2023年高中数学16个二级结论.docx

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1、高中数学16个二级结论结论一奇函数最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上奇函数,则对任意xD,均有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0D,则f(0)=0.例1设函数最大值为M,最小值为m,则M+m=.跟踪集训1.(1)已知函数,则 =() A.-1B.0 C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,bR,cZ),选用a,b,c一组值计算f(1)和f(-1),所得出对的成果一定不也许是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R上函数f(x),若对任意xR,总存在

2、非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一种周期.常用与周期函数关于结论如下:(1)假如f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(2)假如f(x+a)= (a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(3)假如f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(4)假如f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=6a.例2已知定义在R上函数f(x)满足f =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1，f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3

3、)+f(2 014)+f(2 015)=()来源:Zxxk.ComA.-2 B.-1 C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=() A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R上函数f(x)满足f(x)= 则f(2 014)=()A.-1B.0 C.1D.2结论三函数对称性已知函数f(x)是定义在R上函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)图象关于直线x= 对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)

4、图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在1,+)上是增函数,不等式f(ax+2)f(x-1)对任意x恒成立,则实数a取值范畴是()A.-3,-1B.-2,0 C.-5,-1D.-2,1跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.(2)函数y=f(x)对任意xR均有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)值

5、为.结论四反函数图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a0且a1)互为反函数,两函数图象在同始终角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0，f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)图象上.例4设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为()A.1-ln 2B. (1-ln 2) C.1+ln 2D. (1+ln 2)来源:学科网ZXXK跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A. B.3 C.

6、 D.4结论五两个对数、指数典型不等式1.对数形式:1- ln(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.2.指数形式:exx+1(xR),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时，f(x).跟踪集训5.(1)已知函数f(x)= ,则y=f(x)图象大体为()(2)已知函数f(x)=ex,xR.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线充要条件是存在实数与,使得,且.特别地,当P为线段AB中点时，.例6已知A,B,C是直线l上不同三个点,点O不在直线l上

7、,则使等式成立实数x取值集合为()A.-1B. C.0D.0,-1跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC中点.若,则.结论七三角形“四心”向量形式设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC外心 .(2)O为ABC重心 .(3)O为ABC垂心 .(4)O为ABC内心 .例7已知A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足,则点P轨迹一定通过() A.ABC内心 B.ABC垂心 C.ABC重心 D.AB边中点跟踪集训7.(1)P是ABC所在平面内一点,若,则P是ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O是平面上

8、一定点,A、B、C是平面上不共线三个点,动点P满足,则P点轨迹一定通过ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足,则P轨迹一定通过ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列an前m项,前2m项,前3m项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列an项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md，.3.若等差数列an项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则

9、所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am，.例8(1)设等差数列an前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列an前n项和为Sn,已知am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m等于.跟踪集训8.(1)等差数列an前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=.(2)一种等差数列前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和比为3227,则数列公差d=.结论九等比数列已知等比数列an,其公比为q,前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列,其公比为.(2)若q

10、=1,则Sn=na1,且an同步为等差数列.(3)若q1,则Sn= .(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(q-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.(5)Sn，,仍为等比数列,公比为.例9(1)已知an是首项为1等比数列,Sn是an前n项和,且9S3=S6,则数列前5项和为() A. 或5B. 或5C. D. (2)设等比数列an前n项和为Sn,若 =3,则 =()A.2B. C. D.3跟踪集训9.在等比数列an中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5= ,a3= ,则.结论十多面体外接球和内切球1.长方体体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间关系为d2=a2+b2+

11、c2;若长方体外接球半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a正四周体内切球半径r= ,外接球半径R= .例10已知一种平放各棱长为4三棱锥内有一种小球O(重量忽视不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入水体积是该三棱锥体积时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球表面积等于()A. B. C. D. 跟踪集训10.(1)已知直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球表面积是16,则该三棱柱侧棱长为()A. B. C. D.3(2)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2球面上,球心O到平面ABC距离为1,点E是线段AB中点,过点E作球O截面,

12、则截面面积最小值是()A. B.2C. D.3结论十一焦点三角形面积公式1.在椭圆 (ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则PF1F2面积,其中=F1PF2.2.在双曲线1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则PF1F2面积,其中=F1PF2.例11已知F1,F2是椭圆和双曲线公共焦点,P是它们一种公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线离心率倒数之和最大值为()A. B. C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1：与双曲线C2公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2离心率是() A.

13、 B. C. D. (2)已知F1,F2是椭圆C： (ab0)两个焦点,P为椭圆C一上点,且.若PF1F2面积为9,则b=.结论十二圆锥曲线切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆上一点P(x0,y0)切线方程为.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M连线分别是抛物线切线,即直线l为切点弦所在直线

14、.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上点,过点P作抛物线C两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上定点时,求直线AB方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1两条切线,切点分别为A,B,则直线AB方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C：,点P,则椭圆C在点P处切线方程为.结论十三圆锥曲线中点弦问题1.在椭圆E： (ab0)中:(1)如图所示,若直线y=kx(k0)与椭圆E交于A,B两点,过

15、A,B两点作椭圆切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k= .(2)如图所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B点,若直线PA,PB斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2= .(3)如图所示,若直线y=kx+m(k0且m0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB中点,设直线PO斜率为k0,则k0k= .提醒该结论常变形为:以椭圆内任意一点(x0,y0)为中点弦AB斜率k=.2.在双曲线E： (a0,b0)中,类比上述结论有:(1)k0k=.(2)k1k2=.(3)k0k=.例13已知椭圆E： (ab0)右焦点为F(3,0),过点F直线交椭圆E于A、B两点.若AB中点坐

16、标为(1,-1),则椭圆E方程为() A. B. C. D. 跟踪集训13.(1)椭圆C：左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2斜率取值范畴是-2,-1,那么直线PA1斜率取值范畴是.(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA斜率为k.对任意k0,求证:PAPB.结论十四圆锥曲线中一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上一定点P(非顶点)与曲线上两动点A,B满足直线PA与PB斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB斜率为定值.图示条件结论已知椭圆 (a

17、b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,A,B是椭圆上两个动点,直线PA,PB斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB斜率kAB为定值已知双曲线 (a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,A,B是双曲线上两个动点,直线PA,PB斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB斜率kAB为定值已知抛物线y2=2px(p0),定点P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB斜率kAB为定值例14已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上

18、,设A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB斜率kAB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C：,A为椭圆上定点且坐标为,E,F是椭圆C上两个动点,假如直线AE斜率与AF斜率互为相反数.证明:直线EF斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形直角顶点与圆锥曲线顶点重叠,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆 (ab0)上异于右顶点两动点A,B,以AB为直径圆通过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.(2)对于双曲线 (a

19、0,b0)上异于右顶点两动点A,B,以AB为直径圆通过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.(3)对于抛物线y2=2px(p0)上异于顶点两动点A,B,若,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p0)上异于顶点两动点A,B,若,则直线AB过定点(0,2p).例15已知抛物线y2=2px(p0)上异于顶点两动点A,B满足以AB为直径圆过顶点.求证:AB所在直线过定点,并求出该定点坐标.跟踪集训15.已知椭圆,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径圆过椭圆右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点坐

20、标.结论十六抛物线中三类直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1中点.(1)如图所示,以AB为直径圆与准线l相切于点E.(2)如图所示,以A1B1为直径圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A1A|BB1|.(3)如图所示,以AF为直径圆与y轴相切.例16过抛物线y2=2px(p0)对称轴上一点A(a,0)(a0)直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a= 时,求证:AM1AN1.跟踪集训16.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C焦点且斜率为

21、k直线与C交于A,B两点,若,则k=.答案全解全析结论一奇函数最值性质跟踪集训1.(1)D令g(x)=ln(-3x),xR,则g(-x)=ln(+3x),由于g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln 1=0,因此g(x)是定义在R上奇函数.又lg=-lg 2,因此g(lg 2)+g=0,因此f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,而g(-1)+g(1)=0,c为整数,f(-

22、1)+f(1)=2c为偶数.1+2=3是奇数,故不也许,选D.结论二 函数周期性问题来源:学,科,网跟踪集训2.(1)D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),因此f(x+2)=-f(x-2)，f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期周期函数,因此f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上奇函数,因此f(0)=0,因此f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C当x0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),

23、+得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).因此f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数对称性跟踪集训3.(1)答案3解析由于f(x)图象关于直线x=2对称,因此f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),因此f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案4解析由于函数y=f(x-1)图象关于点(1,0)对称,因此f(x)是R上奇函数. f(x+2)=-f(x),因此f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故

24、f(x)周期为4.因此f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4,因此f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,因此f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数图象与性质跟踪集训4.C由于2x+2x=5,因此x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=解,t2是t+log2t=解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t图象交点P横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t图象交点Q横坐标,因此P(t1,

25、),Q(t2,log2t2),因此P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.因此x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.结论五两个对数、指数典型不等式跟踪集训5.(1)B由题意得f(x)定义域为x|x-1且x0,因此排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由典型不等式ln(x+1)x知,g(x)0恒成立,故f(x)=0,即m24k2+3,即m24k2+3,由于以AB为直径圆过椭圆右顶点(2,0),因此(x1-2,y1)(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m24k2+3,符合题意.因此l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案2解析如图所示,由于=0,因此MAMB,故点M在以AB为直径圆上,又准线为x=-2,直线AB通过焦点F(2,0),因此有MFAB,又kMF=-,因此kAB=2.