2022年轮胎生产安排计划的数学模型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三期 2004 年 12 月韶关学院同学数学建模论文集轮胎生产支配方案的数学模型何荣坚 1 陈晔 2 郑可逵 31韶关学院 2002 级电脑系科学与技术本3班,广东韶关 512005； 2韶关学院 2001 级数学系数学与应用数学 1 班,广东韶关 512005； 3韶关学院 2002 级数学系信息技术训练2班,广东韶关 512005 摘要 : 本文是一个生产支配优化问题 , 在问题中全面分析了轮胎生产问题的约束条件 , 构建了基于整数规划的每一季度的生产时间与生产个数的的数学模型 . 利用 Matlab 软件中的线性规划函数 Linprog

2、 对每一季度的生产进行优化求解,对模型实行简化,加快对模型的求解 . 在求解过程中,利用连续放松法把该问题更加简化,转换成线性规划问题 . 在满意约束条件的情形下,通过对变量的取整与调整,使得解更加靠近最优解 .关键词 : 整数规划 ; 优化支配 ; 连续松驰1 问题的提出某汽车轮胎公司能够生产尼龙和玻璃纤维两种轮胎,量如表一：在前三个季度中将要交付的轮胎数表一 : 日期尼龙轮胎玻璃纤维轮胎第一季度4000 1000 其次季度8000 5000 第三季度3000 5000 总计15000 11000 该公司有两台硫化机,其中一台惠林硫化机,一台雷格尔硫化机,仍有可用来生产这两种轮胎的合适的模子

3、；在将来的三个季度内,这两台机器可供使用的生产小时数如表二：表二 : 日期惠林硫化机雷格尔硫化机第一季度700 1500 其次季度300 400 第三季度1000 300 每台机器生产每种轮胎的效率以每只轮胎需要多少小时表示如下表三：表三 : 类型惠林硫化机雷格尔硫化机尼龙轮胎玻璃纤维轮胎不管用哪种机器,也不管生产哪种轮胎,轮胎生产的生产费用是每操作一小时 5 美元,每只轮胎每个月的储备费用 0.1 美元,每只尼龙轮胎和玻璃纤维轮胎的材料费用分别为 3.10美元和 3.90 美元, 每只轮胎的装配、包装和运输费用是 0.23 美元, 每只尼龙轮胎的价格是7.00 美元,每只玻璃纤维轮胎的价格是

4、 9.00 美元；该公司治理人员提出以下问题：第四季度初到达,假如支付 200 美元的小费, 就可以提前在第三季度到达, 这样第三季度就可增加 172 小时的机器工作时间；这台硫化机究竟要不要提前到达？2 模型的假设65 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - No.3 韶关学院同学数学建模论文集第三期 2004 年 12 月. 1假设交货都是在每一季度的最终一天完成的, 当前季度生产的轮胎不用储备费. 2假设生产货物过程中以小时为单位, 不足一个小时的按一个小时来算机器操作费3假设第一季度生产的时候没有存货. 3 符号说

5、明4ijx :第 i 个季度第j 种机器加工型轮胎的小时数. i,12 ,;3jj,12;y :第i个季度第j 种机器加工型轮胎的小时数. i,12 ,;3j,12 ;jp :第 j 型轮胎的材料费的单价. j,12;,12 ;n: 轮胎的装配 , 包装 , 运输轮胎的单位费用. ,12 ;iq: 第 i 型轮胎的单价 . iiijt :第种 i 机器生产第j 种轮胎的单位时间. ,123, ;ijs :第 i 个季度 j 型轮胎的生产的实际数目. ii,1,2;3j,12 ;iu :第 i 个季度的机器操作费. ,123, ;iv :第 i 个季度的储备费. i,123, ;w : i第 i

6、 个季度完成交货任务后的剩余轮胎的总数. i,123, ;Q :生产的总成本 . . M :生产的总收益 . 模型的分析与建立尼龙轮胎称为第一种轮胎, 同样把玻璃纤维轮胎称为其次种轮胎目标函数与各个季度各种机器生产的各种轮胎的数量限制时间都为一次线性函数, 故可以用线性规划求解. , 与各个季度各种机器的生产由已知条件可以得出线性规划的目标函数, 约束方程 .: 1 依据题意分析可知, 机器操作费只与时间有关系, 并且得出表达式为2uix ijy iji,123, ;j12 由假设 3 可知 , 第一季度的储备费为0; 又其次季度两种轮胎的存货即为第一季度生产的总数减去第一季度的要求交货量后的

7、数目, 所以其次季度的储备费为: v20 1.x 11x 124000y 11y 121000t11t21t12t22同理可知 , 第三季度的总储备费为其次季度的存货加上第三季度的生产总数再减去第 三季度的交货量后的储备费 : 66 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三期 2004 年 12 月韶关学院同学数学建模论文集x 11 x 12 4000 x 21 x 22 8000t 11 t 21 t 11 t 21v 3 0 . 1y 11 y 12 1000 y 21 y 22 5000t 12 t 22 t 1

8、2 t 223材料费用为： 由于材料费只与轮胎的数量有关系 , 又依据题意可知 , 在满意最小成本的条件下 , 生产轮胎的数量就必需等于交货的总量 . 故, 材料费是肯定值 , 即为 : 2 3p j s ij .3 10 15000 3 . 90 11000j 1 i 14装配、包装、运输费用为：同理由材料费的分析可知与轮胎的数量有关j2, 即为 : 3ijs0 . 23i11, 装配、包装、运输费用也只故目标函数即为：总成本=机器操作总费用+材料费用 +总储备费 +装配、包装、运输费用；5 最小总成本的模型为: 3 . 9011000v 2v 3.0231500011000min Q32u

9、ij3 . 1015000i1j14000x 124000 1 8 s.t. x 11y 11700x 12y 121500 2 x 21y21300 3 x22y22400 4 x 31y 311000 5 x 32y32700 6 x 11x 12 7 t 11t21x 118000x 21x 22t 11t21t 11t21x 31x 32x 21x 228000x 11x 1240003000 9 t 11t21t 11t21t11t2167 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - No.3 韶关学院同学数学建模论

10、文集 第三期 2004 年 12 月y 11 y 12 1000 10 t 12 t 22y 21 y 22 y 11 y 12 1000 5000 11 t 12 t 22 t 12 t 22y 31 y 32 y 21 y 22 5000 y 11 y 12 1000 5000 12 t 12 t 22 t 12 t 22 t 12 t 220 x 11 700 13 0 y 11 700 14 0 x 12 1500 15 0 y 12 1500 16 0 x 21 300 17 0 y 21 300 18 0 x 22 400 19 0 y 22 400 20 0 x 31 1000

11、21 0 y 31 1000 22 0 x 32 300 23 0 y 32 300 24 x ij, y ij Z i ,1 2 , ;3 j ,1 ;2 25 1-6 式表示每一季度的每一种机器生产每一种轮胎的小时数都必需小于或等于每一季度的每一种机器的最大生产时间 . 7,10 式分别表示第一季度两种轮胎生产的总数都要求大于或者等于第一季度的交货量 . 8,11 式分别表示其次季度两种轮胎的生产量加上第一季度的储备量要求大于或者等于其次季度的交货量 . 9,12 式分别表示第三季度两种轮胎的生产量加上其次季度的储备量要求等于第三季度的交货量 . 68 名师归纳总结 - - - - - -

12、 -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三期 2004 年 12 月韶关学院同学数学建模论文集依据总收益 =总收入 - 总成本 , 而由问题一的模型分析可知, 总成本是一个函数表达式, 而总收入为肯定值. 又总收入为 : 23qjs ij715000911000j1i1总收益M23qjs ijQj1i1而 Q 又为问题一的模型的目标函数 收益即为 M 的最大值 . , 而在要求从问题一的最优生产支配中所得到的总在问题三中 , 由于一台新的惠林硫化机预定在第四季度初到达,假如支付 200 美元的小费,就可以提前在第三季度到达,这样第三季度就可增加 172 小

13、时的机器工作时间 . 故建立的模型为 : 目标函数为 : minQi3u i3 . 1015000.3 9011000v 2v 3.0 231500011000+200 1约束条件为 : 1,2,3,4,6,720,23,24 同问题一的数学模型的约束条件 . x 31 y 31 1172 50 x 31 1172 210 y 31 1172 225 模型的求解对于问题一的模型的求解的算法描述 , 明显这个问题为整数规划问题 , 解此类问题的一般步骤为 : 用连续松驰把此整数规划问题转化为线性规划问题 , 使得问题难度降低 . 再用MATLAB软件求得该问题的最优解 , 再通过变量取整调整改良

14、 , 使得解逐步靠近最优解 . 用 MATLAB中的内置函数 Linprog 来求得 程序 1 在附录略 : 最优解 Q 116853 美元表一 : x 11x 12x 21x 22x 31x 32y 11y 12y 21y 22y 31y 32280 0 400 400 420 0 300 0 600 0 再经过取整调整, 在调整的过程中必需留意到各个约束条件是否符合满意, 得出整数规划的最优解为 : 表二 : 时间x 11x 12x 21x 22x 31x 32y 11y 12y 21y 22y 31y 32280 1222 0 400 400 53 420 0 300 0 600 0 6

15、9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - No.3 韶关学院同学数学建模论文集331 3500 第三期 2004 年 12 月0 个数1866 7637 0 2500 2666 0 2500 0 5000 就在取得最优解时候最小总成本费用为: Q114556美元此时的生产方案支配如表二所示得: 第一季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为 第一季度第一种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 第一季度其次种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:280 小时和 1866 个 :420 小时和 3500 个 :1222

16、小时和 7637 个第一季度其次种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 :0 小时和 0 个其次季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为 :0 小时和 0 个其次季度第一种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 其次季度其次种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:300 小时和 2500 个 :400 小时和 2500 其次季度其次种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 :0 小时和 0 个第三季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为 第三季度第一种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 第三季度其次种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:400 小时和 2666 个 :600 小时和

17、 5000 个 :53 小时和 331 个第三季度其次种机器生产其次种轮胎的时间和个数分别为 :0 小时和 0 个对于问题二的模型的最优解是与问题一的模型的最优解相关联的 最优解时 , 此时对应的总收益即为所求的解 . , 当问题一的模型取得故又由于总收入为j21i3qjs ij715000911000204000 美元1所 以 对 于 问 题 一 的 解 答 中 给 出 的 最 优 生 产 安 排 计 划 中 可 以 得 最 小 的 成 本为:Q114556美元. 利用y 320 y 320 0 所以总收益 =总收入 - 总成本即为 : 23Ms ijqjQ20400011455689444

18、美元j1i1所以在问题一中的最优化生产支配方案中, 得到的总收益为132344 美元 . 对于问题三的求解: 在问题三中的所建立的数学模型中, 运用和解决问题一所采纳的方法解此模型MATLAB中的内置函数Linprog来求得 程序 2 在附录略 : 最优解时对应的生产小时数为: x 11x 12x 21x 22x 31x 32y 11y 12y 21y 22y 31280 0 400 450 0 420 0 300 0 600 经过人工取整调整后得到: x 11x 12x 21x 22x 31x 32y 11y 12y 21y 22y 31时间280 1222 0 400 450 0 420

19、0 300 0 600 个数1863 7637 0 2500 3000 0 3500 0 2500 0 5000 所以最少成本为: 5*280+1222+400+450+420+300+600+3.10*15000+3.90*11000+0.23*15000+11000+70 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三期 2004 年 12 月韶关学院同学数学建模论文集1863+7637-4000+3500-1000*0.1+200=114740 美元而在第三季度没有那台提前到达的惠林硫化机的时候, 可以到达的最优化时的

20、成本为114556 美元比 114740 小, 就说明白当支付 200 美元的小费,就可以使那台惠林硫化机提前在第三季度到达,是不必要的 . 6 模型的评判由于 Matlab 软件中是没有现行的函数来实现整数规划的,故在求解整数规划过程中得出的只是近似解,要通过人工调整来实现整数规划问题的各种变化. 模型的算法比较优化.参考文献 : . 模型具有较好的通用性,能够适应同类1.姚恩瑜 , 何勇 , 陈仕平 . 数学规划与组合优化M. 杭州 . 浙江高校出版社.2001 2.王沫然 .MATLAB6.0 与科学运算 M. 北京 . 电子工业出版社.2001 3.陈理荣 . 数学建模导论 M. 北京

21、 . 北京邮电高校出版社.1999 附录 : 程序 1: clear clc f=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5; a=zeros6,12; for i=1:6 ai,i=1;ai,6+i=1; end b=zeros3,12; for i=1:3 for j=1:2*i if remj,2=0 bi,j=-1/0.16; else bi,j=-1/0.15; end end end c=zeros3,12; for i=1:3 for j=1:2*i if remj,2

22、=0 ci,j+6=-1/0.14; else ci,j+6=-1/0.12; end end end A=a1,:;a2,:;a3,:;a4,:;a5,:;a6,:;b1,:;b2,:;c1,:;c2,:; bb=700;1500;300;400;1000;300;-4000;-12000;-1000;-6000; Aeq=b3,:;c3,:; 71 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - No.3 韶关学院同学数学建模论文集第三期 2004 年 12 月beq=-15000;-11000; lb=zeros12,1;

23、x,fval,exitflag,output,lambda = linprogf,A,bb,Aeq,beq,lb; 程序 2: clear clc f=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5; a=zeros6,12; for i=1:6 ai,i=1;ai,6+i=1; end b=zeros3,12; for i=1:3 for j=1:2*i if remj,2=0 bi,j=-1/0.16; else bi,j=-1/0.15; end end end c=zeros3,

24、12; for i=1:3 for j=1:2*i if remj,2=0 ci,j+6=-1/0.14; else ci,j+6=-1/0.12; end end end A=a1,:;a2,:;a3,:;a4,:;a5,:;a6,:;b1,:;b2,:;c1,:;c2,:; bb=700;1500;300;400;11720;-4000;-12000;-1000;-6000; Aeq=b3,:;c3,:; beq=-15000;-11000; lb=zeros12,1; x,fval,exitflag,output,lambda = linprogf,A,bb,Aeq,beq,lb; 72 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页