2023年离散数学集合论部分综合练习.doc

《2023年离散数学集合论部分综合练习.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年离散数学集合论部分综合练习.doc（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检查学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合A=a，b，B= a，b， a，b ，则（ ） AAB，且AB BAB，但AB CAB，但AB DAB，且AB2若集合A2，a， a ，4，则下列表述对的的是( )Aa， a A B a A C2A DA3若集合A a，a，1，2，则下列表述对的的是( ) Aa，aA B2ACaA DA4若集合A=a，b，

2、 1，2 ，B= 1，2，则（ ） AB A，且BA BB A，但BA CB A，但BA DB A，且BA 5设集合A = 1, a ，则P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 6若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A1024 B10 C100 D17集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ ） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的 8设集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系R =a , ba , bA , 且a +b = 8，

3、则R具有的性质为（ ）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的9假如R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有（ ）个 A0 B2 C1 D3 10设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，则S是R的（ ）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对 24135图一 11设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，则元素3为B的（ ） A下界 B最大下界

4、C最小上界 D以上答案都不对12设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) A8、2、8、2 B无、2、无、2 C6、2、6、2 D8、1、6、113设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（ ）不是从A到B的函数 AR1和R2 BR2 CR3 DR1和R3二、填空题1设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 2设集合Aa，b，那么集合A的幂集是 应当填写：,a,b,a,b 3设集合A=0, 1, 2, 3，B=

5、2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 4设集合A=0, 1, 2，B=0, 2, 4,R是A到B的二元关系，则R的关系矩阵MR 5设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=,，S=,则(RS)1=6设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=, , , ，则二元关系R具有的性质是7若A=1,2，R=|xA, yA, x+y=10，则R的自反闭包为 8设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 9设A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，则不同的函数个数为 三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由） 图一1设A、B、C为任意的三个集合，假如AB=AC，判断结

6、论B=C 是否成立？并说明理由2假如R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并说明理由 3 若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 4若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在图二 5设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f (x)=x+6，则f是单射四、计算题1设集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BA； （2）AB； （3）AB； （4）BA2设A=a, b, 1, 2，B= a, b, 1, 1，试计算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）3设集合A=1,2

7、,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB 4设A=0，1，2，3，4，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y3，试求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)5设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表达式； （2）画出关系R的哈斯图；adbc图三（3）求出集合B的最大元、最小元 6设集合Aa, b, c, d上的二元关系R的关系图如图三所示（1）写出R的表达式； （2）写出R的关系矩阵； （3）求出R2 7设集合A=1，2，3，4，R=|x,

8、 yA；|x-y|=1或x-y=0，试（1）写出R的有序对表达； （2）画出R的关系图；（3）说明R满足自反性，不满足传递性五、证明题 1试证明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)2试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC) 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A 2B 3C 4B 5C 6A 7B 8B9B 10C 11C 12B 13B二、填空题12n2,a,b,a,b 3，4 5, 6反自反的7, 8, ，, 98三、判断说明题

9、（判断下列各题，并说明理由）1解：错 设A=1, 2，B=1，C=2，则AB=AC，但BC 2解：成立 由于R1和R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2。 由逆关系定义和IAR1，得IA R1-1； 由IAR1，IAR2，得IA R1R2，IA R1R2。所以，R1-1、R1R2、R1R2是自反的。3解：对的 对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元4解：错误集合A的最大元不存在，a是极大元5解：对的 设x1，x2为自然数且x1x2，则有f(x1)= x1+6 x2+6= f(x2)，故f为单射 四、计算题1解：（1）BA

10、=a, b, cb, d, e= b （2）AB=a, b, cb, d, e=a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e=a, c（4）BA= ABBA=a, b, c, d, e b =a, c, d, e 2解：（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）AB=，, 4解：R=, S=, RS=， 123469578101112图四：关系R的哈斯图R-1=， S-1= S， r(R)=IA 5解：（1

11、）R=I, , , , , , , , , , , , , （2）关系R的哈斯图如图四 （3）集合B没有最大元，最小元是：2 6解：R, , , R2 = , , , , , , 1234图五 =, , 7解：（1）R=, （2）关系图如图五（3）由于,均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。 因有与属于R，但不属于R，所以R在A上不是传递的。五、证明题 1证明：设，若xA (BC)，则xA或xBC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAB 且 xAC ，即 xT=(AB) (AC)，所以A (BC) (AB) (AC) 反之，若x(AB) (AC)，则xAB 且 xA

12、C， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBC，即xA (BC)，所以(AB) (AC) A (BC) 因此A (BC)=(AB) (AC)2证明：设S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若xS，则xA且xBC，即 xA且xB 或 xA且xC， 也即xAB 或 xAC ，即 xT，所以ST 反之，若xT，则xAB 或 xAC， 即xA且xB 或 xA且xC 也即xA且xBC，即xS，所以TS 因此T=S 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系 证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系 aA，$bA，使得R，由于R是对称的，故R； 又R是传递的，即当R，R R；由元素a的任意性，知R是自反的所以，R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系证明：. ，所以有自反性；由于R，S是反对称的， 所以，RS有反对称性 ，由于R，S是传递的， 所以，有传递性 总之，R是偏序关系