概率论答案~-李贤平版-第三章.doc

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1、|第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率 或 向右或向左移动一格，若该质点在时p1刻 0 从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以 表示时间nSn 时质点的位置） 。2、设 为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求 的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1） （2）;,1,)(Nkcf。,21,!)(kf04、证明函数 是一个密度函数。)()(| xexfx5、若 的分布函数为 N（10 ，4） ，求 落在下列范围的概率：（1） （6，9） ；（2） （7，12） ；（3）（13，15）

2、。6、若 的分布函数为 N（5， 4） ，求 a 使：（1） ；（2） 。0.aP 01.|5|aP7、设 ，试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3） )(xPF)(xF ,)(F。18、试证：若 ，则 。,12xPx )(121xP9、设随机变量 取值于0， 1，若 只与长度 有关（对一切 10yx） ，试证 服y从0，1均匀分布。10、若存在 上的实值函数 及 以及 及 ，使)(QD)(xTS，)(epxDxf 则称 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布 ，已知 ，关于参数 ；,f ,20mN0（2）正态分布 ，已知 ，关于参数 ；（3）普阿松分布 关于 都是一个单参),(

3、20mN0 )(kp数的指数族。但 上的均匀分布，关于 不是一个单参数的指数族。,011、试证 为密度函数的充要条件为 )2()(cybxakeyxf ,0,02acbca|。2back12、若 为分布密度，求为使 成为密度函数， 必须而)(,21yfx ),()(),(21yxhfxyf),(yxh且只需满足什么条件。13、若 的密度函数为 ，),(与,00,),()2(Aexfyx试求：（1）常数 A；（2） ；（3） 的边际分布；（4） ；1,2P2P（5） ；（6） 。)|(yxf |14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。15、设二维随机变量 的联合密度为),( ykkexyxp1

4、1212)()(),(，试求与 的 边际分布。k0,21 16、若 是对应于分布函数 的密度函数，证明对于一切)()(3xfxf )(,)(321xFx，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数 ： )(,)(321xfxf。)(,)(321xfxf 1)()(, 1321 Fxxff17、设 与 是相互独立的随机变量，均服从几何分布 。令 ， ,kpqkg ),ma(试求（1） 的联合分布；（2） 的分布；（3） 关于 的条件分布。),(18、 （1）若 的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立？,与,010,4),( yxyxf （2）若 的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立？),

5、(与,8),(f 19、设 的联合密度函数为 ),(与与,020),sini1(8),(3 zyxzyxzyxp试证： 两两独立，但不相互独立。,20、设 具有联合密度函数 ，试证 与 不独立，但 与 是),(与,01|,|41),(yxyxp2相互独立的。|21、若 与 是独立随变量，均服从普要松分布，参数为 及，试直接证明12 12（1） 具有普承松分布，参数为 ；21（2） 。knkknkP 212121|22、若 相互独立，且皆以概率 取值+1 及 ，令 ，试证 两两独立但不相互独立。, ,23、若 服从普阿松分布，参数为 ，试求（1） ；（2） 的分布。ba224、设 的密度函数为

6、，求下列随机变量的分布函数：（1） ，这里 ；（2）)(xp 10P；（3） 。tg|25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于 内，试求圆面积的分布密度。)(ba26、若 为相互独立的分别服从0，1 均匀分布的随机变量，试求 的分布密度函数。, 27、设 相互独立，分别服从 ，试求 的密度函数。, )1,0(N28、若 是独立随机变量，均服从 ，试求 的联合密度函数。, , VU,29、若 相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为 ，试求n,21 n,21的分布。)mi(30、在 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。),0a31、若气体分子的速度是随机向量 ，各分量相互独立，且均服

7、从 ，试证),(zyxV ),0(2N斑点服从马克斯威尔分布。22zyxS32、设 是两个独立随机变量， 服从 ， 服从自由度为 的 分布(3.14),令 ，, )1,0(Nn2xnt/试证 t 的密度函数为 )1(22)( n xnxP这分布称为具有自由度 n 的 分布在数理统计中十分重要。t33、设 有联合密度函数 ，试求, 与与,00,)1(6),( 4zyxzyxzyxf的密度函数。U|34、若 独立，且均服从 ，试证 与 是独立的。, )1,0(N2UV35、求证，如果 与 独立，且分别服从 分布 和 ，则 与 也独立。),(1rG),(2r36、设独立随机变量 均服从 ，问 与 是

8、否独立？,与,0)(xexp37、若（ ）服从二元正态分布（2.22） ，试找出 与 相互独立的充要条件。, 38、对二元正态密度函数 ， 6514221exp),( 2yxyyp（1）把它化为标准形式（2.22） ；（2）指出 ；（3）求 ；（4）求 。rba21,)(pi )|(yxp39、设 ，试写出分布密度（2.12） ，并求出 的边际密度函数。1437,01Ba ),(2140、设 是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于 0，且有二阶导数，试证若 与, 相互独立，则随机变量 均服从正态分布。,41、若 是 上单值实函数，对 ，记 。试证逆映射 具有如f1RB)(:)(1BfB

9、f 1f下性质：（1） ;)(11ff（2） ;)(11Bff（3） .)(11fBf42、设随机变量的密度函数是 （1）求常数 C；（2）求使得 =fxcx()20其 它 ()pa.()pa43、一个袋中有 张卡写有 ，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。k,12,kn44、设 ， 在 的条件密度分布是 ，求 的条件下2, (,) rvNmxPyxyx(|)()122y的密度 ?pxy(|)45、设 与 独立同服从 上的均匀分布，求 的分布函数与密度函数。(0,)aX|46、设 的联合分布密度为 ， （1）.求常数 A；（2）求给定时的(,)2()0,(,)xyAefxy与条件密度函数。47

10、、在(0,4)中任取两数，求其积不超过 4 的概率。48、若 的分布列是（见下表）(1)求出常数 A; (2)求出 时 的条件分布列。(,) =2 -1 0 11 1/6 1/8 1/82 1/12 1/4 A3 1/24 1/24 1/2449、设 独立的服从 分布，令 ，求 的联合密度函数及边际密(,) (0,1)N, - UV(,)UV度函数。50、设随机变量的密度函数为 ，(1).求常数 a，使 Pa = Pb = 0.05。51、地下铁道列车运行的间隔时间为 2 分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。52、设二维随机变量 的联合密度函数为： ， (1)求(,)6

11、(2),01,(,)xyxyp与的密度函数；(2)求 ; (3)=2+3|()pyx1|53、若二维随机变量 的密度函数为： ，1)求 的密度函(,) (2),0,(,)xyePy与数；2)求 ；（3 ）(2P 1|254、若 ，求 的密度函数。2,(,) rvNaa55、将两封信随机地往编号为 1,2,3,4 的四个邮筒内投，以 表示第 个邮筒内信的数目，求： (1) k的联合分布列； 2) 的条件下， 的条件分布。1,2()21156、若 ，求 的密度函数。(0,)rvN57、某射手在射击中,每次击中目标的概率为 ，射击进行到第二次击中目标为止，用 表示(0)P k第 次击中目标时射击的次

12、数 ，求 和 的联合分布和条件分布。K(1,2)K12|58、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为 。将试验进行到出现 次成功为止，以 表示所需prX试验的次数。求 的分布列。X59、已知某种类型的电子管的寿命 （以小时计）服从指数分布，其概率密度为X，10,(),xefx与一台仪器中装有 5 只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。60、设连续随机变量 的概率密度为 ，其中 为已知常数。求：（1）常数X2,0()0kxAefx与kA；（2） 。10Pk61、设离散随机变量 的分布列为： 求：（1） 的分布函数 ；X()Fx（2） ， ，3

13、2P14X14P62、从一批含有 13 只正品、2 只次品的产品中，不放回地抽取 3 次，每次抽取 1 只，求抽得次品数 的X分布列及分布函数。63、 （1）设连续随机变量 的概率概率为 ，求 的概率密度。X()Xfx3Y（2）设 服从指数分布 。求 的概率密度。 ()E3Y64、对圆片直径进行测量，测量值 服从均匀分布 。求圆面积 的概率密度。(5,6)UY65、设电压 ，其中 是一个正常数，相角 是一个随机变量，服从均匀分布 ，sinVA,2U求电压 V 的概率密度。66、箱子里装有 12 件产品，其中 2 件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取 2 次。定义随机变量如下 ， 。分别就下

14、面两种情况求,XY0,1与 0,1Y与2出二维随机向量 的联合分布列和关于 的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。(,)Y,X67、一个大袋子中，装有 3 个桔子，2 个苹果，3 个梨。今从袋中随机抽出 4 个水果。若 为为桔子数，X为苹果数，求 的联合分布列。Y(,)XX0 1 2p36|68、把一枚硬币连掷 3 次，以 表示在 3 次中出现正面的次数， 表示在 3 次中出现正面的次数与出现XY反面的次数的绝对值，求 的联合分布列。(,)Y69、设二维随机向量的概率密度为： 。求（1） ；（2）(6),02,4(,)0,kxyxyfxy与 k；（3） ；（4） 。1,PXY1.5P

15、X4PXY70、设随机向量 的概率密度为： ，求：（1）常数(,) 222(,(,)0,ARxyRfxy与A；（2） 落地圆域 （ ）中的概率。,XY22:Gxr71、设二维连续随机向量 的概率密度为：(,)Y226,(4)9fxyxy,xy求：（1） 的分布函数；（2）关于 及关于 的边缘分布函数。(,)XYXY72、设二维连续随机向量 的概率密度为： ，求关于 及关于 的边(,) ,0(,)yexfx与XY缘概率密度。73、设 与 相互独立，且 服从均匀分布 ， 服从正态分布 。求 的概XYX,UaY2(,)NbZ率密度。74、若 的密度为( ，则 两两独立，,)31(sini)0,(,)

16、80xyzxyzpxyz 与,但不相互独立。75、若 相互独立，且同服从指数分布，密度函数为： ，证明： 与 相互独, 0()xep+立。76、证明： 为一概率密度函数。12/20()()0nxnepxo77、设 分别服从参数为 、 的普阿松分布，且相互独立，求证： 服从参数为,RV12 的普阿松分布。1278、证明函数 是一个密度函数。)()(| xexfx|79、设 ，试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3） )(xPF)(xF ,0)(F。180、试证：若 ，则 。,12xPx )(121xP81、设随机变量 取值于0， 1，若 只与长度 有关（对一切 10yx） ，试证y服

17、从0，1 均匀分布。82、定义二元函数 。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及0,1),(yxyxF（2.7） ，但无法使（2.5）保持非负。83、试证 为密度函数的充要条件为 )2(),(cybxakeyxf ,0,02acbca。2ack84、若 是对应于分布函数 的密度函数，证明对于一切)(,)(321xfxf )(,)(321xFx，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数 ： )(,)(321xfxf。)(,)(321xfxf 1)()(, 1321 Fxxff85、设 的联合密度函数为 ),(与与,020),sini(8),(3 zyzyzyp试证 两两独立，但

18、不相互独立。,86、若 与 是独立随变量，均服从普要松分布，参数为 及，试直接证明12 12（1） 具有普承松分布，参数为 ；21（2） 。knkknkP 212121|87、若 相互独立，且皆以概率 取值+1 及 ，令 ，试证 两两独立但不相互独立。, ,88、若气体分子的速度是随机向量 ，各分量相互独立，且均服从 ，试证),(zyxV ),0(2N斑点服从马克斯威尔分布。22zyxS89、求证，如果 与 独立，且分别服从 分布 和 ，则 与 也独立。),(1rG),(2r|90、证明： 是一个随机变量，当且仅当对任何 成立 。 iRxFC)(:第三章 解答1、 解：令 表在 n 次移动中向

19、右移动的次数，则 服从二项分布，nnkpCkPkn ,10,)1(以 表时刻时质点的位置，则 。nSSnn2的分布列为 。 nnn ppp2211 )()()(0的分布列为 。nS nnnnC2211 )()()( 42、 解： ，qpPP1与与 ,2 2pq所以 的概率分布为 。,1,2kkp3、 解： （1） ， 。Nkcf1)(c（2） ， 。1)1(!ke 1)(e4、 证： ，且 0)(xf 0|2)( xxxededxf是一个密度函数。f5、 解：（1） )109(2)(1)06(2)96( P| 2857.0)(21)10(2P（2） )()()7()17(P74538.0)21

20、(1)0(2P（3） )5(2)()13()15(P06597.)21()0(2P6、 解：（1） ，而 ，令90.)3( )()()5(1 aaPa解得 。.)5(2a6.7a（2）由 得 ，从而 =0.995，而01.|P05.aP aP21)5(所以 。95.0)6(2.5,6.2a7、 证：（1）设 ，所以 ， 非降。0)(, 211212 xPxFx)(12xF（2）设 ， 由概率的可加性得0n 。)(01 xxPi ii)()()001xxFi ii 由此得 ，)(lm)0FFn右连续。),(li( xxn（3） 。11nnPP)(lim)(li)(1( FnFn由单调性得 与 均存在且有穷，由 及上式得 。)(limxFx)(li )0x1,08、证： 1221 xPP )1(22xP.x ()(