20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.5 三角函数的性质（解析版）.docx

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1、第五讲三角函数的性质【套路秘籍】-始于足下始于足下一正弦函数、余弦函数、正切函数的图象跟性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRx|x+k,kZ值域-1,1-1,1R单调性在2k-,2k+(kZ)上单调递增;在2k+,2k+(kZ)上单调递减在2k-,2k(kZ)上单调递增;在2k,2k+(kZ)上单调递减在(k-,k+)(kZ)上单调递增最值x=2k+(kZ)时,ymax=1;x=2k-(kZ)时,ymin=-1x=2k(kZ)时,ymax=1;x=2k+(kZ)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k,0)(kZ)对称中心(k+,0)(kZ)对称

2、中心(,0)(kZ)对称轴l:x=k+(kZ)对称轴l:x=k(kZ)最小正周期22二用五点法作正弦函数跟余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)2在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一“五点法作正、余弦函数的图象【例1】用“五点法作出以下函数的简图(1)ysinx1，x0,2；(2)y2cosx，x0,2【答案】看法析【分析】(1)列表：x02sinx01010sinx110121描点连线，如图(2)列表：X02cosx10101

3、2cosx32123描点连线，如图【套路总结】用“五点法作函数yAsin(x)图象的步伐第一步：列表.x02xy0A0A0第二步：在一致坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，掉掉落一个周期内的图象【举一反三】1用“五点法作出函数y2sinx，x0，2的图象【答案】看法析【分析】列表如下：x02sinx010102sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如以下列图2.y|sinx|，x0,4【答案】看法析【分析】作ysinx，x0,4的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方(原x轴上方的部分波动)，得y|sinx|的图象(如图所示)考向二周期【例2】求以下三角函数的周期：(1

4、)ycos2x，xR；(2)ysin，xR；(3)y|cosx|，xR.(4)ycos|x|.【答案】1263(4)2【分析】(1)由于cos2(x)cos(2x2)cos2x，由周期函数的定义知，ycos2x的周期为.(2)由于sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(3)y|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y|cosx|的周期为.(4)由于函数ycosx为偶函数，因此ycos|x|cosx，从而函数ycos|x|与ycosx的图象一样，因此最小正周期一样，为2【套路总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为yAsin(x)B或yAco

5、s(x)B的方法，再使用T求得；yAtan(x)B,(2)图象法，使用变卦的方法或作出函数的图象，通过不雅观看掉掉落最小正周期【举一反三】1.已经清楚函数f(x)cos(0)的最小正周期为4，那么_.【答案】【分析】f(x)cos(0)，由周期打算公式，可得T4，解得.2假设函数f(x)sin(0)的最小正周期为，那么f的值是_【答案】【分析】由题意，得，因此2，f(x)sin.因此fsinsin.3函数的最小正周期为ABCD【答案】A【分析】由，可得：，因此此题选A。考向三单调性【例3】1函数f(x)tan的单调递增区间是_(2)已经清楚函数f(x)2sin，那么函数f(x)的单调递减区间为

6、_3函数ysinxcosx的单调递增区间是_4已经清楚0，函数f(x)sin在上单调递减，那么的取值范围是_【答案】1(kZ)2(kZ)34【分析】1由k2xk(kZ)，得x(kZ)，因此函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)2函数的分析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)3ysinxcosxsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函数的单调递增区间为(kZ)，又x，函数的单调递增区间为.4由x0，得x0，kZ，得k0，因此.【套路总结】求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数的单调区间时，假设为负数，

7、那么要先把化为负数当A0时，把x全部放入ysinx或ycosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；全部放入ysinx或ycosx的单调减区间内，可求得函数的减区间当A0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间【举一反三】1.函数f(x)cosxsinx(x，0)的单调增区间为_【答案】【分析】由已经清楚f(x)sinxcosxsin，由f(x)0且x，0，得x，由f(x)的图象(图略)可得，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，函数f(x)的单调增区间为.2假设函数ycosx在区间，a上为增函数，那么实数a的取值范围是_【答案】(，0【分析】由于ycosx在，0上是增函数，在0，

8、上是减函数，因此只需当a0时称心条件，故a(，03.假设函数g(x)sin在区间跟上均单调递增，那么实数a的取值范围是_【答案】【分析】由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间跟上均单调递增，解得a0)的最小正周期为4，那么该函数的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称【答案】B【答案】函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，因此，即f(x)2sin。函数f(x)的对称轴为k，解得x2k(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标为k，解得x2k(kZ)，令k1得f(x)的一个对称中心。应选B。【例5-2

9、】已经清楚函数y=sin(2x+)-22的图象关于直线x=3对称，那么的值是_【答案】-6【分析】由函数y=sin(2x+)的图象关于直线x=3对称，得sin(23+)=1，由于-22，因此623+76，那么23+=2，解得=-6，故答案为：-6【套路总结】关于三角函数，其对称轴肯定通过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标肯定是函数的零点，因此在揣摸直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值停顿揣摸。【举一反三】1已经清楚函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，那么f(x)图象的对称中心是_【答案】(kZ)【分析】函数f(x)2sin(2x)的

10、图象过点(0，)，那么f(0)2sin，sin，又|0)的最小正周期为2，那么该函数的图象A关于直线x=12对称B关于直线x=24对称C关于点12，0对称D关于点24，0对称【答案】B【分析】函数fx2sinx+30的最小正周期为2，可得4，函数fx2sin4x+3由4x+3=k+2，可得x=k4+24，kZ当k0时，函数的对称轴为：x=24应选：B3已经清楚函数f(x)=2sin(x+)(0,0)最小正周期为，图象过点(4,2).1求函数f(x)图象的对称中心；2求函数f(x)的单调递增区间.【答案】1(k2-8,0)(kZ)；2-38+k,8+k(kZ)【分析】1由已经清楚得=2，解得=2

11、.将点(4,2)代入分析式，2=2sin(24+)，可知cos=22，由0可知=4，因此f(x)=2sin(2x+4).令2x+4=k(kZ)，解得x=k2-8(kZ)，因此函数f(x)图象的对称中心为(k2-8,0)(kZ).2令-2+2k2x+42+2k(kZ)解得-38+kx8+k(kZ)，因此函数f(x)的单调递增区间为-38+k,8+k(kZ).考向六定义域【例6】1函数f(x)2tan的定义域是_2函数y的定义域为_3函数ylg(sinx)的定义域为_【答案】12(kZ)3【分析】1由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)2方法一要使函数有意思，必须使sinxcosx0.使

12、用图象，在一致坐标系中画出0,2上ysinx跟ycosx的图象，如以下列图在0,2内，称心sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，因此原函数的定义域为.方法二使用三角函数线，画出称心条件的终边范围(如图中阴影部分所示)因此定义域为.3要使函数有意思，那么即解得因此2kx2k(kZ)，因此函数的定义域为.【套路总结】三角函数定义域的求法1.按照函数求定义域的原那么列出不等式组2.常借助三角函数线或三角函数图象来求解【举一反三】1.函数y的定义域为_。【答案】【分析】要使函数有意思，必须有即故函数的定义域为。2.函数ylg(sinx)的定义域为_。【答案】【分析】函数有意思，那么即

13、解得因此2kx2k(kZ)，因此函数的定义域为2k0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性【答案】看法析【分析】(1)f(x)sinxcosxsin(0)，且T，2，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)由于x，因此令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，令k0，得f(x)在上的单调递减区间为.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1函数的最小正周期

14、为()ABC2D4【答案】B【分析】，最小正周期，应选B.2已经清楚函数，那么以下关于它的说法精确的选项是A图象关于轴对称B图象的一个对称中心是C周期是D在上是增函数【答案】B【分析】函数那么函数的图象关于原点对称，应选项A差错函数的最小正周期为，应选项C差错事前，应选项B精确令，拾掇得：，因此函数在上单调递减应选项D差错应选：B3假设函数f(x)=sin2x+cos2x，那么A函数fx的最小正周期为2B函数fx的最大年夜值为2C函数fx的一个对称中心为(8,0)D函数fx在(,98)上是增函数【答案】D【分析】函数fx=sin2x+cos2x=2sin（2x+4）它的最小正周期为22=，故打

15、扫A；函数fx的最大年夜值为2，故打扫B；令x=8，求得fx=2，故函数fx的图象不关于点(8,0)对称；故打扫C；x,98，t=2x+42+4，2+2，现在y=2sint在2+4，2+2上单调递增，函数fx在(,98)上是增函数应选：D4已经清楚函数，假设，且，那么的最小值为ABCD【答案】D【分析】由题得等于函数的零点的2倍，因此的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令因此,因此因此绝对值最小的零点为，故的最小值为.应选：D5函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1的图像的对称轴可以为Ax=8Bx=4Cx=2Dx=-4【答案】A【分析】fx=2sinxcosx+2co

16、s2x-1=sin2x+cos2x=2sin2x+4,令2x+4=k+2(kZ),解得x=k2+8,(kZ),当k=0时，x=8，应选：A6函数f(x)=sin(x+3)(0)的最小正周期为2，那么该函数的图象A关于直线x=12对称B关于直线x=24对称C关于点12，0对称D关于点24，0对称【答案】B【分析】函数fx2sinx+30的最小正周期为2，可得4，函数fx2sin4x+3由4x+3=k+2，可得x=k4+24，kZ当k0时，函数的对称轴为：x=24应选：B7假设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-8对称，那么a等于A3B1C-3D-1【答案】D【分析】由题意得：y=

17、sin2x+acos2x=a2+1sin2x+，其中tan=a事前x=-8，y=sin-4+acos-4=22a-2222a-22=a2+1或22a-22=-a2+1解得：a=-1此题精确选项：D8函数y=sinx+6N*的一条对称轴x=6，那么的最小值为_【答案】2【分析】函数y=sinx+6N*的一条对称轴x=6，6+6=2+k,kZ，=2+6k,kZ，又N*，的最小值为2故答案为：29已经清楚函数y=sin(2x+)-22的图象关于直线x=3对称，那么的值是_【答案】-6【分析】由函数y=sin(2x+)的图象关于直线x=3对称，得sin(23+)=1，由于-22，因此623+0,0为偶

18、函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为，那么f的值为_【答案】【分析】由于函数f(x)sin(x)cos(x)2sin为偶函数，因此k，kZ，令k0，可得，按照其图象的两条相邻对称轴间的距离为，可得，因此w2，因此f(x)2sin2cos2x，因此f2cos2cos.11.已经清楚函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有f(x)f成破，那么f(x)图象的对称中心是_【答案】，kZ【分析】由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.由于f(x)f恒成破，因此f(x)maxf，即2k(kZ)，又|0，0)假设f(x)在区间上存在单调性，且fff，那么f(x)的最小正周期为_【答案】【分

19、析】记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出表示图如以下列图(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.14已经清楚函数，假设，且，那么的最小值为【答案】【分析】由题得等于函数的零点的2倍，因此的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令因此,因此因此绝对值最小的零点为，故的最小值为.15已经清楚函数f(x)sin(2x)，其中为实数，假设f(x)对任意xR恒成破，且f0，那么f(x)的单调递减区间是_【答案】(kZ)【分析】由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，故有2k，kZ，即k，kZ.又fsin0，因此2n，nZ，因此f(x)sin(2x2n)s

20、in2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.16已经清楚函数f(x)，那么以下说法精确的选项是_(填序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.【答案】【分析】函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间是，kZ，精确17设函数f(x)2sinm的图象关于直线x对称，其中0.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设函数yf(x)的图象过点(，0)，求函数f(x)在上的值域【答案】1323，0【分析】(1)由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0，函数f(x)的最小正周期为3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，当0x时，x，sin1.3f(x)0，故函数f(x)在上的值域为3，0.