2023年河南电大高等数学形考作业答案.doc

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1、第一章 初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 拟定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数: 1. ()；解: 为偶函数.2.；解: , 为奇函数.3. 解: ,为奇函数.二. 设,求。解: , 三.设,试求复合函数的定义域和值域。解: , , , , .四.设 , 求复合函数。解: , 第二章 极限与连续2.1 数列极限一. 填空: (河南学历考试网 .com)1.设,对于任意的正数,当大于正整数时, ,所以；当大于正整数19.999时, 。2. 设, 对于任意的正数, 当大于正整数时, ,所以。3. 对于任意的正整数, 存在正整数, 当时, , 所以。二. 用定义证明。证. ,

2、要使, 即, 只要, 即. 取正整数,则当时, 就有, 即.三. 对于数列, 若(),(), 证明: ()。证. , (), , 只要, 就有; 又因(), , 只要, 就有. 取, 只要, 就有, 因此有 ().2.2 函数极限一. 填空1. 极限的定义是: 对于任意的,存在,当时,就有。2. 极限的定义是: 对于任意的, 存在, 当时,就有。3. 极限的定义是:对于任意0, 存在, 当时, 就有。4.对于任意的正数,存在正数=,当时,因此。二. 求在处的左、右极限, 并说明在处的极限是否存在。解: , , 由于, 所以在处的极限不存在.三. 用定义证明: 。证: 不妨设, 即, 从而, ,

3、 要使, 只要. 于是取, 则当时, 就有, 因此.四. 用极限定义证明:函数当时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等。证: 必要性. 若, , , 当时, 就有. 因而, 当时, 有, 所以; 同时当时, 有, 所以.充足性. 若,. , , 当时, 就有, 也, 当时, 有. 取,则当时, 就有. 所以.2.3 无穷大与无穷小一. 求下列量的等价无穷小量():1. ； 解. 的等价无穷小量为2. ； 解. 的等价无穷小量为.3. 解. 的等价无穷小量为二. 求下列量的等价无穷大量:1. ；解. 的等价无穷大量为 2. 。解. 的等价无穷大量为.三. 当时，下面等式成立吗？ 1.；

4、解. , 2.； 解. 3. 。解. 不一定趋于零, 不一定成立(当时)2.3 极限的运算法则一. 判断题(对的的结论打“”，错误的结论打“”): 1. 若存在，不存在，则不存在。 ()反证. 若存在, 则存在, 矛盾. 2. 若，均不存在，则不存在。 ( )例如: , ，均不存在, 但 3., 则。 () 4. 若, 又与均存在，则。 ()例如. 时, , 但 5. 。 ()二. 填空:1. 已知，则_, _。, 即, 2. 已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知三. 计算题:1. ；解: 2.； 解: 3 ；解. 4. ； 解. 5. 。解. 2.4 两个重要极限一.

5、求下列极限:1. ； 解. 原式=2. (为整数)；解. 原式3. (为奇数)；解. 原式4. ； 解. 原式 =二. 求下列极限:1. ； 解. 原式=2. ；解. 原式=2.6 函数的连续性一. 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型:1. ； 解. , 为唯一的第一类(跳跃)间断点.2. ；解. ， (整数集)， ，为第一类 (跳跃) 间断点；3. ；解. , 为其间断点, 为第一类可去间断点; 为第二类间断点.4.。解. 为第二类本性间断点.二. 适当选取, 使函数连续。解. , 当时, 即为连续函数.三. 证明方程有且只有一个实根。证. 令, 由零点定理, 至少存在一点使得, 其唯一

6、性, 易由的严格单调性可得. 四. 求下列极限:1. ； 解. 2. ； 解. 3. 。解. 第三章 导数与微分3.1 导数的概念一 选择题1 下列命题对的的是（ D ）(A) 初等函数在其定义区间内可导；(B) ，其中为常数；(C) 若曲线在点处有切线，则存在；(D) 可导的偶函数的导数是奇函数2 下列命题不对的的是（ B ）(A) 若在处不连续，则在处必不可导；(B) 若在处的左导与右导均存在，则存在；(C) 若在处可导，则在处必连续但不一定可导；(D) 若存在，则极限二 填空题1 设，则 2 设，则，。3 设某物体的运动规律为，则该物体在秒到秒的时间段内的平均速度，及秒时瞬时速度。三 设

7、函数在处可导，求下列极限值1；解. 原式2 解. 原式四设 ，求解. 当时, , 当时, ,当时, , 显然, 不存在. 则得, 五设抛物线与相切，试求1a值及切点坐标2过该点的切线方程和法线方程解. 1. 由题意知, 即, 求得及, 故得, 切点.2. 斜率, 所求切线方程为，即；法线方程为，即。3.2 求导法则一. 填空题1设，则，若，则2设，则， 3设，则4 设，则 二计算下列各函数的导数1解：2解. 3 （）解. 4 ()解. 三设可导，求解. 四. 设 求解. 令, 于是, . , 则得3.3高阶导数一. 填空题1. 设, 则2. 设, 则3. 设, 则4. 已知具有任意阶导数, 且

8、, 则当(为正整数)时, 二. 计算下列各函数的阶导数.1. ;解 ，2. ;解 由此推得 三.设三阶可导, 且, 求解 3.4微分与微分技术一. 填空题1设在处可导，且，则 0 。2设在处可导，且，则当时，该函数在处微分是与的同阶 无穷小。3；4二设下列各方程拟定函数, 求1解 由，得，2解 ，即，得，则得3 在处解 ， ，又，则三 设是由方程拟定，其中是可微函数 试求：解 由，得四设曲线方程为求曲线在处的切线方程解 由得，, 。当时，。则过点的切线方程为，即。第四章 中值定理与导数的应用练习4.1 微分中值一、 试证明：对函数 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.证：设

9、显然，f (x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 内可导，由Lagrange定理得至少有一点，使 即 即求得的位于区间的正中间.二、 已知函数，不求的导数，讨论方程的实根并指出它们所在的区间.解：由于 f (1 )= f (2 ) = f (3 ) = f (4 ) = 0 ,函数f (x )在区间 (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) 上满足Rolle定理条件，由Rolle定理得至少有一点 使 ，又为一元三次函数，因而方程最多只有三个实根，所以，方程有三个实根分别属于(1, 2), (2, 3), (3, 4).三、 证明下列不等式：,2 当x1时，e x e x .四、 证

10、明：若函数在(-,+)内满足不等式，且，则.五、 证明方程 x 3 x 2 x1 = 0 只有一个实根.练习4.2 LHospital法则一、 判断题（对的的打“”，错误的打“”）1 （ ）2 极限不存在 （ ）3设在x0处二阶可导，则 （ ）二、 计算题 三、 已知求a ,b . (2) 练习4.3 函数的单调性一、 填空函数的单调递减区间为 (0, 1) ，单调递增区间为 (- ,0)和 (1，+ ) 二、 证明不等式：当时，练习4.4 函数的极值与最值一、 填空1当x = 3/4 时，函数 取极大值y = 5/4 .2函数满足 b2 -3ac 0, 0, 0. 二、解：1. 2. A+B

11、+C 3. 4. AB+BC+AC 5. 三、解：1. 2. 3. 4. 5. A+B+C 6. 四、解：1. 依题意：，故 2. . 3. . 4. 由于AB=，故. 五、解：1. 表达1990年以前出版的中文数学书； 2. 在“馆中的数学书都是90年后出版的中文版”的条件下，有 =A； 3. 表达1990年以前出版的都是中文版。练习12.3 随机事件的概率一、解：1. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 =10.3=0.7 =0.2 =0.92. P(A+B)=1P二、解：1. 以50人中选3人的组合为基本领件，则基本领件

12、总数为，以A表达事件“某甲当选”，故事件A具有个基本领件，因而。 2. 以50人中选出3人的任一种任职方式（排列）作为基本领件，则基本领件总数为，以B表达事件“某甲当选为班长”，故事件B具有个基本领件，因而。三、解：随机实验为任意取9桶交订货人，设A=“如数得到定货”（4桶白、3桶黑、2桶红），基本领件总数为，有助于A的基本领件数为，所以，=0.1037。四、解：1. 10张卡片中任取三张有种取法，若取出的3张卡片中最大标数为5，则其余2张上的数只能是0, 1, 2, 3, 4，这5个数中的2个，有种也许取法，因而得。 2. 若取出的3数中中间的一数为5，则最小数取自0, 1, 2, 3, 4

13、，最大数取自6, 7, 8, 9，各有、种取法，共有种取法，故。五、解：1. 设X、Y分别表达甲、乙两轮到达码头的时刻，则X、Y可以取区间0, 12内的任意一个值，即，而两轮都不需要空出码头（用A表达）的充要条件是：YX或XY2，在平面上建立直角坐标系（如图），两轮都不需要空出码头的时间如图中阴影部分所示，这是一个几何概率问题，所以 。 2. A不是不也许事件，故P(A)=0。练习12.4 条件概率及其性质一、解：1. P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)，P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)= 0.5+0.40.6=0.3；P(A|B)=0.75，故应选(D)。 2. 由题知A，

14、B互相独立，则P(AB)=P(A)P(B)，又P(A)0，P(B)0，P(AB)0，因而A，B不也许互不相容，故应选(A)。二、解：1. A(AB)=A P(A(AB)=P(A)=0.4，又A、B互相独立 P(AB)=P(A)P(B)=0.40.2=0.08， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.52 P(A|AB)=。2. 设B表达选出的“网球是正品”，显然， P(A)=P(AB)=P(A|B)P(B)= 0.550.96=0.528.三、解：依题意知：， 从而0.214 P(B|A)=0.375 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.633四、解：设Ai (i=1, 2

15、, 3, 4)表达事件“第i次取到红球”，则分别表达事件第三、四次取到白球，所求概率为 五、解：设B1、B2分别表达“从甲袋中取出的球为白球，黑球放入乙袋”的事件，A表达“从乙袋中取出的球为白球”的事件，由题意： B1，B2为一完备事件组 1. 由全概率公式知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)= 2. P(B1|A)= 3. P(B2|A)=六、解：设A表达“从这批产品中任取一件产品为次品”，Bi (i=1, 2, 3)表达“从这批产品中任取一件是i厂生产的”，依题意B1、B2、B3构成一个完备事件组，由全概率公式P(A)=七、解：设C表达“传递出去的信息是A”，D表达“接受到的信息是A”P(D|C)=10.02=0.98