20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题4.1 等差数列（解析版）.docx

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1、第一讲等差数列【套路秘籍】-始于足下始于足下一等差数列的不雅念1.文字表达：一般地，假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一致个常数，那么谁人数列就叫做等差数列，谁人常数叫做等差数列的公差，公差素日用字母d表示，可正可负可为零2.数学表达式：二.通项公式1.公式ana1(n1)d2.履行公式andn(a1d)(nN)-几多何意思是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上anam(nm)d(m，nN)-可以用来使用任一项及公差开门见山掉掉落通项公式，不必求a1.d(m，nN，且mn)-即歪率公式k，可用因由等差数列任两项求公三求跟公式：1.公式：Snna1d；2等差数列的前n项跟公式

2、与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)四性质：假设m，n，p，q，tN*，且mnpq=2t，那么amanapaq=2atSm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.S2n1(2n1)an.等差数列的前n项跟的最值在等差数列an中，a10，d0，那么Sn存在最大年夜值；假设a10，那么Sn存在最小值【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一等差数列的揣摸与证明【例1】已经清楚数列an，称心a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明因由；(2)求an.【答案】看法析【分析】(1)数列是等差数列，因由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(

3、2)由上述可知(n1)d，an.【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a12，an1换为“a14，an4(n1)，记bn(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】看法析【分析】(1)证明：bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2.【拓展2】(变条件)将例题中的条件“a12，an1换为“a11，a22,2an12an3(n2，nN*)试揣摸数列an是否是等差数列【答案】看法析【分析】当n2时，由2an12an3，得an1an，但a2a11，故数列an不是等差数列【套路总结】揣摸一

4、个数列是否为等差数列的常用方法1.定义法：an1an(n1，nN*)是不是一个与n有关的常数即揣摸从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为一致个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然弗成，这时可以验证2.中项性质：2an1anan2(nN*)an是等差数列；3.函数角度：anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列假设证明一个数列不是等差数列，那么只需举出反例即可【举一反三】已经清楚数列an称心(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】看法析【分析】(1)，bn1bn，bn是等差数列(2)由

5、(1)及b11，知bnn，an1，an(nN*)考向二等差数列的性质【例2】1等差数列an中，a4a515，a712，那么a2等于2等差数列an，bn的前n项跟分不为Sn，Tn，且，那么_.(3)已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn.假设S57，S1021，那么S15_.(4)已经清楚Sn是等差数列an的前n项跟，假设a12018，6，那么S2020_.(5)设等差数列an的前n项跟为Sn，假设S130，S140，S140，a1a14a7a80，a80，且SpSq(pq)，那么：假设pq为偶数，那么当n时，Sn最大年夜；假设pq为奇数，那么当n或n时，Sn最大年夜【举一反三】1在等差数列an中

6、，Sn是其前n项跟，a19，2，那么S10_.【答案】0【分析】设公差为d，那么a1d，2，dd2，d2，a19，S1010(9)20.2.在等差数列an中，已经清楚a113,3a211a6，那么数列an的前n项跟Sn的最大年夜值为_【答案】49【分析】设an的公差为d.法一：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，因此an13(n1)(2)2n15.由得解得6.5nnN*，因此当n7时，数列an的前n项跟Sn最大年夜，最大年夜值为S749.法二：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，因此an13(n1)(2)2n15.因此Snn214n(n7)249

7、，因此当n7时，数列an的前n项跟Sn最大年夜，最大年夜值为S749.3在等差数列an中，已经清楚a22a8a14120，那么2a9a10_.【答案】30【分析】a22a8a144a8120，a830.2a9a102(a10d)a10a102da830.4.已经清楚等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式【答案】看法析【分析】方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，因此a45.又因为a2a4a645，因此a2a69，因此(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9，解得d2.假设d2，ana4(n4)d2n3，nN；假设d2，ana4(n4)d1

8、32n，nN.方法二设等差数列的公差为d，那么由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5.由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(52d)5(52d)45，即(52d)(52d)9，联破解得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3，nN；或an112(n1)2n13，nN.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1等差数列an中，a13a8a15120，那么2a9a10的值是()A20B22C24D8【答案】C【分析】因为a13a8a155a8120，因此a824，因此2a9a10a10a8a10a824.应选C.2设S

9、n为等差数列an的前n项跟，假设S84a3，a72，那么a9等于()A6B4C2D2【答案】A【分析】S84(a3a6)因为S84a3，因此a60.又a72，因此da7a62，因此a84，a96.应选A.3.已经清楚数列an是等差数列，其前n项跟为Sn，假设a1a2a310，且，那么a2()A2B3C4D5【答案】A【分析】依题意得，a1a35，a22.应选A.4已经清楚Sn表示等差数列an的前n项跟，且，那么等于()A.B.C.D.来源:ZXXK【答案】A5已经清楚数列an是等差数列，a415，a727，那么过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线歪率为()A4B.C4D【答案】A【分析】由

10、数列an是等差数列，知an是关于n的“一次函数，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线歪率即过点(4,15)，(7,27)的直线歪率，因此直线的歪率k4.应选A.6.等差数列an的前n项跟为Sn，已经清楚a113，S3S11，当Sn最大年夜时，n的值是()A.5B.6C.7D.8【答案】C【分析】(1)法一由S3S11，得a4a5a110，按照等差数列的性质，可得a7a80.按照首项等于13可推知谁人数列递减，从而掉掉落a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9设Sn为等差数列an

11、的前n项跟，假设S33，S624，那么a9_.【答案】15【分析】设等差数列的公差为d，那么S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.10已经清楚Sn是等差数列an的前n项跟，2(a1a3a5)3(a8a10)36，那么S11。【答案】33【分析】在等差数列an中，因为a1a52a3，a8a102a9，因此2(a1a3a5)3(a8a10)6a36a936，a3a96a1a11，因此S1133.11.假设等差数列an称心a7a8a90，a7a100，即a80.又a8a9a7a100，a90.a3a4a2a522，又a3a

12、4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.an4n3，nN.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c(c0舍去)经检验，c符合题意，c.14记Sn为等差数列an的前n项跟，已经清楚a1=-7，S3=-151求an的通项公式；2求Sn，并求Sn的最小值【答案】1an=2n9，2Sn=n28n，最小值为16【分析】1设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2因此an的通项公式为an=2n92由1得Sn=n28n=n4216因此当n=4时，Sn取得最小值，最小值为

13、1615设等差数列an的前n项跟Sn，且a4=1,S15=751求a6的值；2求Sn取得最小值时，求n的值【答案】(1)3；(2)2或3.【分析】1法一：设an的公差为d，由题，a4=a1+3d=1S15=15a1+105d=75，解得a1=-2d=1，a6=a1+5d=3法二：由题，S15=15a8=75，a8=5，因此a6=a4+a82=32法一：Sn=na1+n(n-1)2d=n2-5n2，当n=2或3时，Sn取得最小值法二：an=a1+(n-1)d=n-3，a1a2a3=0a4，故当n=2或3时，Sn取得最小值16已经清楚数列an，a15，a22，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，假设关于任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列。(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项跟。【答案】看法析【分析】(1)按照题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，A(n)C(n)2B(n)，拾掇得an2an1a2a1253。数列an是首项为5，公差为3的等差数列。an53(n1)3n8。