20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.11 定值问题（解析版）.docx

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1、第十一讲定值征询题【套路秘籍】-始于足下始于足下一定值征询题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素素日可通过变量停顿表达有所变卦，但在变卦过程中，某个量的值保持波动即为定值.二、稀有定值征询题的处理方法：1判定一个或两个变量为中心变量，其余量均使用条件用中心变量停顿表示2将所求表达式用中心变量停顿表示有的以致的确是中心变量，然落伍展化简，看能否掉掉落一个常数.三、定值征询题的处理技艺：1关于较为复杂的征询题，可先采用特不位置比如歪率不存在的直线等求出定值，进而给后面一般情况的处理供应一个倾向.2在运算过程中，尽管添加所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢3奇异使用变量间的关系，比如点的坐标符合曲线方

2、程等，尽管做到全部代入，简化运算【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一特不探究，一般证明【例1】过抛物线yax2a0的中心F作不时线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分不是p、q，那么+等于A2aBC4aD【答案】C【分析】方法一：特不探究，一般证明令过中心F直线与x轴垂直，那么直线的方程为，因此图1方法二：开门见山推理求值如以下列图：与抛物线联破，【举一反三】1.已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且椭圆过点(2,1).1求椭圆C的标准方程.2设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，假设OM+ON=OD，判定四边形OMDN的面

3、积能否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不是，请说明因由.【答案】(1)x24+y22=1(2)看法析【分析】1由于椭圆C的离心率e=22，因此a2-b2a=22，即a2=2b2.由于点(2,1)在椭圆C上，因此2a2+1b2=1.由a2=2b22a2+1b2=1，解得a2=4b2=2.因此椭圆C的标准方程为x24+y22=1.2当直线l的歪率不存在时，直线MN的方程为x=-1或x=1，现在四边形OMDN的面积为6.当直线l的歪率存在时，设直线l的方程是y=kx+m，联破方程组y=kx+mx24+y22=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，=8(4k2+2-m2)0，

4、x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-41+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.MN=1+k2224k2+2-m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=m1+k2.由OM+ON=OD，得xD=-4km1+2k2，yD=2m1+2k2.由于点D在曲线C上，因此有(-4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，拾掇得1+2k2=2m2.由题意，四边形OMDN为平行四边形，因此四边形OMDN的面积为SOMDN=MNd=1+k2224k2+2-m21+2k2m1+k2=22m4k2+2-m21+2k2.由1+2k2=2m2，得SOMDN=6，故四边形OMDN

5、的面积是定值，其定值为6.2已经清楚椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右中心F与抛物线y=4x的中心重合，且椭圆的离心率为121求椭圆的标准方程；2过椭圆E右中心F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上能否存在点M，使得MAMB为定值？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明因由【答案】1x24+y23=12存在点M(118,0)，使得MAMB=-13564【分析】抛物线y2=4x的中心为(1,0)，F(1,0)，c=1，又由于椭圆的离心率为12，即ca=12，a=2，a2=4，那么b2=a2-c2=3，因此，椭圆的方程为x24+y23=1；假设存在点M(x0,0)，使得MAMB为

6、定值当直线l的歪率不为零时，可设直线l的方程为x=my+1，联破x24+y23=1x=my+1，得(3m2+4)y2+6my-9=0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由韦达定理可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，MA=(x1-x0,y1)、MB=(x2-x0,y2)，MAMB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(m2+1)y1y2+(1-x0)m(y1+y2)+(1-x0)2=-9(m2+1)3m2+4-6mm(1-x0)3m2+4+(1-x0)2=(6x0-15)m2-93m2+4+(1-x0)2，要使上式为定值，即与m有关，应有6x0-153=-94，解

7、得x0=118，现在，MAMB=-13564.当直线l的歪率为零时，不妨设A(-2,0)、B(2,0)，当点M的坐标为(118,0)时，MAMB=-13564综上所述，存在点M(118,0)，使得MAMB=-13564考向二开门见山推理求值【例2】已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0通过点(3，12)，且离心率为32求椭圆C的方程；已经清楚A0，b，Ba，0，点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分不将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|BM|为定值【答案】(1)x24+y2=1(2)看法析.【分析】1由题意可得：3a2+14b2=1，ca=32，a2=b2+c2，联破解得：

8、a=2，b=1椭圆C的方程为：x24+y2=12证明：设Px0，y0，x00，y00A2，0，B0，1x02+4y02=4可得直线BP，AP的方程分不为：y=y0-1x0x+1，y=y0x0-2x-2，可得：Mx02-y0，0，N0，2y02-x0|AM|BN|=2-x02-y01-2y02-x0=2-4y02-x0-x02-y0+2x0y0(2-y0)(2-x0)=4-4x0-8y0+4x0y0+x02+4y022-2y0-x0+x0y04(2-2y0-x0+x0y0)2-2y0-x0+x0y0=4为定值【举一反三】1已经清楚椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆C2

9、：x23a2+y23b2=1(ab0)通过点(32,32).1求椭圆C1的标准方程；2设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只需一个大年夜众点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：NAB面积为定值.【答案】1x2+y213=1；2看法析.【分析】1由于C1的离心率为63，因此69=1-b2a2，解得a2=3b2.将点(32,32)代入x23a2+y23b2=1，拾掇得14a2+14b2=1.联破，得a2=1，b2=13，故椭圆C1的标准方程为x2+y213=1.2证明：当直线l的歪率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0)，由对称性不妨取

10、M(1,0)，由1知椭圆C2的方程为x23+y2=1，因此有N(-3,0).将x=1代入椭圆C2的方程得y=63，因此SNAB=12MNAB=12(3+1)263=2+63.当直线l的歪率存在时，设其方程为y=kx+m，将y=kx+m代入椭圆C1的方程得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-1=0，由题意得=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-1)=0，拾掇得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2，因此AB=1+k2(x1+

11、x2)2-4x1x2=1+k2233k2+1-m23k2+1=261+k23m.设M(x0,y0)，N(x3,y3)，ON=MO，那么可得x3=-x0，y3=-y0.由于x02+3y02=1x323+y32=1，因此x02+3y02=12(x023+y02)=1，解得=3=-3舍去，因此ON=3MO，从而NM=(3+1)OM.又由于点O到直线l的距离为d=m1+k2，因此点N到直线l的距离为(3+1)d=(3+1)m1+k2，因此SNAB=12(3+1)dAB=12(3+1)m1+k2261+k23m=2+63，综上，NAB的面积为定值2+63.2已经清楚椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0

12、)的离心率为12，A，B分不为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右中心，过F的直线l与椭圆C交于差异的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6求椭圆C的方程；假设直线l的歪率为k(k0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：|MF|PQ|为定值【答案】x24+y23=1；看法析.【分析】由：x2a2+y2b2=1，令x=c可得y=b2a，那么|PQ|=2b2a，那么S四边形APBQ=12|AB|PQ|=122a2b2a=2b2=6，可得b2=3e=ca=12，a=2c，a2=b2+c2，a2=4椭圆C的方程为x24+y23=1证明：由题意可知F(1,0)，直线l的方程为y

13、=k（x-1），由x24+y23=1y=k(x-1)，可得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0设Px1,y1，Qx2,y2，x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，y1+y2=kx1+x2-2k=-6k4k2+3，设PQ的中点为N，那么N4k24k2+3,-3k4k2+3，那么MN的过程为y+3k4k2+3=-1kx-4k24k2+3，令y=0，可得Mk24k2+3,0，|MF|=3k2+14k2+3，|PQ|=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k28k24k2+32-44k2-124k2+3=12k2+14k2+3，|MF|PQ|=14为定值考向三征询题转化

14、【例3】已经清楚定点F1,0，横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，假设TF=TH+1.1求动点T的轨迹C的方程；2假设点P4,4不在直l:y=kx+m线上，同时直线l与曲线C订交于A,B两个差异点.征询能否存在常数k使妥善m的值变卦时，直线PA,PB歪率之跟是一个定值.假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明因由.【答案】1y2=4x2看法析【分析】1设点T在直线x=-1上的射影是R，那么由于T的横坐标不小于0，因此TR=TH+1，又TF=TH+1因此TF=TR即点T到F1,0的距离与T到直线x=-1的距离相当，因此T的轨迹是以为F1,0中心，以为x=-1准线的抛物线.即C的方程是y2=4

15、x2由于A,B在曲线C:y2=4x上，可设Aa24,a,Bb24,b，那么PA的歪率k1=a-4a24-4=4a+4,PB的歪率k2=b-4b24-4=4b+4因此k1+k2=4a+4+4b+4=4a+b+8ab+4a+b+16又曲线C与直线l订交于A,B两点，因此k0，因此联破方程，得y2=4xy=kx+mky2-4y+4m=0，因此a+b=4k,ab=4mk.k1+k2=4a+b+8ab+4a+b+16=44k+84mk+44k+16=8k+44k+m+4=1-m4k+m+4，此式随着m的变卦，值也在变卦，因此不存在k值称心题意.【举一反三】1.在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与

16、直线l：y=kx+3交于M，N两点.1设M，N到y轴的距离分不为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值.2y轴上能否存在点P，当k变卦时，总有OPM=OPN？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明因由.【答案】1看法析2存在,P(0,-3)【分析】1证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，那么x1x2=-18，从而d1d2=|x1|x2|=|x1x2|=18为定值.2解：存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，直线PM，PN的歪率分不为k1，k2.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(3-

17、b)(x1+x2)x1x2=-36k+6k(3-b)x1x2.当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成破，那么直线PM的倾歪角与直线PN的倾歪角互补，故OPM=OPN，因此点P(0,-3)符合题意.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已经清楚抛物线C:x2=2pyp0,直线l通过抛物线C的中心，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线C的方程；(2)已经清楚P2,1，过(-2,0)的直线m与抛物线C订交于A,B两点，设直线PA与PB的歪率分不为k1跟k2，求证：k1k2为定值，并求出定值.【答案】1x2=4y；214.【分析】1由题意得抛物线C:x2=2

18、pyp0的中心为F(0,p2)，过中心与对称轴垂直的直线为y=p2，直线y=p2与抛物线的两个交点为(-p,p2),(p,p2)，由题意得2p=4，抛物线C的方程为x2=4y2由题意直线m的歪率存在，设其方程为y=k(x+2)，由y=kx+2x2=4y消去y拾掇得x2-4kx-8k=0，直线m与抛物线交于两点，=16k2+32k0，解得k0设Ax1,y1,Bx2,y2，那么x1+x2=4k,x1x2=-8kk1k2=y1-1x1-2y2-1x2-2=x124-1x1-2x224-1x2-2=x1+2x2+216=x1x2+2x1+x2+416=14k1k2为定值，且定值为142已经清楚椭圆C:

19、x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右中心分不是F1，F，其离心率为12，点P是椭圆C上任一点，且PF1F2面积的最大年夜值为3.1求椭圆C的方程；2假设歪率不为0的直线与椭圆C订交于M，N两个差异点，且OMPN是平行四边形，证明：四边形OMPN的面积为定值.【答案】1x24+y23=1；23【分析】1由题意得ca=12,122bc=3,a2=b2+c2,c=1,b=3,a=2,椭圆C的方程为x24+y23=1；2设直线MN的方程为y=kx+m(k0)，Mx1,y1，Nx2,y2，Px0,y0由y=kx+mx24+y23=1，得3+4k2x2+8kmx+4m2-3=0，x1+x2=-8km3

20、+4k2，x1x2=4m2-33+4k2OMPN是平行四边形，OP=OM+ON，x0=x1+x2=-8km3+4k2，y0=y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，64k2m243+4k22+36m233+4k22=1，4m2=3+4k2，现在=(8km)2-163+4k2m2-3=483m20，x1+x2=-2km，x1x2=1-3m2，|MN|=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=31+k2|m|，点O到直线MN的距离为d=|m|1+k2，SOMPN=d|MN|=3.3已经清楚抛物线的顶点为原点，关于y轴对称，且过点N(-1,12).1求抛物线的方程；2已经清楚C

21、(0,-2)，假设直线y=kx+2与抛物线交于A，B两点，记直线CA，CB的歪率分不为k1，k2，求证：k1k2+k2为定值【答案】1x2=2y2见证明【分析】1设抛物线为x2=2py(p0)，将N(-1,12)代入得p=1，那么抛物线E的方程为x2=2y；2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x2=2yy=kx+2得x2-2kx-4=0，那么x1+x2=2k，x1x2=-4，=4k2+160，k1k2=y1+2x1y2+2x2=kx1+2+2x1kx2+2+2x2=(k+4x1)(k+4x2)=k2+4k(1x1+1x2)+16x1x2=k2+4k(x1+x2)+16x1x2=k2+8k

22、2+16-4=-k2-4，k1k2+k2=-4.因此k1k2+k2为定值4已经清楚在破体直角坐标系中，坐标原点为O，点A(-3p,0)(p0)，B、C两点分不在y轴跟x轴上运动，同时称心ABBQ=0，BC=12CQ，动点Q的轨迹为曲线M.1求动点Q的轨迹方程；2作曲线M的任意一条切线不含y轴l，直线x=-2p与切线l订交于E点，直线x=2p与切线l、x轴分不订交于F点与D点，试探究DE2-DF2OD2的值能否为定值，假设为定值央求出该定值；假设不为定值请说明因由.【答案】1y2=4px(p0)22【分析】1设Q(x,y)，B(0,y0)，C(x0,0)，那么BC=(x0,-y0)，CQ=(x-

23、x0,y)，BC=12CQ，(x0,-y0)=12(x-x0,y)，x0=x3，y0=-y2，BQ=x,3y2，AB=3p,-y2，又ABBQ=0，y2=4px(p0)，Q点的轨迹方程为y2=4px(p0).2DE2-DF2OD2的值为定值2.求解如下：由题可知切线l的歪率存在，设切线l的方程为y=kx+b，代入y2=4px可得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，由=0可得kb=p.由题设及直线l方程易得E(-2p,b-2kp)，F(2p,b+2kp)，D(2p,0)，DE2-DF2=(4p)2+(b-2kp)2-(b+2kp)2=16p2-8kpb.又kb=p，DE2-DF2=16p2-

24、8p2=8p2，DE2-DF2OD2=8p2(2p)2=2为定值.5已经清楚O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，直线l：y=kx+t交椭圆于A，B两点，OM=OA+OB，且点M在椭圆C上，当k=12时，t=1.1求椭圆方程；2试探究四边形OAMB的面积能否为定值，假设是，求出此定值；假设不是，请说明因由.【答案】1x24+y23=12看法析【分析】1由ca=12a2=4c2，b2=3c2，故椭圆方程可化为3x2+4y2=12c2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么3x12+4y12=12c2，3x22+4y22=12c2，两式相减拾掇得34+y1-y2

25、x1-x2y1+y2x1+x2=0，当k=12时，34+12kOM=0，解得kOM=-32，将y=12x+1与y=-32x联破，解得OM中点坐标为-12,34，故M-1,32代入椭圆C方程，拾掇得3(-1)2+4322=12c2，解得c2=1，故椭圆C的方程为x24+y23=1.2设AB中点为(x1,y1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，把y=kx+t代入椭圆C，拾掇得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0，=48(4k2-t2+3)0，x1+x2=-8kt4k2+3，x1x2=4t2-124k2+3，因此x0=-4kt3+4k2，y0=kx0+t=3t3+4k2.设M(xM,y

26、M)，那么xM=2x0=-8kt3+4k2，yM=2y0=6t3+4k2，代入椭圆C，得364k2t2(3+4k2)2+436t2(3+4k2)2=124t2=3+4k2，y1-y2=k(x1-x2)=k16(9+12k2-3t2)3+4k2.当k0时，设y=kx+t交x轴于点P，那么xP=-tk.SAOB=12xPy1-y2=12tkk16(9+12k2-3t2)3+4k2=123+4k24169+12k2-33+4k243+4k2=32.当k=0时，AOB的面积为32，故AOB面积为定值32.由于S四边形OAMB=2SAOB=3，因此四边形OAMB面积为定值3.6已经清楚椭圆C:x2a2+

27、y2b2=1(ab0)的一个中心与抛物线y2=43x的中心重合，且离心率为32.1求椭圆C的标准方程；2只是原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，假设三直线OM、l、ON的歪率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的歪率及|OM|2+|ON|2的值.【答案】(1)x24+y2=1(2)k=12,OM2+ON2=5【分析】1依题意得c=3,ca=32a=2，又a2-b2=3b=1椭圆C的方程为x24+y2=12设直线l的方程为y=kx+mm0，Mx1,y1,Nx2,y2由y=kx+mx24+y2=1得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0，x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-11+

28、4k2.由题设知k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2+kmx1+x2+m2x1x2，kmx1+x2+m2=0，-8k2m21+4k2+m2=0，m0，k2=14.现在(x1+x2)2=(-8km1+4k2)2=4m2,x1x2=4m2-11+4k2=2m2-1那么OM2+ON2=x12+y12+x22+y22=x12+1-x124+x22+1-x224=34(x12+x22)+2=34x1+x22-2x1x2+2=344m2-4m2-1+2=5故直线l的歪率为k=12,OM2+ON2=5.7已经清楚双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y=43x，

29、右中心F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点差异于A1，A2，直线A1P，A2P分不与直线l:x=95交于M，N两点1求双曲线的方程2证明FMFN为定值【答案】1x29-y216=12看法析.【分析】试题分析：()先设双曲线方程为:x2a2-y2b2=1,按照题意可得关于a、b的方程组,解可得答案.()按照题意,易得A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0),设P(x,y)，M95,y0,易得向量A1P=(x+3,y)，A1M=245,y0,又由共线向量的坐标运算,可得M的坐标,进而可得N的坐标,由此可得:FM,FN的坐标,即可得FMFN=25625-14425y2x2-9

30、,结合双曲线的方程,代换可得证明.试题分析：1依题意可设双曲线方程为：x2a2-y2b2=1，那么ba=43c=5c2=a2+b2a=3b=4，所求双曲线方程为x29-y216=12A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设P(x,y)，M95,y0，A1P=(x+3,y)，A1M=245,y0，A1、P、M三点共线，(x+3)y0-245y=0，y0=24y5(x+3)即M95,24y5(x+3)，同理得N95,-6y5(x-3)，FM=-165,24y5(x+3)，FN=-165,-6y5(x-3)，那么FMFN=25625-14425y2x2-9，x29-y216=1，y2x2-

31、9=169FMFN=25625-14425169=25625-25625=0即FMFN=0定值8.如图，为椭圆的左右中心，是椭圆的两个顶点，假设点在椭圆上，那么点称为点的一个“椭点.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点分不为，已经清楚以为直径的圆通过坐标原点.1求椭圆的标准方程；2试探讨的面积能否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，请说明因由.【答案】1；2的面积为定值1.【分析】1由题可得解得，故椭圆C的标准方程为.2设，那么，.由，即.*当直线AB的歪率不存在时，.当直线AB的歪率存在时，设其直线为，联破得，那么，同理，代入*，拾掇得，现在，S=1.综上，的面积为定值1.9已经清楚椭

32、圆C:x2a2+y2b2=1ab0通过点M0,-1，长轴长是短轴长的2倍.1求椭圆C的方程；2设直线l通过点N2,1且与椭圆C订交于A,B两点异于点M，记直线MA的歪率为k1，直线MB的歪率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值.【答案】(1)x24+y2=1；21。【分析】1由椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0可知椭圆的中心在x轴上，通过点M0,-1因此b=1，又由于长轴长是短轴长的2倍，因此a=2，因此椭圆的标准方程为：x24+y2=1。2假设直线l的歪率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只需一个交点，不符合题意。设直线l的歪率为k，假设k=0，直线l与椭圆只需一个交点，不符合题

33、意，故k0。因此直线l的方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1，直线l的方程与椭圆的标准方程联破得：x24+y2=1y=kx-2k+1消去y得，(1+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么x1+x2=8k(2k-1)1+4k2,x1x2=16k2-16k1+4k2，k1=y1+1x1,k2=y2+1x2，k1+k2=y1+1x1+y2+1x2=(y1+1)x2+(y2+1)x1x1x2=(kx1-2k+1+1)x2+(kx2-2k+1+1)x1x1x2=2kx1x2+(2-2k)x2+(2-2k)x1x1x2=2k-(2k-

34、2)(x1+x2)x1x2把x1+x2=8k(2k-1)1+4k2,x1x2=16k2-16k1+4k2代入上式，得k1+k2=2k-(2k-2)8k(2k-1)16k2-16k=1，命题得证。10已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0离心率等于12，P2，3、Q2,-3是椭圆上的两点.1求椭圆C的方程；2A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.当A,B运动时，称心APQ=BPQ，试征询直线AB的歪率能否为定值？假设为定值，央求出此定值；假设不是定值，请说明因由.【答案】1x216+y212=1；2定点12【分析】由题意可得ca=124a2+9b2=1a2=b2+c2，解得a4，b=23，

35、c2椭圆C的方程为x216+y212=1；设Ax1，y1，Bx2，y2，当APQBPQ，那么PA、PB的歪率之跟为0，设直线PA的歪率为k，那么PB的歪率为k，直线PA的直线方程为y3kx2，联破y=k(x-2)+3x216+y212=1，得3+4k2x2+8k32kx+432k2480x1+2=8k(2k-3)3+4k2同理直线PB的直线方程为y3kx2，可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-

36、4kx1-x2=k16k2-123+4k2-4k-483+4k2=12，AB的歪率为定值1211已经清楚椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0过点P3，32，且其中一个中心的坐标为1，0，1求椭圆E的方程；2假设直线l:x=my+1mR与椭圆交于两点A，B，在x轴上能否存在点M，使得MAMB为定值？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明因由.【答案】(1)x24+y23=1(2)见证明【分析】1F1-1.0跟F21,0是椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的两个中心，且点P3,32在椭圆E上，依题意，c=1，又2a=3-12+322+3+12+322=1219-83+19-83=124-3

37、2+4+32=4故a=2.由b2+c2=a2得b2=3.故所求椭圆E的方程为x24+y23=1.2假设存在点Mx0,0，使得MAMB为定值，联破x24+y23=1x=my+1，得3m2+4y2+6my-9=0设Ax1,y1，Bx2,y2，那么，y1y2=-93m2+4，MA=x1-x0,y1，MB=x2-x0,y2，MAMB=x1-x0x2-x0+y1y2=m2+1y1y2+1-x0my1+y2+1-x02=m2+1-93m2+4+1-x0m-6m3m2+4+1-x02=6x0-15m2-93m2+4+1-x02要使上式为定值，即与m有关，应有6x0-153=-94解得x0=118，现在MAM

38、B=-13564因此，存在点M118,0使得MAMB=-13564为定值.12已经清楚椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(ab0)通过点(32,32).1求椭圆C1的标准方程；2设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只需一个大年夜众点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：NAB面积为定值.【答案】1x2+y213=1；2看法析.【分析】1解：由于C1的离心率为63，因此69=1-b2a2，解得a2=3b2.将点(32,32)代入x23a2+y23b2=1，拾掇得14a2+14b2

39、=1.联破，得a2=1，b2=13，故椭圆C1的标准方程为x2+y213=1.2证明：当直线l的歪率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0)，由对称性不妨取M(1,0)，由1知椭圆C2的方程为x23+y2=1，因此有N(-3,0).将x=1代入椭圆C2的方程得y=63，因此SNAB=12MNAB=12(3+1)263=2+63.当直线l的歪率存在时，设其方程为y=kx+m，将y=kx+m代入椭圆C1的方程得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-1=0，由题意得=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-1)=0，拾掇得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得(1+3k2)x2+6

40、kmx+3m2-3=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2，因此AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2233k2+1-m23k2+1=261+k23m.设M(x0,y0)，N(x3,y3)，ON=MO，那么可得x3=-x0，y3=-y0.由于x02+3y02=1x323+y32=1，因此x02+3y02=12(x023+y02)=1，解得=3=-3舍去，因此ON=3MO，从而NM=(3+1)OM.又由于点O到直线l的距离为d=m1+k2，因此点N到直线l的距离为(3+1)d=(3+1)m1+k2，因此SNAB=

41、12(3+1)dAB=12(3+1)m1+k2261+k23m=2+63，综上，NAB的面积为定值2+63.13已经清楚椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为22，椭圆C截直线y=1所得的线段的长度为22.求椭圆C的方程；设直线l与椭圆C交于A,B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，假设OA+OB=OD，判定四边形OADB的面积能否为定值？假设为定值，求出定值；假设不是，请说明因由.【答案】x24+y22=1看法析【分析】()由ca=222a2+1b2=1a2=b2+c2解得a=2,b=c=2得椭圆C的方程为x24+y22=1.当直线l的歪率不存在时，直线AB的方程为x=-1或x=

42、1，现在四边形OADB的面积为6当直线l的歪率存在时，设直线l方程是y=kx+m，联破椭圆方程y=kx+mx24+y22=1(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0=8(4k2+2-m2)0，x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-41+2k2y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2AB=1+k2224k2+2-m21+2k2点O到直线AB的距离是d=m1+k2由OA+OB=OD,得xD=-4km1+2k2,yD=2m1+2k2由于点D在曲线C上，因此有(-4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1拾掇得1+2k2=2m2由题意四边形OADB为平行四边形，因此四边形OADB的面积为SOADB=ABd=1+k2224k2+2-m21+2k2m1+k2=22m4k2+2-m21+2k2由1+2k2=2m2得SOADB=6,故四边形OADB的面积是定值，其定值为6