第三章多维随机变量及其-分布习题~).doc

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1、|习题三一、填空题1.设 两随机变量, 且 = , 则YX与 ）， 0(YXP 740,740(73）（）， YPX5/7 .），（ 0(maxP2.设二维随机变量 的联合概率分布为(,)YX1 2 31 0 6123 1260则关于 的边缘分布律为 . X3若 的联合分布律为 ），（ YX1 2 3121/61/31/91/18应满足条件是 .若 相互独立则 = 2/9 , = 1/9 ；, 3YX与4.设 独立同分布, 且 的分布律为 , 则随机变量YX与 5.0)1(,5.0)(XP的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；maxZ5.设二维随机变量 的联合概率密度

2、为(,)10,1,xyfxy其 他则概率 =_0.3_。0.5,.6PXY6. 设 ( ) 联合概率密度为 则系数 = 6 ；, 其 他,00,),()32(yxAeyxf A7.设二维随机变量 的联合概率密度为 ，则 c= (,)XY2,1,0.cyf其 它21/4 。8. 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为X 1 2 31 1/4 1/2 1/4|其00,1)2(8.4),( xyxyxf则关于 X 的边缘概率密度是 .其0 10)2(4.)2(8.4)( xdfxX9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 在区间 上服从均匀分布， Y 服从参数为,1 的指数分布，则 .1P2e

3、10. 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= 1/9 .max,PY11. 若 221 12(,)(,),XNYkXY相 互 独 立 服 从 分 布 为.1212(,kk12已知 独立且服从于相同的分布函数 ，若令,n ()Fx，则 . max(12,)X ()=x的 分 布 函 数 n二、选择题1.设随机变量 的分布函数为 ，其边缘分布函数 是（B ）(,)Y(,)Fxy()XFxAli;Blim,;C0;D,.yyFx2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以 X,Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数,则（A） （A） . （ B） .1,2636PXiYji

4、j 361YXP（C） . （D） .2 23设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率分布依次为X -1 1 Y -1 1p 1/2 1/2 p 1/2 1/2则下列各式正确的是（C）（A）X= Y. （B）PX =Y=0 . (C) PX=Y=1/2. (D) PX=Y=1.4.设（X，Y）的联合概率密度函数为 ,则下列其 他，yxyxf010,6),(2结论中错误的是（B）.（A） . （B） .(,)(,)GPfyd 2(,)6GPXYxyd|（C） . （D ） .1206xPXYdy yxdfYXP),()(5. 设二维随机变量 的联合概率密度为 ，则 X,Y, 21/,1,0f

5、xy其 它满足（ C ）（A）独立同分布. （B）独立不同分布.（C）不独立同分布. （D）不独立也不同分布.6. 设随机变量 相互独立，且分别服从 和 ，则（B）XY与 0,1N,（A） . （B ） .1(0)2P 1()2PXY（C） . （D ） .7. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 ，则,XYFxy的分布函数为（D ）min(,)Z（A） . （B） .ZXFzxZYFzy（C） . （D） .in,Yy11XYxFy8.若 ,且 X 与 Y 相互独立 ,则（C）)(),(221N（A） . （B） .212YX ),(2121N（C） .（D） .)4,(

6、21 29.已知 ， ，且 相互独立,记3,)N(XY7,ZXY（A）Z则（A） . （B） . （C ） . （D） .)5,0()12,0( )54,0(N)2,1(N10.设 相独立且都服从 ,则下式成立的是（B）12nX )2（A） . （B ） .12n212()(,)nXn（C） . （D） .)34,(321NX ,0(2121N三、计算下列各题1. 一个箱子装有 12 只开关，其中 2 只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一|只，以 分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出 的联合概率分布律。YX和 YX和解. ,.610)0,1( ,645)0,( 12129 CYXP

7、CP),( ,0),( 12120YX2. 袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量 的联合概率分布律; （2）X ，Y 的边缘分布律。,解：（1）X，Y 的取值范围为 0,1,2，故136 110,0,2,0,4636,1,910,2,20,2,0,9CPPPXYXYXYXY 0 1 20 1/4 1/6 1/361 1/3 1/9 02 1/9 0 0（2） X0 1 2 Y12P25/36 5/18 1/36 P4/9 4/9 1/93. 设随机变量 X 在 1

8、,2,3,4 四个整数中等可能取值，另一个随机变量 Y 在 1X 中等可能取一个整数值，求（1） 的联合分布律；（2）X ，Y 的边缘分布律。),(Y解：由题意 ，,1,34,ijiji其 中 为 整 数则由概率的乘法公式有 1, ,2,34.PXiYjPiYjiijiA因此XY 1 2 3 4 jpA1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/482 0 1/8 1/12 1/16 13/483 0 0 1/12 1/16 7/48|4 0 0 0 1/16 3/48ipA1/4 1/4 1/4 1/4 14. 已知随机变量 的概率分布：YX,101Y0P1/4 1/2 1/4 P1/2

9、1/2且 .（1）求 的联合分布， （2）问 是否独立？为什么？.(0), X,解 (1)(1,)0,XYYY因 为 所 以 有（1）设 的联合分布为, 05. ,5.0 ,5.0,2.,5.0 2121311 pppp 故由 于则 的 联 合 分 布 律 为因 此 ),(YX21() 0.5, .pXY由 于 故 与 不 相 互 独 立5. 假设随机变量 和 相互独立，都服从同一分布：YX0 1 2 012P1/4 1/2 1/4 P1/4 1/2 1/4求概率 Y解 注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等由全概率公式及 和 相互独立，可见X220,1,2

10、, 21946PYPXYPXY6. 设随机变量 ( ) 的联合密度为YX,，6,02,40, kxyxyfxy（ ， ） 其 它Y X -1 0 1 Pj0 P11 P21 P31 1/21 0 P22 0 1/2Pi. 1/4 1/2 1/4 1Y X -1 0 10 1/4 0 1/41 0 1/2 0|求：（1）系数 k； （2） ； （3） 。1,PXY4PXY解：（1） 420 1 (,)(6)8.fxydykxydk（2） 3120,().8PXY（3） =443yx7. 设二维随机变量 的概率密度为 ，求（1）常数),(YX其 它， ,0),(yxAeyxfy（2）随机变量 的边

11、缘密度， （3）概率 。A, )1(YXP解 （1） . , ),0 AdyexAdxyf 得（， 0 ,)(,)( ,02 xfefxXxxyX）（ 0 ,)( yeyfY同 理(3) .211201),()( edyexdyfYPyx8. 假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间 和 是随机变量，其联合分XY布函数为 0.1.0.01()ee0(,) xyxyyFxy， 若 ， ， 若 不 然 (1) 求两个中间站连续 100 小时无故障的概率；(2) 证明 和 相互独立XY解 (1) 连续 100 小时无故障的概率 12120,()(,0)(,0)ee.35PyFF(2) 现在证明

12、和 相互独立以 和 分别表示 和 的分布函数，则XYxyXY0.112(),)exyFy， ；由于 ，可见 和 相互独立)(),(21xyFY9. 设二维随机变量 的概率密度为),(X21,01,2,3.xyxyfy其 它|求：（1）关于 X 和关 于 Y 的边缘密度函数，并判断 X 与 Y 是否相互独立？（2） 。1P解：（1） 2 201,0101,33,X xydxxfxfyd ， 其 它其 它120,22, 60,Y yxyyfyfxy ， 其 它其 它由于 (,)(), .XYffXY所 以 和 不 独 立（2） 1201651, .372xDPfxydyd9. 雷达的圆形屏幕的半径

13、为 ，设目标出现点 在屏幕上均匀分布， （1）求R),(YX的边缘概率密度， （2）问 是否独立？YX, YX,其 它解 ,0),/(1),( 22yxRyxf 2 221, |(1) (,)0, | (), RxXY RxdyRffxydxf 其 它同 理 其 它 .)(),( )2不 独 立和所 以 YXyfxyfYX10. 设两个独立随机变量 的分布律为与, 6.0)2(,7.0)3(,.0)1( PP ,4.0)(求 的分布律， 的分布律 .YXZ其 YXW其解 由独立性可得（ ）,（1，2） （1，4） （3，2） （3，4）)(yYxXP0.18 0.12 0.42 0.28 3

14、5 5 7 1 3 1 1|所以 的分布律与 的分布律分别为YXZYXWZ 3 5 7 W 3 11P0.18 0.54 0.28 P0.12 0.46 0.4211. 设随机变量 的联合概率密度 , ),(YX其 它，），（ ,00 ,13xyxyxf求 的概率密度。Z解 1 ,1 0,233 ,0)() 31 zzxdyxdyzYXPzFzzZ.其 它的 密 度 函 数 为所 以 ,0,2)( , zzfZ12. 设二维变量 的概率密度为(,)xy2,0xyf1,0xy其 他求 (1) ；(2) 的概率密度。2PXYzXY解：(1) ，其中 D 为 中 的那部()Dxyd01,xy2xy分

15、区域；求此二重积分可得120()xPXYd58724(2) ()ZFzPzXYz当 时， ；0()0ZF当 时， ；2z1z当 时， 320 1()(2)zxZdydz当 时，1z1 543zxFz|于是 .2,01()4,Zzf z其 他13.已知随机向量 的概率密度为)(YX0,1(,) xyxyf， 若 ， 其 他 求随机变量 的概率密度 UYuf解 对于 和 ，显然 =00u2)(1) 设 注意到，当 时 =0因此，由二随机变量之和的概率1x,)fx密度公式，有20()(,)d()dufuftttu(2) 设 注意到当 时 由二随机变量之和的概率密度公211x,xf式，有1()(,)d

16、()d(2)ufufttttu于是，随机变量 的概率密度UXY 01 ()2)2 fuu ， 若 ， 若 ， 其 他 14 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 0,)(ttef并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为 X，它是随机变量设第二周需要量为 Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为 0,)(ttefZ=X+Y 表示两周需要的商品量，由 X 和 Y 的独立性可知：其 它0,),( yxyexfx z0 当 z0 时，由和的概率公式知 zyzzxz edeyfff 6)()() 30)( 0,6)(3zzf（2）设 z 表示前两周需要量，其概率密度为 0,6)(3zezfz设 表示第三周需要量，其概率密度为： 0,)(xexfz 与 相互独立= z + 表示前三周需要量则：0， 当 u0 时 uyuedeyfff120)(6()(5)3所以 的概率密度为0)(5ueuf15. 假设 是一矩形，随机变量 和 的联合分布是区(,):2, 01GxyyXY域 上的均匀分布考虑随机变量 02 1XYUV， 若 ， ， 若 ， 若 ； ， 若 求 和 的联合概率分布UV解 易见，若 ，则随机变量 和 的联合密度为 ，否则Gyx),( Y21),(yxf0),(yxf