高考-高中数学基础知识归纳及普通公式和结论.doc

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1、|高考高中数学基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系： , .UxACxAx（2）德摩根公式： .();()U UCBBC（3） ABUR注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况.A（4）集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；12,na 2n2n2n非空真子集有 2 个.4 是任何集合的子集

2、，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数1映射：注意: 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、2baab绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ 、 、 等） ；平方法； 导数法xsinxco3复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：首先将

3、原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数)(xgfy)(xgu)(ufy分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 是奇函数 ； 是偶函数 .)(xf )()(xfff )(xff|奇函数 在 0 处有定义，则)(xf 0)(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:单调性的定义： 在区间 上是增函数

4、当 时有 ；)(xfM,21Mx21x12()ffx 在区间 上是减函数 当 时有 ；单调性的判定：定义法：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以)(21xff利于判断符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数） ，x)(xfTfT则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小)(xfT正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期： ； ；2:sinxy 2:cosTxy；Txy:tan ；|:)cos(),si(

5、 TxAyA |:tanxy(3)与周期有关的结论：或 的周期为)()(axff)0()2(aff )(f28基本初等函数的图像与性质：.指数函数： ；对数函数: ；)1,0(yx )1,0(logaxya幂函数： （ ；正弦函数: ；余弦函数： ；Rsinxycos（6）正切函数： ；一元二次函数： （a0） ；其它常用函数：xytan2cbx 正比例函数： ；反比例函数： ；函数)0(k )0(ky )0(axy.分数指数幂： ； （以上 ，且 ）. mn1mna,mnN1. ； ；bNaablogMaalogllog| ； .NMNaaalogllogloglmnaab.对数的换底公式:

6、 .对数恒等式: .lmlogN9二次函数：解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；cbxaxf2)( khxaf2)(),(零点式： （a0）.)()(21f二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。cbxay2 abx2abc422，10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法图象变换： 平移变换：) ， 左“+”右“” ；)()(axfyxfy)0() 上“+”下“” ；,k 对称变换：) ；) ；)(xfy )0,( )(xfy)(xfy 0y)(xf

7、) ； ) ； x xy 翻折变换：) （去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去|)()(fyxfy )(f掉） ；) （留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| |在 下面无图|)(|)(ff )(xf象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对)(xfy称点仍在图像上；（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对)(f)(xgy )(xfy称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然。)(注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:

8、f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; |曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR） y=f(x)图像关于直线 x= 对称；ba特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. 的图象关于点 对称 .()yfx(,)abxff2特别地： 的图象关于点 对称 .f,0af函数 与函数 的图象关于直线 对称;yfx函数 与函数 的图象关于直线 对称。

9、)(xfy()0x12函数零点的求法：直接法（求 的根） ；图象法；二分法.0)(f(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)07圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）d 点在圆上； 点在圆内； 点在圆外。RdRRd直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离） 相切； 相交； 相离。圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ）dr, r 相离； 外切； 相交；rdd 内切； 内含。RR09直线与圆相交所得弦长 2|ABrd第六部分 圆锥曲线1定义：椭圆： ；|)|(,| 2

10、121 FaMF双曲线： ； 抛物线：|MF|=d| 2结论 ：直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 ,则A)(),(21yxB,或 , 或 .2211()()ABxy221kxAB21k注：抛物线： x 1+x2+p；通径（最短弦）：）椭圆、双曲线： ；）抛物ab2线：2p.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于 0 时表示椭圆；12nymxn,时表示双曲线） ；当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大； 0mnP21PF双曲线中的结论：双曲线 （a0,b0）的渐近线： ； 12byax 02byax共渐进线 的双曲线标准方程可设为 为参数， 0） ；(双曲线为等轴双曲线 渐近线互相

11、垂直；2e焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？直线斜率不存在xy时考虑了吗？判别式验证了吗？|设而不求（点差法-代点作差法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x1，y 1)、B(x 2,y2)；作差得 ；解决问题。21xykAB4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式） ；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法） ；待定系数法；（ 5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。第七部分 平面向量

12、1.平面上两点间的距离公式: ，其中 A ，B .,ABd2211()()xy1(,)xy2(,)2.向量的平行与垂直： 设 = , = ，且 ，则：a1yb,b0 = ；ab20 ( ) =0 .012xy3.ab=|a|b|cos= x x2+y1y2； 注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。4.cos= ；|5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 。xy1OPxAB且第八部分 数列1定义： BnASbknaNna daNdnnn 21 1*),2(

13、2 )(,()( ）为 常 数等 差 数 列 等比数列 ),(0(1-2n qn2等差、等比数列性质：等差数列 等比数列通项公式 dan)1( 1nqa前 n 项和 dnaSnn 2)1(211qaSqnnn1)(.;1时 ，时 ，性质 a n=am+ (nm)d, a n=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq| 成 AP 成 GP,232kkkSS,232kkkSS 成 AP, 成 GP,mad mamq3常见数列通项的求法：定义法（利用 AP,GP 的定义） ；累加法（ 型） ；公式法： nnca1累乘法（ 型） ；待定系数法（

14、 型）转化为nca1 bkn1)(1xknn（6）间接法（例如： ） ；（7） （理科）数学归纳法。41411 nnnaa4前 项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。n5等差数列前 n 项和最值的求法： 最大值 ；利用二次函数的图象与性质。nS 0011nnnaSa最 小 值或第九部分 不等式1均值不等式： ),(2bb注意：一正二定三相等；变形： 。),(2)(Rbaa2极值定理：已知 都是正数，则有：yx,(1)如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值 ；pyxp(2)如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值 .sx241s3.解一元二次不等式 :若 ,则对于解集不是全集或空集时,对应的20()axbc或 0a解集为“大两边，小中间”.如:当 , ；212121 x.2210xx或4.含有绝对值的不等式：当 时，有： ；ax 或 .aa5.分式不等式：（1） ； （2） ；00xgfxgf 00xgfxgf（3） ； （4） .f fan= S1 (n=1)SnS n-1 (n 2)