2023年复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案.doc

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1、习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分，其中积分途径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解 (1)设. (2)设. 3. 计算积分，其中积分途径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解 (1)设. (2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域内解析从而故7. 计算积分,其中积分途径为（1） （2） （3） （4）解：（1）在所围的区域内，只有

2、一个奇点.（2）在所围的区域内包含三个奇点.故（3）在所围的区域内包含一个奇点,故（4）在所围的区域内包含两个奇点,故10.运用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 计算积分,其中为(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列积分的值,其中积分途径C均为|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 计算积分,其中积分途径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周解：(1) 内包含了奇点(2) 内包含了奇点,19. 验证

3、下列函数为调和函数.解(1) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. ,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明: ,从而是调和函数. ,从而是调和函数.但 不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1) (2)解 (1)由于 所以 令y=0,上式变为从而(2) 用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有由，得C=023.设,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明: 不妨设闭路C内的零点的个数为k, 其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且，则其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充足大的R，作圆CR: ，将C与Z包含在内则f(z)在以C及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有由于 在上解析，且所以，当Z在C外部时，有即设Z在C内，则f(z)=0，即故有：