2022年高中数学解题八个思维模式和十个思维策略.docx

《2022年高中数学解题八个思维模式和十个思维策略.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学解题八个思维模式和十个思维策略.docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言“ 数学是思维的体操”“ 数学教学是数学 思维 活动的教学； ”学习数学应当看成是学习 数学思维过程 以及 数学思维结果 这二者的综合, 因而可以说数学思维是动的数学,而数学学问本身是静的数学,这二者是辩证的统一；作为思维载体的数学语言 简练精确 和数学形式具有 符号化、抽象化、结构化 倾向；高中数学思维中的重要向题它可以包括 : 高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非规律思维 包括形象思维、直觉思维

2、 问题争论 ; 高中数学思维的指向性 如定 向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等 争论 ; 高中数学思维才能评估：宽阔性、深刻性、敏捷性、灵敏性、批判性、制造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析,作为理性熟识的人的个体思维题可以分成三种：规律思维、形象思维、直觉思维一 数学规律思维 的基本形式 1、概念是规律思维的最基本的思维形式,数学概念间的规律关系,a同一关系 b 从属关系 c 交叉关系以及 d 对立关系 e 冲突关系 12、判定是规律思维在概念基础上的进展,它表现为对概念的性质或关系有所确定或否认,是熟识概念间联系的思维形式；3、推理是从一个或几个已知判定推出另一个新判定的思维

3、形式,是对判定间的规律关系的熟识；二 数学形象思维 的基本形式1 图形表象是与外部几何图形的外形相一样的脑中示意图,2 图式表象是与外部数学式子的结初关系相一样的模式形象；3 形象识别直感是用数学表象这个类象普遍形象的特点去比较数学对象的个象,依据形象特点整合的相像性来判别个象是否与类象同质的思维形式；4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1,对具有部分特点相同的数学对象进行表象补形, 实施整合的思维形式；5 形象相像直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感；6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特点判定；7 图形想象是以空间形

4、象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造；8 图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造；9 关于联想和猜想,它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式,也是数学形象思维的重要方法；三 数学直觉思维 的基本形式1、直觉是运用有关学问组块和形象直感对当前问题进敏捷的分析、推理,并能快速发觉解决向题的方向或途径的思维形式；2；灵感或顿悟是直觉思维的另一种形式；名师归纳总结 - - - - - - -1 / 6 第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用直觉思维是一种敏捷、快速的综合思维,既需要学问组块和规律推理的支持,也需

5、形象、体会和似真推 理的推动；意识又可分为显意识与潜意识；直感是显意识,而灵感是潜意识；思维的基本规律一反映同一律 ：等值变形,等价变换 二思维相像律 ：同中辨异,异中求同数学思维的特性一数学思维的概括性 数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特点和规律,能 够把握一类事物共有的数学属性；数学思维的概括性与数学学问的抽象性是互为表里、互为因果的；二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学学问的问题性相联结的,定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏,只有问题是数学的心脏；数学解题的思维过程是 数学问题的变换过程,数学问题的推广、引申和应用过程,是新

6、的数学问题发觉和解决的过程,也是数 学思维的深化过程和数学学问的进展过程；三数学思维的相像性 数学思维的相像性是思维相像律在数学思维活动中的反映；解决数学问题的根 本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处 理类似问题；并进而形成新模式,构成相像系列,即各种概念、命题与方法的相像链；数学思维的材料与结果数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分 外部材料是指数学思维的对象,即现实世界中存在的数量关系、空间 形式以及由此引申进展的各种 结构关系；例如各种详细的思维目标：数学的概念、命题、定理、公式、法就,数学问题初始状态中的 图形、符号和语言文字等

7、；内部材料是指思维主体已有的数学学问和体会,是储存于人脑的认知结构中的信息块；其中数学知 识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成,而数学体会信息块是一种带有模糊性质的思维“ 相像 块” ；数学思维才能的评判标准宽阔性： 发散思维深刻性： 收敛思维 集中思维和分析思维敏捷性： 辨证思维,进退互用,正难就反,倒顺相通灵敏性： 直觉思维,转化化归,识别模式,反应速度,娴熟程度独创性： 创新思维 直觉思维和发散思维中,解题方法新奇特殊；批判性： 独立摸索,善于提问,总结回忆,调控思维进程名师归纳总结 等六个方面,是高中数学思维才能的评判标准2 / 6 第 2 页,共 6 页- - - - - -

8、-精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用高中数学思维的关联系统关联系统的三个方面包含的主要内容是：数学关系数学学问,数学体会和数学语言等；心理关系动机与意志,情感、情境与爱好,性格与态度,精神与作风等；社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响；高中数学思维的一般方法一 观看与试验二 比较、分类与系统化三 归纳、演绎与数学归纳法四 分析与综合五 抽象与概括六 一般化与特别化七 模型化与详细化八 类比与映射九 联想与猜想高中数学中的重要思维模式一靠近模式 把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎；挑选适当的方向逐步靠近目标；正向靠

9、近一 顺推演绎法 、逆向靠近一 逆求分析法 、双向靠近一 分析综合法或两头夹法、反面靠近 - 反证法 、模糊靠近一 尝摸索究法 、近似靠近一 极限法 等；二叠加模式 采纳化整为零、 以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实施各个击破而使问题获解的思维方式；其思维程序是： 1把问题归结为假设干种并列情形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题； 2处理各种特别情形或解决各个小问题,将它们适当组合、叠加而得到问题的一般解； 爬坡法、规律划分法分类、分域进行争论和枚举、穷举都是它的别称、 中途点法、帮助定理法等都是此类, 3 容斥原理、抽屉原理与重叠原就,以及 负向的叠加 可称为叠减,在某种程度上

10、也 表达了登加模式的思想；名师归纳总结 - - - - - - -三变换模式变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简, 从而最终到达解决问题的思维方式；其思维程序是：1挑选适当的变换,等价的或不等价的加上约束条件, 以3 / 6 第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用转变问题的表达形式,2连续进行有关变换,留意整个过程的可掌握性和变换的技巧,直至到达目标状态；所谓等价变换,是指把原问题变更为新问题,使两者的答案完全相同；不等价变换就指新问题扩大或缩小了原问题的答应值范畴；包括 代数变换 代数式的恒等变形、代数

11、换元法、方程与不等式的同解变换与可掌握变换等；三角变换 三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等,几何变换 合同变换即平移、对称与旋转、相像变换 包括位似变换 、反演化换等；四映射模式 映射模式是把问题从本事域或关系系统 映射到另一领域,在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式,它与变换模式在本质上是一样的,但变换通常是指从一个数学集合到它自身的映射；几何法 ：把数、式的问题归结为形的问题加以解决；解析法 ：把几何问题归结为代数问题加以解决；复数法与向量法 一把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决；模拟法 ：把数学问题转化为物理问题或其他学科问题加以解决,其他如 极坐标

12、法、参数法 等也属于映射模式的范畴；五方程模式 方程模式又称函数模式是通过列方程或方程组与解方程或方程组来确定数学关系或解决问题的思维方式；方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要数学模型,它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法；其思维程序是：1把问题归结为确定一个或几个未知量；2列出已知量与未知量之间依据条件必需成立的全部关系式即方程；3解所得的方程或方程组得出结果；方程模式的思想通常适用于解决有关方程、函数与不等式等方面的很多问题,这是由于这三种数学对象之间存在某种相像和性,在肯定条件下是可以相互转化、相互为用的；六交轨模式交轨模式是通过别离问题的条件以形成满意每个条件的未

13、知元素的轨迹或集合,再通过叠加来确定未知元素而使向题解决的思维方式；交轨是一种特别的叠加,通常的叠加是求出集合才的并,而交轨的叠加是求出集合的交；交轨模式与方程模式也具有部分相通的关系,方程组与不等式组等内容既可以用交轨观点去看待,也可以用方程观点去分析,它们之间的区分仅是观看问题时所强调的侧重面的不同；交轨模式下的详细模式主要有：1、轨迹相交法 ：它包括双轨迹模式、 相像形模式、帮助图形模式及三轨迹模式等；双轨迹模式是：“ 把问题简化为作一个点；然后把条件分为两体部分,使每一部分变成未知点的一条轨迹；而每一条轨迹必需是 一条直线或者是一个圆”；2、交集法 一把向题的解归结成由几个条件所打算,

14、每一个条件都可以确定出某种元素的一个集合,这些集合的交集元素就是所求的解；七退化模式退化模式是运用联系转化的思想,将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法的地步,再以退求进来到达问题结论的思维方式；其思维程序是： 1将问题从整体或局部上后退,化为较易解决的简化问题、类比问题或特别情形、极端情形等, 而保持转化回原问题的联系通途；2用解决退化问题或情形的思想方法,经过适立当变换以解决原问题；如 降维法 ：从高维向低维后退；包括数据、 数量的简化：空间问题转化为平面问题,方程同题的消元、 降次, 行列式的降阶、去边等；类比法 ：联想形式类似的熟识问题与原问题作性质或解法的 比较对比,从中悟出相像

15、性联系以到达转化；特别化方法 ：从一般向特别后退；即从问题的特别情形或个别情形入手,观看性质或方法的变化规律,得出正确的解题途径；极端化方法 ：将问题退到极端情形,即考察极端元素耳或临界位置,往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题方法的过渡；八递归模式 递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值来确定通项或整个序列的思维方式；它适用于定义在自然 数集上的一类函数,是解决数学向题的一种重要规律模式,在计 算机科学中有着重要的应用；其思维程序是：1得出序列的第一项或前几项；2找到一个或几个关系式,使序列的一般项和它相邻的前 假设干项联系起来； 3利用上面得到的关系式或通过变换求

16、出更为基本的关系式如 等差、等比关系 等,递推地求出序列的一般项或全部项；一般地,在递推关系转换成基本关系时,用迭代方法就能消去全部中间项而得到序列的通项公式；高中数学解题常用的数学思维策略名师归纳总结 - - - - - - -4 / 6 第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用一 以简驭繁 ；数学学问的进展是由简洁到复杂,繁殖进展以至推演成为各门数学学科的；解题时的思维反应主要是学会浓缩观看数学形式结构,从总体的粗线条上把握题目的数学图式；或者将题中有关的概念或方法转化为较简的情形入手解决；数学中的 换元法、代换法、变换法、

17、递推法、母函数法及解方程中的 消元、降次方法 等就是表达这个策略的解题方法二 进退互用 ；先足够地退到我们所简洁看清晰 的地方,认透了钻深了,然后再上去华罗庚语；主要方式有： 从一般向特别后退；从抽象向详细后退,从高维向低维后退和从较强命题向较弱命题后退 ； 数学归纳法、体会归纳法、类比法、递推法、降维法、放缩法 等数学方法或解题方法就是进退互用的辩证思维在详细方法中的 一些总结；三 数形迁移 ；在解决数学问题时, 假设把一个命题的条件或结论给出的数量关系式称为式结构,而把它在几何外形上的表现图像或图形等称为形结构,数或式和形之间的相互迁移、转化的表现外形主要有：A、5 由形结构迁移至式结构,

18、解析几何是表达这种争论的典范；B、由式结构迁移至形结构 ,这就是通常所说的数形联想或几何方法,可使求解过程显得简洁直观；C、式结构或部分式结构之间的迁移 ,这是等价的式结构间的相互转换,常能发觉隐含条件和熟识各种变式间的本质联系与统一性,或者通过局部类比或相像联想的诱发解题线索以解决问题；D、形结构或部分形结构之间的迁移,几何变换就是利用了某种不变性来实现形与形之间的沟通；如 标法、交集法、抽屉原就、几何变换法、构造法、待定系数法于这个思想范畴；类比接法、关系映射反演原就、模拟法、坐 等数学方法和解题方法均在肯定意义上属四 化生为熟 ；人们熟识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程,往往会出现相

19、对的阶段性,在数学中就是所争论的问题总会有较为熟识和比较生疏之分；这样, 在熟识一个新事物或解决一个新问题时,往往会用已熟识的事物性质和问题特点去比较对比新事物和新问题,设法将新问题的分析争论纳入到已有的熟识结构或模式中来；化生为熟的目的是遇新思陈,推陈出新,起到用同求异,化难为易的作用；数学解题方法中的变更问题法或化归法、模式法、放缩法、构造法、类比法等都含有化生为熟的指导思想；五 正难就反 ；解决数学间题时,一般总是先从正面入手依据习惯的思维途径去进行摸索,这就是正向思维； 假如这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为剧烈的意识,就就是一 种定向思维；人们经常借助于一些详细的模式和方法

20、先加强这种思维定势,而使很多数学问题得到解决；但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的情形,或显现一题些规律上的困境；这时,就要从辩证思维的观点动身,克服思维定势的消极面,从问题或其中的某个方面的反面入手去进行摸索,实行顺繁就逆、正难就反的思维策略；就是说,当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法；当正向思维不能奏效时就采纳逆向思维去探究；当推理中显现规律冲突或缺陷时,就尝试从反面提出假设,通过背向思维进行论证；六 倒顺相通 ； 解数学题往往会用顺推,从条件动身之推出某些关系或性质去靠近结论,或者用逆求,由结论去查找使它成立的充分条件,直至追溯到已知事项,但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机

21、结合；倒顺相通策略的运用有两种表现形式；一种是侧重于整体性的摸索,即抓住两头,盯着目标,寻求压缩中间环节的解题捷径；一种是侧重于联通性的摸索,即两头夹击,沟通中间,到达目标的总体思路,也可以在解题过程中的局部加以使用；分析综合法就在此列；七 动静转换 ； 动和静数学中常表述为定是事物状态表现的两个侧面；在数学中,一方面动和静在一个参照系统中是相对的,可以转化的；另一方面,对于同一事物可以追寻形成静止状态以前 的运动过程； 或者反过来, 从运动表现中推出事物将会到达的相对静止局面；因此,在解决数学问题时,可用动的观点来处理静的数量和外形,即以动求静,也可以用静的方法来处理运动过程和事物,即以静名

22、师归纳总结 求动,数学中的变换法,局部固定法,几何作图中的轨迹相交法 等就是动静转换策略的详细运用；5 / 6 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学思维讲义,蒋老师培训班专用八 分合相辅 ； 从辩证思维的角度观看,任何事物的构成都具有“ 一中有多、多中有一” 的性质,从而任何事物都是可以分割或分解的 反映在数学思维策略上,就是在解题过程中可以将求解问题进行分割或分解, 转化成一些较小的 且易于解决的小问题,再通过相加或合成, 使原问题在整体上得 到解决,这就是化一为多,以分求合的思想方法；有时也可以反过 来,把求解问题纳入到

23、较大的合成问题中,寓分于合,以合求分,使原问题迎刃而解；因此,分与合相辅相成、互寓互用、转化统一,是辩证思维的重要策略之一；分合相辅的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合 等；数学中微积分方法的思想就是思维中的 一与多、分与合、有限与无限及离散与连续 间的辩证关系的表达；数学解题方法中的 枚举法、叠加法、中途点法, 几何中的 形体割补法 ,代数与三角中的 拆项、添项法 等都是分合 相辅策略的详细运用；九 引参求变 ；数学中的常量和变量是相互依存,并在肯定 条件下可以相互转化的；而参数 或参变量是介于常量和变量之 间的具有中间性质的量；二 参变量的本质虽然属

24、于变量,但又可把 它看成常数；正是由于参数的这种二重性和敏捷性,在解决数学问题时,引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力； 引参求变的思维策略是 将求解问题转化为参数问题加以解决,它是解决各种数学向题的有力武器通常提到参数就局限于解析几何中的参数方程的懂得 是特别片面的 ； 而数学中的 待定系数法、参数过渡法与参数方程法 等都是表达引参求变思想的详细解题方法；十 以美启真 ；教学美的含义是丰富的,数学概念的简洁性、统一性,结构系统的和谐性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,仍有数学中的奇特性等都是美的详细内容,上面的论述归结起来,可以认为数学美的主要内容有五个 方面,即简洁

25、性、对称性、相像性、和谐性或统一性与奇特性；以美启真“ 是指用 美的思想去开启数学真理,用美的方法去发觉数学规律、解决数学问题；追求简洁性,探求解题捷径；“ 多数学问题,虽然其表现形式地可能较为复杂,但其本质总是存在简洁的一面；因此,假如能用简区单的观点、简化的方法对间题进行整体处理或实施分解、变换、降 性维、减元等转化的策略,就往往能找到解题的简易途径；造成对称性,简化解题方法；有些问题用对称的眼光去观看,通过形象的补形造成对称,或者用对称变换调整元素关系,就这样问题就可得到简化；运用相像性,引申发散问题；由于相像的因素、相像的条件统能够产生相像的关系或相像的结果；因此,在数学解题中常可利工

26、程用相像性的启示,找到正确的解题思路,并能运用联想、 类比、猜 想等方法推广原命题,发觉新学问,形成问题链；利用和谐性,变更化归问题；解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归,而变换化归的依与统一；因此,利用和谐性, 就是设法将问题通过等价或不等价加据在于各种形式间在其本质上的和谐上掌握条件的转化,通过映射、分解、叠加等手段,使问题的 通,到达问题的解决；条件和结论在新的和谐的形式下相互沟构思奇特性,突破常规思维；奇特性的存在使得在解某些问题时,构造反例、寻求特例、实行反证递推途径或极端化手法能够 发挥意料不到的作用；逆向思维、 正难就反思想在解题中的运用就是对奇特性的通俗懂得,它与数学发觉中的奇特创新只是层次上的差异,而其思想实质是共通的；名师归纳总结 - - - - - - -6 / 6 第 6 页,共 6 页