12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 y max 2 2 ；评注：此题将解析式两边平方构造

14、出“ 和为定值” ,为利用均值不等式制造了条件；总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“ 一正二定三相等” ,同时仍要留意 一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式；高中数学一轮复习专讲专练教材回扣 练：基本不等式 一、挑选题+考点分类 +课堂内外 +限时训1假设 a 0,b0,且 ln ab 0,就1 a1 b的最小值是 A. 1 4B1 C4 D8 ab1,解析： 由 a0,b 0,ln ab 0,得 a0,b0.故1 abab ab1 ab1214. 2. ab122当且仅当 ab1 2时,上式取等号答案： C 2 已知不等式 xyxa y9 对任意正实数x,y 恒成立,就正实数a

15、 的最小值为 B4 A2 C9 D1 6 解析： xyxa y1x yay xa. x0,y0,a0,1ax yy x a1 a2 a. 4. 由 91 a2a,得 a 2a80,a4a2 0 . a0,a2, a4, a的最小值为答案： B 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知函数f x lg5x 4 5 xm 的值域为 R,就 m的取值范畴是 A 4, B 4,C , 4 D , 4 解析：设 g x 5 x5 4xm,由题意 g x的图像与 x 轴有交点, 而 5 x4 5 x4,故 m 4,应选 D.

16、答案： D 4当点 x,y在直线 x3y20 上移动时,表达式3 x27y1 的最小值为 A3 B5 3 217. C1 D7 解析： 方法一：由x3y20,得 3y x2. 3 x27 y13x33y13x3x2 1 3 x9 3 x1 2 3 x9 x17. 3当且仅当 3x9 3 x,即 3x3,即 x1 时取得等号方法二： 3x27y1 3 x 3 3y123x 33y12答案： D 5已知 x 0,y0,x2y2xy 8,就 x 2y 的最小值是 A3 B4 C.9D.1122解析： 2xyx 2 y x2y2,2原式可化为 x2y24 x2y 320.又 x0,y0, x2y4.

17、当 x2,y1 时取等号答案： B 名师归纳总结 62022 苍山调研 已知 x0,y0,lg2xlg8ylg2 ,就1 x1 3y的最小值是 第 8 页,共 12 页A2 ylg2 ,得 lg2x3ylg2. B22 C4 D23 解析： 由 lg2xlg8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3y1,1 x1 3yx 1 3y x3y 2 x 3y3y x4.答案： C 二、填空题7设 x、yR,且 xy 0,就 x 2y 12x 124y 2 的最小值为 _解析：x 21y2x 124y 2 144x 2y 2x 12y 21 42 49. 1 2

18、当且仅当 4x 2y 2x 2y 2时等号成立,即 | xy| 2时等号成立 . 答案： 9 82022 台州调研 假设实数 a,b 满意 ab 4ab10 a1 ,就 a1 b2 的最小值为 _解析： ab 4ab 10,b4a1 a1, ab4ab1. a1 b 2 ab2ab26a2b1 6a4a1 a1 2 1 1 6a4a13 2a16a86 a 11 6 a 1 6 a115. a1, a10. 6原式 6 a1 a1152 6 6 1527. 当且仅当 a 1 21,即 a2 时等号成立最小值为 27. 答案： 27 92022 聊城质检 经观测,某大路段在某时段内的车流量y 千

19、辆 / 小时 与汽车的平均速度 v千米 / 小时 之间有函数关系：y920v v 23v1 600 v0 ,在该时段内,当车流量y最大时,汽车的平均速度v_千米 / 小时解析： v0,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - yv92032 920920 80 311.08 , 31 600v1 600 vv当且仅当 v1 600,即 v40 千米 / 小时时取等号 . v答案： 40 三、解答题10已知 x0,y 0,z0,且 xyz1. 求证：1 x4 y9 z36. 解析： x0,y0,z0,且 x yz1,1 x4

20、 y9 z x y z1 x4 y9 z 14 y x4xz x9x4z y9y14 2 yzzy x4x y2 z x9x z24z y9y z14 461236. 当且仅当 x21 4y21 9z 2,即 x1 6,y1 3,z1 2时等号成立1 x4 y9 z36. 11某学校拟建一块周长为400 m的操场如下图,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,同学做操一般支配在矩形区域,为了能让同学的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽解析： 设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m,名师归纳总结 中间的矩形区域面积为S m2,20 000. 第 10 页,共 12 页就半圆的周长为 y

21、 2 m. 操场周长为400 m,所以 2x2 y 2400,即 2x y4000 x 200,0 y400 Sxy1 2 2 x y 1 2 2x y22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由2x y,解得x 100,y200 .2x y400,x100,当且仅当y200时等号成立即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200 m 时,矩 形区域面积最大12已知 x,y 都是正实数,且 xy3xy50. 1 求 xy 的最小值；2 求 xy 的最小值解析： 1 由 xy 3xy50,得 xy5 3xy. 2 xy5 xy53xy. 3xy 2 xy5

22、0.xy 13xy5 0.xy. 2,xy5 3,即 xy25 9,等号成立的条件是此时 xy5 3,故 xy 的最小值是25 9 . 23 4 xy2 方法一： xy 53xy3xy 23 4 xy2 xy 50.即 3 xy2 4 xy 200.即 x y 23 x y 10 0.名师归纳总结 xy10 3 . 25 9,第 11 页,共 12 页等号成立的条件是xy,即 xy5 3时取得故 xy 的最小值为10 3 . 方法二：由 1 知, xy5 3xy,且 xymin3 xymin25 3 . xy min25 3 510 3,此时 xy5 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页