2022年解析几何离心率.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何小练习以离心率为主1假设直线 x y 1 通过点 M cos,sin ,就a bAa 2b 1 Ba 2b 1 Ca 12 b11 Da 12 b11【答案】 D【 解 析 】 方 法 1 ： 由 题 意 知 直 线 x y 1 与 圆 x 2y 21 有 交 点 , 就a b1 11 1,a 12 b 121 .a 2 b 2方法 2：设向量 m = cos ,sin , n = 1 1, ,由题意知 cos sin1a b a bcos sin 1 1由 m nm n可得 12 2a b a b2如图, AB 是平面 a 的斜线段,

2、A 为斜足,假设点 P 在平面 a 内运动,使得ABP的面积为定值,就动点 P 的轨迹是 A圆B椭圆 C一条直线D两条平行直线【答案】 B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱外表的问题；考虑到三角形面积为定值,底边肯定,从而 P 到直线 AB 的距离为定值,假设忽视平面的限制,就 P 轨迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨迹为椭圆！仍可以实行排除法,直线是不行能的,在无穷远处,点到直线的距离为无穷大,故面积也为无穷大, 从而排除C与 D,又题目在斜线段下标注意点符号,从而改成垂直来处理,轨迹就为圆,故剩下椭圆为答案！3如图,F 和F 分别是双曲线x2r21 a0

3、,b0的两个焦点, A 和 B 是以 Oa2b2为圆心,以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,就双曲线的离心率为A3B5C5D132第 1 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 D 2 2【解析】 如图,F 和 F 分别是双曲线 x2 r2 1 a 0 , b 0 的两个焦点, A和 B 是a b以 O 为圆心,以 O F 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2 AB 是等边三角形,连接 AF1, AF2F1=30 , |AF 1|=c ,|AF 2|=

4、 3 c,2 a 3 1 c ,双曲线的离心率为 1 3,选 D；24已知抛物线 C : y 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且AK 2 AF ,就 AFK 的面积为 4 8 16 32【答案】 B 【解析】抛物线C:y28x 的焦点为F2 0, ,准线为x2K2 0,设A x 0,y 0,过 A点向准线作垂线AB ,就B2,y 022,解得A2,4AK2AF,又AFABx 02x 02由BK2AK22 AB 得y02x022,即8x 0x 0AFK 的面积为1KFy01448应选 B 22【点评】此题重点考察抛物线的其次定义,抛物线中与焦点,准线有关三

5、角形问题；【点评】由题意精确化出图象,利用离心率转化位置,在ABK 中集中条件求出0x 是关键；5 椭圆2x2F 2y21的焦点为F 1,F2, 两条准线与x 轴的交点分别为M、 N,假设2b2MNF 1,就该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 第2页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.x2y21B. x2y21C.x2y2122223D.x2y2123【答案】 A2 2【解析】由 MN 2 F 1 F 2 可得 2 a2 2 c 所以 c2 1 即 e 2 1可见 e 的最小c a 2 2值为 2 .

6、2又 a 2 2 b 2a 2c 2 2 1 12 2x y6直线 l 过双曲线 2 2 =1 的右焦点 ,斜率 k=2,假设 l 与双曲线的两个交点分别在双a b曲线左、右两支上 ,就双曲线的离心率 e 的取值范畴是 A.e 2 B.1e 3 C.1e 5【答案】 D 【解析】如图 ,b2,即 b24a 2,c2-a24a 2.e5 . A、F,点 B 0,b,a7：已知双曲线x2y21 a,0b0的左顶点、右焦点分别为a2b2假设BABFBABF,就该双曲线离心率e 的值为2A C51 D3151 B222【答案】：B 【解析】：考点：双曲线的简洁性质分析：通过BABFBABF,判定三角形

7、ABF 的关系,利用三角形的关系,得到 a, b,c 的关系,结合双曲线a,b,c 关系求出双曲线的离心率即可解：由于双曲线x a2y21 a,0b0的左顶点、右焦点分别为A、F,点 B0,b,2b2BABFBABF,所以 ABBF,三角形 ABF是直角三角形,第 3 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 |AB|2+|BF|2=|AF|25舍去即： c2+b 2+c2=a+c2 b 2=c2-a2 3c2-a2=a+c2 c2-a2-ac=0 ,e2-e-1=0 ,解得： e=51e=122故答

8、案为： B8设e 1,e 2分别为具有公共焦点,F 与F2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满意PF 1PF20就1 2 e 11 2 e 2的值为A2 B3C4 D5 22【答案】 A9已知双曲线x2y21 a0,b 0的一条渐近线为ykx k0,离心率a2b2e5k ,就双曲线方程为Bx2y21 Ax2y2=1 a24a2a25 a2Cx2y21Dx2y214 b225 b2b2b【答案】 Cb ka【解析】e c 5 k,c 5 k, 所以 a 24 b ；2a a2 2 2a b c2 210椭圆 x2 + y2 =1ab0的离心率 e= 1 ,左焦点为 F,A、B、

9、C 为其三个顶点 ,直线 CFa b 2与 AB 交于 D,就 tanBDC 的值等于 第4页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 33C.3355【答案】 A【解析】 e=c = a1 , 23 . a=2c,b=3 c.直线 AB 的方程为xc+yc=1,kAB =3 ,同理 ,kFC=-232 tanBDC=1kFCFCkAB=333=33 .2k.kAB1,就该椭圆的离心率为211椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形A.1 2B.32C.3 3【答案】 B 【解析】如图 , c a=cos3

10、0 =3. y21和抛物线y24x 的离心率分别为212 已知椭圆x2y21,双曲线2 x5353e e e ,就ee 2e D. ee 2e 3A. e e 1 2e B. ee 1 2e C. 【答案】 C 【解析】 试题分析： 椭圆x22y21的离心率e 1110；双曲线x2y21的离心53553率e 22 10； 抛 物 线y4x 的 离 心 率e 3；ee 22 10 51041555第 5 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - ee 2 e ；考点：圆锥曲线的离心率；点评：椭圆和双曲线的离心

11、率都是be0cc2a22 b ；双曲线中c2a22 b ；a13双曲线x2y21a0 ,2,就b2a122的离心率是3的最小值为abC、2 D、1 A 、233B、33【答案】 A 【 解 析 】 双 曲 线 的 离 心 率 为2, 所 以 有e21b24, 所 以b23a2, 所 以a2b213 a21e,过双曲线的右焦点且斜率为3a3aa1233,应选 A 3 a14 假设双曲线x2y2,1a0 ,b0的离心率为a2b22e2e 的取值范畴是的直线与双曲线的两个交点分别在第三、四象限,就离心率A1e5 B0e5Ce1 De53332b2e22b2,即【答案】 A. 【解析】如下图,交点在第

12、三、四象限,就满意02 ea2 a4 e28 e42 e11e5,因此选A.DAB,0,2, 以 A,B315如图,在等腰梯形SBCD中, AB CD,且 AB=2AD,设为焦点且过点D 的双曲线离心率为1e ,以 C,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ,就1e 增大,e e 为定值角的增大,第6页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - B. 随着角的增大 ,1e 减小,e e 为定值C. 随着角的增大,1e 增大,e e 也增大BD随着角的增大,1e 减小,e e 也减小【答案】【解析】该试题考查的学

13、问点主要有：椭圆、双曲线及其离心率的定义,平面几何和三角函数的简洁学问,函数的单调性 .思路分析：第一以角 为参变量,依据椭圆和双曲线的离心率定义,结合平面几何的简单学问,把 1e 和 2e 都表示为 的函数 .其次,依据有关函数单调性的学问特殊是复合函数的单调性学问判别函数 1e 的单调性 .最终,通过运算,观看 e e 是否是常数函数,以确定 e e 是否为定值 ,假如 ee 不为常数函数,仍要连续考查 e e 的单调性 .具 体 解 答 过 程 ： 由 题 可 知 ： 双 曲 线 离 心 率 e 1 | AB | 与 椭 圆 离 心 率| DB | | DA | CD |e 2 .| B

14、D | | BC |设 | AD | | BC | t 就 | AB | 2 t , | CD | 2 t 2 cos, | BD | t 5 4cos,故2 2 2cose 1,e 2,5 4cos 1 5 4cos 1当 0, 时,增大, cos 减小,导致 1e 减小 . 2e e 2 2 2 2cos 1 . 应选 B. 5 4cos 1 5 4cos 1试题点评： 从以上解题过程可以看出,该题的综合性是比较强的,要完整地做出这道题,需要考生把相关的学问点有机地结合起来,并进行适当的运算 .该题属于中等难度的题 . 2 2 2 216曲线 x y 1 a 6 与曲线 x y 1 5 b

15、 9 有10 a 6 a 5 b 9 b A相同的焦距 B相同的离心率C相同的焦点D相同的准线【答案】 A 【解析】：由2 x10ay251a56知这是焦点在x 轴上的椭圆,由x2y2b16a5b95b9得9y2x21b9,即这是焦点在y 轴上的双曲线, 故排除 B、C、bbD,挑选 A；第 7 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17已知双曲线x2y21 a0,b0的左、右焦点分别为F 1c,0,F2 ,0,假a2b2设 双 曲 线 上 存 在 一 点 P 使 sin PF F 2 a, 就 该 双

16、 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围sin PF F 1 c是；【答案】 1,2 1【解析】解法 1：由于在 PF F 中,由正弦定理得 PF 2 PF 1,sin PF F 2 sin PF F 1就由已知,得 a c,即 aPF 1 cPF ,且知点 P 在双曲线的右支上,PF 2 PF 1设 点 x 0 , y 0 由 焦 点 半 径 公 式, 得 PF 1 a ex 0 , PF 2 ex 0 a, 就a a ex 0 c ex 0 a ,解得 x 0 a c a a e 1,由双曲线的几何性质知 x 0 a 就 a e 1 a,整理得e c a e e 1 e e 12e 2

17、 e 1 0, 解 得 2 1 e 2 1,又 e 1, , 故 椭 圆 的 离 心 率e 1, 2 1；解法 2 由解析 1 知 PF 1 cPF 2 由双曲线的定义知a2PF 1 PF 2 2 a 就 cPF 2 PF 2 2 a 即 PF 2 2 a, 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知a c a2PF 2 c a , 就 2 ac a , 既 c 22 ac a 20, 所以 e 22 e 1 0, 以下同解析 1；c a2 218 设 F1,F2 是椭圆 C：x2 y2 1 a b 0 的两个焦点,假设在 C上存在一点 P,a b使 PF1PF2,且 PF1F2=30 ,就 C的离心

18、率为 _.【答案】31【解析】试 题 分 析 ： 因 为PF1 PF2 , 且 PF1F2=30 , 所 以PF1=F F 2sin601.3 c ,PF2=F F 2sin 30c ,又 PF1+PF2=2a,所以 2a=3cc ,c21=3a3考点：椭圆方程和性质. 第8页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19 过抛物线y22px p0焦点 F 的弦 AB ,过A B 两点分别作其准线的垂线AM BN ,垂足分别为M,N ,AB 倾斜角为,假设A x y 1,B x 2,y 2,就x x 2p2；y

19、1y2, |BF|1p0p2 |AF|1p4coscos| |AF|.|BF|2,2p,FM FN |AB|x 1x 2pAF|BF|psin2其中结论正确的序号为【答案】【解析】试题分析：抛物线焦点 F p ,0,直线 AB 斜率为 k tan,就直线 AB 方程为2y k x p,代入抛物线方程并整理得 k x 2 2 p k 2 2 x k p 2 20,有韦达定理2 42 2可得 x 1 x 2 p k2 2p 2 p2,x x 2 p,所以 y y 2 24 p x x 22 p ,由题 4k k 42意可知 y 1 , y 异号,所以 y 1 y 2 p,故正确；由 抛 物 线 的

20、 定 义 知 AF p AF cos , BF p BF cos , 整 理 可 得| AF | p, | BF | p 故正确；1 cos 1 cos,由 抛 物 线 的 定 义 知 AF x 1 p , BF x 2 p,2 2AB AF BF x 1 p x 2 p x 1 x 2 p 2 1 12 2 2 k2 1 12 22 p,故正确；tan sin2 p由可知 AF BF AB sin 2 2,故正确；AF . BF AF . BF p p p1 cos 1 cos由抛物线定义知 AM AF , AM AF , 所以 AMF AFM , BNF NFB ,设抛物线准线与 x 轴交

21、点为 E,就平行可得 AMF MFE , BNF NFE ；所以MFE NFE 90,即 MFN 90 , 所以 MF NF , 所以 FM FN 0,故 正确；考点：抛物线定义,及直线与抛物线的位置关系第 9 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20已知抛物线y24px p0与椭圆x2y21 ab0有相同的焦点F ,点 Aa2b2是两曲线的交点,且AFx 轴,就椭圆的离心率为 .【答案】21【解析】2试 题 分 析 ： 依 题 意 , 抛 物 线 y 4 px p 0 的 焦 点 F p ,0, 也

22、 是 椭 圆2 2x2 y2 1 a b 0 a 2b 2p . 点 A 是两曲线的交点,且 2AF x 轴,就点 A横a b坐标为 p , 代入抛物线方程得 A p ,2 p 或 A p , 2 , 将其代入椭圆方程中 得2 2 2 2p2 4 p2 1, 又 a 2b 2p 2. 所 以 p2 2 4 p2 1, 而 椭 圆 的 离 心 率a b a a p24 pe pe 2 p2 2. 所 以 p2 22 4 p 22 p2 22 a 22 e 2 4 e 22 1,得a a a a p a a p 1 e2a2 2 2e 3 2 2 . 又由于椭圆离心率范畴为 0,1 ,所以 e 3

23、 2 2 2 1,即e 2 1 .考点：椭圆与抛物线的几何性质21抛物线y28x的焦点为 F ,点x ,y 为该抛物线上的动点, ,又已知点A ,20 ,就|PA|的取值范畴是 .|PF|【答案】,12【解析】试题分析：2由抛物线的定义可得|PF|xx28,又|PA|x22yx228x,|PA|时,x2 218x1x28x4,1x28x4x14,|PF|x24 x|PA|；当x0时,|PA当x0|PF|PF|4x4xx4 x424x4 x,当且仅当x4即x248时取等号,于是,xx第10页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - -

24、- - - - - x841,1x84 ,12,44xx综上所述|PA|的取值范畴是,12.Q,点 M4,5,就 PQ与 PM|PF|考点：抛物线的定义、最值问题,基本不等式.22P为抛物线y24x 上任意一点, P 在 y 轴上的射影为长度之和的最小值为【答案】341【解析】试题分析：设点P 到准线x1的距离为 d ,就 PQPMdPM1,由抛物线定义 dPF ,故只需 PFPM 最小,其最小值为M,F 两点之间的距离为34 ,所以 PQPM的最小值为341 .MyQ PdOFx2、平面内两点之间的距离.考点： 1、抛物线定义和标准方程；23已知椭圆x2y21 ab0的离心率e3,A,B 是

25、椭圆的左、右顶点,P222ab是椭圆上不同于PA,PB倾斜角分别为,就cos cos（+ =）A,B 的一点,直线【答案】3 5.【解析】试题分析 : 由e3 2可得a2 b . 让 P 取在短轴的顶点上就tan1, tan1. 又22由于cos cos（+ =）cos coscossinsin1tantan=3 5. 此题采纳特值法使cossinsin1tantan得解题简洁 . 由于点是动点所以不用特值法很难解 一种有效的方法 . 这也是数学挑选天空题中的常用的第 11 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -

26、- - - 考点： 1. 椭圆的离心率 .2. 三角函数的运算 .3. 特值法的使用 .2 224已知双曲线 x y2 1 b 0,过其右焦点 F 作圆 x 2y 29 的两 条切线,切9 b点记作 C D ,双曲线的右顶点为 E ,CED 150,就双曲线的离心率为 .【答案】2 33【解析】试题分析：CED1500,CEO750,而 OCOE ,OCE750,ECF150,3a ,ECFCFECEO750,CFE600,在 Rt COF 中,OCOFc,sin 600a3,即ec2 3.c2a3PF 考点： 1. 平面几何中角度的换算；2. 双曲线的离心率.25已知双曲线x2y21, 点

27、F1,F2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,假设PF 就 2PF +PF 的值为 _. 2【答案】 2 3【解析】试题分析： 由条件知：c2,而ab1,|PF 12 |PF 22 |8,|PF 1|PF2| 2,|PF 1|PF 2| 2|PF1|PF2|2|PF 12 |PF2|22 |PF 1|PF2| 8412,|PF 1|PF 2|2 3.2. 双曲线的定义 .考点： 1. 焦点三角形问题；26已知椭圆x2y21ab0 的左、右焦点分别为F（c0, ,F2c,0 , 假设椭圆22 ba上存在点 P 使sina1 F2sinc2F 1, 就该椭圆的离心率的取值范畴为_ PFPF【答案】

28、 21,1【解析】试题分析：要求离心率的取值范畴,要求我们能找到一个关于离心率或 a b c 的不等关第12页 共13页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 系 , 我 们 从 唯 一 的 已 知 等 式sinaF2sinc2F 1入 手 , 在PF F 中 有PF 1PFPF 2 PF 1,因此有 PF 2 PF 1,PF 1 , PF 2 是椭圆上的点到焦点的sin PF F 2 sin PF F 1 a c距离,于是想到焦半径公式,设 P x 0 , y 0 ,就 PF 1 a ex ,PF 2 a ex ,从

29、而有 a ex 0 a ex 0 x 0 a c a . 依据题意,a x 0 a ,因此不等关系就是a c a c ea a c a a, 即 1 1 e 1 1, 解 得 e 2 1, 又 椭 圆 中 e 1, 故a c e 1 e e2 1 e 1 .考点：正弦定理,椭圆的离心率,焦半径公式 .27已知点 F 、F 分别是双曲线 x 22 y2 21 的左、 右焦点,过 F 且垂直于 x 轴的直线a b与双曲线交于 A、B两点,假设 ABF 为锐角三角形,就该双曲线的离心率 e的取值范畴是 _.【答案】1,12【解析】试题分析：依据题意,作图像如下：由已知得F 1c ,0,将它代入双曲线方程可得,yb2,所以AF 1b2,由于ABF 2aa是 锐 角 三 角 形 , 所 以AF B90, 就AF F 1452, 在AF F2中 ,F AF 1AF F , 所 以F F 1AF 1, 即2c2 b, 由bc2a2化 简 得 ,ac22aca20, 不 等 式 两 边 都 除 以a2得 ,e22 e10, 又e1, 解 得1e12.第 13 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页