2021届高考数学大一轮复习（2021-2021高考题库）第5章 第4节 数列求和 理 新人教A版.DOC

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1、20092013年高考真题备选题库第5章 数列第4节 数列求和考点一 等差数列与等比数列的综合1（2013福建，5分）已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析：本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力等比数列an的通项公式ana1qn1，所以cnam(n

2、1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1)，因为qm2，所以数列cn为等比数列，公比为qm2.答案：C2（2013重庆，5分）已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：643（2013江苏，16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0

3、)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中 c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代

4、入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.4（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2) 若d0，求|a1|

5、a2|a3|an|.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|5（2013四川，12分）在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和解：本题考查等差数列、等

6、比中项等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等数学思想设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn4n或Sn.6(2009宁夏、海南，5分)等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4()A7B8C15 D16解析：4a1,2a2，a3成等差数列，4a24a1a3.an是等比数列，4a1q4a1a1q2，a11.q24q40，q2，S415.答案：C7（201

7、1江苏，5分）设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析：设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：8（2012山东，12分）在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解：(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11.所

8、以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).9（2012广东，14分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：(1)当n1时，2a1a241a23，当n2时，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，当n2时，有

9、2Sn1an2n1，两式相减得an13an2n，则1，即2(2)又23，知2是首项为3，公比为的等比数列，23()n1，即an3n2n，n1时也适合此式，an3n2n.(3)证明：由(2)得，11(1).考点二 递推数列及其应用1（2013湖南，5分）设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析：本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想(1)当n1时，S1(1)a1，得a1.当n2时，Sn(1)n(SnSn1).当n为偶数时，Sn1，当n为奇数时，SnSn1，从而S1，S3，又由S3S2，得S20

10、，则S3S2a3a3.(2)由(1)得S1S3S5S99，S101，又S2S4S6S1002S32S52S72S1010，故S1S2S100.答案：2（2013湖南，13分）设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*. (1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列

11、an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.3（2013江西，12分）正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前项n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)

12、证明：由于an2n，故bn.Tn.4（2012新课标全国，5分）数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：不妨令a11，根据题意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为S603023041 830.答案：D5（2012江西，12分）已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN)，8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)当nkN时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.7