2021年深圳市高三年级第一次调研考试——数学答案.docx

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1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2021 年深圳市高三第一次调研考试数学试题答案及评分参考一、单项选择题：题号12345678答案DABADCBC二、多项选择题：题号9101112答案ACBCBDABD12. 解析：（1）考查选项 A：若CD/ 平面 xOy ，考虑以下特殊情形：当点 B 与坐标原点O 重合时， S 为正方形；当点 A 与坐标原点O 重合时， S 为三角形，故选项 A 正确；（2）考查选项 B：若点 A 与坐标原点O 重合，即 AB 在 z 轴上， 易知CD/ 平面 xOy ，且 S 为三角形，不难知道其面积为 1 1 2 =2 ，故选项 B 正确；224（3）考查选项 C：当

2、OA = OB = OC ，且点O 在正四面体 ABCD 外部时， 则点 D 恰好为以OA ， OB ， OC 为棱的正方体的一个顶点，14 AB = 1 ， OA =2 ， S 是边长为2 的正方形，其面积为 1 ，故选项 C 错误；222（不难知道当OA = OB = OC ，且点O 在正四面体 ABCD 内部时， S 为三角形，且其面积为 5 ）12（4）考查选项 D：设 AB 的中点为 M ，则OM = 1 ，且 MD =3 ，22易知OD OM + MD = 1+ 3 3 ，即OD 1.【命题意图】本题主要考查等差数列的定义和通项公式，以及an 与 Sn 的关系，考察了学生的数学运算

3、， 逻辑推理等核心素养.18（12 分）c2 - a2 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 A 为锐角， sin B - cos C =.2ab（1）求 A ；（2）若b =3 c ，且 BC 边上的高为234，求 ABC 的面积.c2 - a2解：（1） sin B - cos C =，2ab 2absin B = c2 - a2 + 2ab cosC ，1 分由余弦定理，得c2 = a2 + b2 - 2ab cosC ， 2absin B = b2 ， 2asin B = b ，2 分由正弦定理，得asin A=b，sin B 2sin Asi

4、n B = sin B，又 B (0, ) ，即sin B 0 ， sin A = 1 ，4 分2角 A 为锐角， A = .6 分63（2） BC 边上的高为2 ABC 的面积 S = 1 a 221，3= 3a ，7 分bc又 ABC 的面积 S =bc sin A =， 24 bc =4又 b =3a ，即bc = 4 3a ，8 分 3 c ，4 c2 = 16a ，且b2 =3 c2 = 3a ，10 分 163b2 + c2 - a23a +16a - a219 - a2 4 3a8 3在 ABC 中，由余弦定理，得cos A =，2bc23解得 a = 7 ， 11 分 S= 3

5、a = 7 3 ，即 ABC 的面积为7. 12 分【命题意图】本题主要考察正弦定理，余弦定理等知识，意在考察考生方程、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养19（12 分）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3 次，先在 M 处投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得2 分，未投进不得分. 测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投10 次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表：（第 19 题图）若以每人五轮投篮训练命中频率

6、的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率.5 + 4 + 3 + 6 + 7解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为 1010101010 = 0.5 ， 1 分51 + 0 + 1 + 2 + 1甲同学三分球投篮命中的概率为 10101010 = 0.1 ，2 分5设甲同学累计得分为 X ，则 P( X 4) = P( X = 4) + P( X = 5) = 0.9 0.5 0.5 + 0.1 0.5 + 0.1 0.5 0.5 = 0.3甲同学通过测试的概率为0.3 .5 分（2）同（1）可求，乙同学

7、两分球投篮命中的概率为0.4 ，三分球投篮命中的概率为0.2 ， 7 分设乙同学累计得分为Y ，则P(Y = 4) = 0.8 0.4 0.4 = 0.128 ，8 分P(Y = 5) = 0.2 0.4 + 0.2 0.6 0.4 = 0.128 ， 9 分设“甲得分比乙得分高”为事件 A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B ，则 P( AB) = P( X = 5) P(Y = 4) = 0.075 0.128 = 0.0096 ， 10 分P(B) = P( X = 4) + P( X = 5)P(Y = 4) + P(Y = 5) = 0.0768 ， 11 分由条件概率公式可

8、得， P( A | B) = P( AB) = 0.0096 = 1 . 12 分P(B)0.07688【命题意图】本题以体育运动为背景，通过频率与概率定义以及条件概率公式等知识点，考查学生数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现分类讨论的数学思想.20（12 分）如图，在四棱锥 S - ABCD中， SA = SB = SC = SD =13， AC CD ， AB = 6 ， BD = 8 .SADCB（1）求证：平面 SAD 平面 ABCD ；（2）求二面角 A- SB - D 的余弦值.（第 20 题图）SMADBC解：（1）证明： 如图所示，取 AD 的中点 M ，连接 SM

9、 ， MC .1 分 SA = SD ， SM AD . AC CD ， ACD 是直角三角形，1 CM =AD ， 2 AM = CM = DM . SA = SC ， Rt SAM Rt SCM ，3 分 CMS = AMS = ，2 AMCM = M ， SM 平面 ABCD ， 又 SM 平面 SAD ， 平 面 SAD 平 面 ABCD . 5 分 （2）由（1）可知， SM 平面 ABCD ， BMS = AMS = ， 2又 SA = SB ， Rt SAM Rt SBM ， BM = AM ， A ， B ， C ， D 四点共圆， AB BD . 6 分 AB = 6 ， B

10、D = 8 ， AD =10 ， AM = 5 ， 又 SA =13， SM =12 . 7 分 （解法一）以 B 为坐标原点， BD 为 x 轴， BA 为 y 轴，过点 B 平行于 SM 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 B(0,0,0) ， D(8,0,0) ， A(0,6,0) ， S (4,3,12) ，8 分 S则有 BS = (4,3,12) ， BA = (0,6,0) ， BD = (8,0,0) ，z分别设平面 ABS 和平面 DBS 的法向量为m = (x1, y1, z1 ) 和 n = (x2 , y2 , z2 ) ， 则 BA m = 0，即6

11、 y1 = 0，9 分yMxBS m = 0，4x + 3y + 12z= 0，AD111则平面 ABS 的一个法向量为m = (3,0, -1) ，BC同理，平面 DBS 的一个法向量为 n = (0, 4, -1) ， 10 分 cos =m nm n10 17=1170设二面角 A- SB - D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170（解法二）以 M 为坐标原点，过点 M 平行于 DB 的直线为 x 轴，平行于 AB 的直线为 y 轴， MS 为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 B(4,3,0) ， D(-4,3,0) ， A(4, -3,0) ， S

12、 (0, 0,12) ，8 分 z则有 BS = (-4, -3,12) ， BA = (0, -6,0) ， BD = (-8,0,0) ，S分别设平面 ABS 和平面 DBS 的法向量为m = (x1, y1, z1 ) 和 n = (x2 , y2 , z2 ) ， 则 BA m = 0，即 -6 y1 = 0，9 分MBS m = 0，-4x- 3y+ 12z= 0，ADx111则平面 ABS 的一个法向量为m = (3,0,1) ， BC y同理，平面 DBS 的一个法向量为 n = (0, 4,1) ， 10 分 cos =m nm n10 17=1170设二面角 A- SB -

13、D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170（解法三）如图所示，过点 A ， D 分别作 SB 的垂线，并交 SB 于点 E ， F .8 分在等腰 SAB 中，由 AB2 - BE2 = AS 2 - SE2 ，得62 - BE2 =132 - (13 - BE)2 ，解得 BE = 18 ， 13在 Rt EAB 中，由 AE2 = AB2 - BE2 = 62 - (18)2 = 36 160 ，9 分SFAEMDB ， C13132同理， BF = 32 ， FD2 = 64 153 ， 13132则 EF = BF - BE = 14 ，10 分 13由 AD

14、= -EA + EF + FD ，可得 AD2 = (-EA + EF + FD)2 = EA2 + EF 2 + FD2 - 2EA FD ，则102 = 36 160 + 14 2 + 64 153 - 2 36 160 64 153 cos132(13)132132132解得cos = -170 ，11 分 170易知二面角 A- SB - D 的平面角就是 EA 与 FD 的夹角， 设二面角 A- SB - D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170【命题意图】本题主要考察线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间向量，二面角的平面角.涉2及到的思想方法主要有向

15、量法，数形结合思想，等价转化思想.考察了学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养. 21（12 分）FFx2y 2FF 设O 是坐标原点，以 1 ， 2 为焦点的椭圆C :+a2b2的圆和C 恰好有两个交点.（1）求C 的方程；=1(a b 0) 的长轴长为2， 以 1 2为直径（2） P 是C 外的一点，过 P 的直线l ， l 均与C 相切，且l ， l 的斜率之积为m(-1 m - 1) ，12122记u 为 PO 的最小值，求u 的取值范围. 解：（1）由题意， 2a = 2 2 ， a = 2 ，1 分又以 F1F2为直径的圆和C 恰好有两个交点，即b = c ，2 分又 b2

16、+c2 =a2 = 2 ， b = c =1，3 分x22 C 的方程为+ y2= 1 . 4 分(解法一)由题意， l1 ， l2 的斜率存在且不为零，设过点 P(x0 , y0 ) 的切线l : y - y0 = k (x - x0 ) ， y - y0 = k(x - x0 )，+由方程组 x2 2y2 =1，消去 y ，并整理得(1+ 2k2 )x2 + 4k( y- kx )x + 2(y- kx )2 - 2 = 0 ，6 分 l 与C 相切，0000 D =16k2 (y - kx )2 - 8(1+ 2k2 )(y - kx )2 -1) =0，7 分0000化简并整理，得(

17、y - kx )2 =2k2 +1， 200整理成关于 k 的一元二次方程得 (x 2 - 2)k2 - 2x y k + y 2 -1= 0 ，（易知 x ）8 分00 000设l1 ， l2 的斜率分别为 k1 ， k2 ，00 00易知 k1 ， k2 为方程(x 2 - 2)k2 - 2x y k + y 2 -1= 0的两根， k1 k2y 2 -1= 0= m ，0x 2 - 200 y 2 = mx 2 +1- 2m ，000 x 2 + y 2 = (1+ m)x 2 +1- 2m ，10 分x 2 + y 200=1+ m x +1- 2m ，()20 | PO |=1- 2

18、m易知当 x0 = 0 时，有u =| PO |min =又 -1 m - 1 ，2，11 分23 u ，即u 的取值范围为 2, 3 .12 分(解法二)由题意， l ， l 的斜率存在且不为零，设点 P(x , y ) ， l ：y = kx + b ， l ：y = m x + n ，120012k显然k m ，即k 2 - m 0 ，k y = kx + b，由方程组 x2消去 y ，并整理得(1+ 2k2 )x2 + 4kbx + 2b2 - 2 = 0 ，6 分+ y2 =1， 2 l1 与C 相切， D = (4kb)2 - 4(2k2 +1)(2b2 - 2) =0，即b2 =

19、2k 2 +1，7 分同理由l2 与C 相切可得， n2 =2m2k 2+ 1 ， y = kx + b，x = (n - b)k ， 0k 2 - m由方程组 y= m x + n， 解得 k 2 n - bm8 分k y =，0 2n2 k 2 + b2 k 2 - 2nbk 2k 2 - mx0 =，(k 2 - m)2 y2 =n2 k 4 + b2 m2 - 2nbmk 2 y0002 - mx 2(k 2 - m)2(k 4 - mk 2 )n2 + (m2 - mk 2 )b2=(k 2 - m)2k 2 n2 - mb2=，k 2 - m又 b2 =2k 2 +1， n2 =2

20、m2k 2+ 1 ，k 2 (2m22+1) - m(2k 2+1) y 2 - mx 2 = k=1- 2m ，00k 2 - m00 y 2 = mx 2 +1- 2m ，000 x 2 + y 2 = (1+ m)x 2 +1- 2m ，10 分x 2 + y 200=1+ m x +1- 2m ，()20 | PO |=1- 2m易知当 x0 = 0 时，有u =| PO |min =又 -1 m - 1 ，2， 11 分23 u ，即u 的取值范围为 2, 3 .12 分【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线（切点弦）性质为背景，利用代数方法解决几何问题，考查学生的逻辑推

21、理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.22（12 分）已知函数 f (x) = aln2 x + 2x(1- ln x) ， a R .（1）讨论函数 f (x) 的单调性；（2）若函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点，求 a 的取值范围.（其中常数e=2.718 28 ，是自然对数的底数）解：（1）易知 f (x) 的定义域为(0, +) ，且 f (x) = 2(a - x) ln x ， f (1) = 0 ，1 分 x若 a 0 ，当 x (0,1) 时， f (x) 0 ；当 x (1, +) 时， f (x) 0 ， f (x) 在(0,1) 上单调

22、递增，在(1, +) 上单调递减； 2 分 若0 a 1，易知当 x (0, a) 时， f (x) 0 ；当 x (1, +) 时， f (x) 1，易知当 x (0,1) 时， f (x) 0 ；当 x (a, +) 时， f (x) 0 ； f (x) 在(0,1) 和(a, +) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增. 综上所述，当a 0 时，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +) 上单调递减；当0 a 1时， f (x) 在(0,1) 和(a, +) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增. 5 分 2a2（2）令 g(x) = 0 ，则 f (x) =，e2依题意可

23、知函数 y = f (x) 与 y =2a2e2的图象有3 个不同的交点， 由（1）易知必有0 a 1，6 分 当0 a a ，e2函数 y = f (x) 与 y =的图象至多有1 个交点，不合题意， 7 分 e2当 a 1时， f (x) 在(0,1) 和(a, +) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增， f (x) 的极小值为 f (1) = 2 ， f (x) 的极大值为 f (a) = a(ln2 a - 2ln a + 2) ， 2a22须有2 2a2 2 ， ae ，8 分 e22a2e2a(ln2a - 2ln a + 2) ， 2ae2 ln2a - 2ln a + 2

24、（*）， 下面求不等式（*）的解集， （解法一）令ln a = x ，则不等式（*）等价于2ex-2 x2 - 2x + 2 ， 令函数h(x) = x2 - 2x - 2ex-2 + 2 ，则h(x) = 2x - 2 - 2ex-2 ， 令 y = 2x - 2 - 2ex-2 ，则 y = 2 - 2ex-2 ， x (-, 2) 2 (2, +) y + 0 - y 极大值 函数 y = 2x - 2 - 2ex-2 在区间(-, 2) 上单调递增，在区间(2, +) 上单调递减， 又 y(2) = 0 ， y = 2x - 2 - 2ex-2 0 ， 9 分即 h(x) 0 恒成立，

25、故函数h(x) 单调递减， 又 h(2) = 0 ，当且仅当 x 0 ，不等式2ex-2 0 的解集为(0,e2 ) ， 10 分 必有e a e2 ， 下面证明，当e a e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， （解法一）一方面，当e a a32a2e2 ， 11 分 另一方面，当e a e2 时， f (e3 ) = 9a - 4e3 9e2 - 4e3 = e2 (9 - 4e)0 ， f (e3 )f (1) ， 不难知道，当e a e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， 综上所述，实数 a 的取值范围

26、为(e,e2 ) . 12 分 （解法二）当e a 2 - 2a + ( 2 + 2a) = 4 0 ，1aaaaa f ( ) f (a) ， 11 分 a显然当 x 0 时，有ex2x (证明略)，2于是，当e a e2 时，有 f (ea+1) = a(a +1)2 - 2aea+1 a(a +1)2 - a(a +1)2 = 0 ， f (ea+1 ) f (1) ， 不难知道，当e a e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， 综上所述，实数 a 的取值范围为(e,e2 ) . 12 分【命题意图】 本题以基本初等函数的单调性和零点问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.