构造函数解导数综合题.doc

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1、|构造辅助函数求解导数问题对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧技法一：“比较法”构造函数典例 (2017广州模拟)已知函数 f(x)e xax( e 为自然对数的底数， a 为常数) 的图象在点( 0,1)处的切线斜率为1(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x0 时，x 2e x解 (1) 由 f(x)e xax ，得 f(x)e xa因为 f

2、(0)1 a1，所以 a2，所以 f(x)e x2x ，f( x)e x2，令 f(x)0，得 xln 2，当 xln 2 时，f( x)0，f(x)单调递减；当 xln 2 时，f( x)0，f(x)单调递增所以当 xln 2 时，f (x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)e ln 22ln 22ln 4，f (x)无极大值(2)证明：令 g(x)e xx 2，则 g(x)e x2x由(1)得 g(x)f(x) f(ln 2) 0，故 g(x)在 R 上单调递增所以当 x0 时，g(x )g(0)10，即 x2e x方法点拨在本例第(2) 问中，发现 “x2，e x”具有基本初等函数的

3、基因，故可选择对要证明的“x 2e x”构造函数，得到 “g(x)e xx 2”，并利用 (1)的结论求解对点演练|已知函数 f(x) ，直线 yg(x )为函数 f(x)的图象在 xx 0(x01)处的切线，xex求证：f( x)g(x)证明：函数 f(x)的图象在 xx 0 处的切线方程为 yg(x)f(x 0)(xx 0)f(x 0)令 h(x)f(x) g(x )f( x)f(x 0)(xx 0)f (x0)，则 h(x)f(x)f(x 0) 1 xex 1 x0e 1 xe 1 x0exe设 (x)(1x )e (1x 0)ex，则 (x)e ( 1x 0)ex，0x 01，(x)

4、0，(x)在 R 上单调递减，又 (x0)0，当 xx 0 时，(x )0，当 xx 0 时，(x)0，当 xx 0 时，h(x)0，当 xx 0 时，h(x)0，h(x)在区间(，x 0)上为增函数，在区间 (x0，)上为减函数，h(x)h( x0)0，f(x)g( x)技法二：“拆分法”构造函数典例 设函数 f(x)ae xln x ，曲线 yf(x)在点(1，f (1)处的切线为bex 1xye( x 1)2(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1解 (1) f(x)ae x (x0)，(ln x 1x) bex 1x 1x2由于直线 y e(x1)2 的斜率为 e，图象过点(1,2)，

5、所以Error!即 Error!解得Error!(2)证明：由(1)知 f(x)e xln x (x0)，2ex 1x|从而 f(x)1 等价于 xln xxe x 2e构造函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x，所以当 x 时，g( x)0，(0，1e)当 x 时，g( x)0，(1e， )故 g(x)在 上单调递减，(0，1e)在 上单调递增，(1e， )从而 g(x)在(0 ，) 上的最小值为 g (1e) 1e构造函数 h(x)xe x ，2e则 h(x)e x (1x)所以当 x(0,1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x ) 0；故 h(x)在(0,1 )上单调递增

6、，在(1，)上单调递减，从而 h(x)在(0 ，) 上的最大值为 h(1) 1e综上，当 x 0 时，g(x )h(x)，即 f(x)1方法点拨对于第(2) 问“ae xln x 1”的证明，若直接构造函数 h(x)ae xln xbex 1x1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将bex 1x不等式“ae xln x 1”合理拆分为“xln xxe x ”，再分别对左右两边构bex 1x 2e造函数，进而达到证明原不等式的目的对点演练|已知函数 f(x) ，曲线 yf(x) 在点(1，f(1)处的切线方程为aln xx 1 bxx2y30(1)求 a，b 的值；(2)证

7、明：当 x0，且 x1 时，f(x) ln xx 1解：(1 )f(x) (x0)a(x 1x ln x)x 12 bx2由于直线 x 2y30 的斜率为 ，且过点(1,1)，12故Error!即Error!解得Error!(2)证明：由(1)知 f(x) (x0)，ln xx 1 1x所以 f(x) ln xx 1 11 x2(2ln x x2 1x )考虑函数 h(x)2ln x (x0) ，x2 1x则 h(x) 2x 2x2 x2 1x2 x 12x2所以当 x1 时，h( x)0而 h(1)0，故当 x(0,1)时，h(x)0，可得 h(x)0；11 x2当 x(1，)时，h(x )

8、 0，可得 h(x)011 x2从而当 x0，且 x1 时，f( x) 0，ln xx 1即 f(x) ln xx 1技法三：“换元法”构造函数典例 已知函数 f(x)ax 2xln x(aR )的图象在点(1，f(1) 处的切线与直线 x3y0 垂直|(1)求实数 a 的值；(2)求证：当 nm0 时， ln nln m mn nm解 (1) 因为 f(x)ax 2x ln x，所以 f(x)2axln x1，因为切线与直线 x3y 0 垂直，所以切线的斜率为 3，所以 f(1)3 ，即 2a1 3，故 a1(2)证明：要证 ln nln m ，mn nm即证 ln ，只需证 ln 0nm

9、mn nm nm mn nm令 x，构造函数 g(x)ln x x(x 1)，nm 1x则 g(x) 11x 1x2因为 x1，)，所以 g(x) 10，1x 1x2故 g(x)在(1， )上单调递增由已知 nm0，得 1，nm所以 g g (1)0，(nm)即证得 ln 0 成立，所以命题得证nm mn nm方法点拨对“待证不等式 ”等价变形为 “ln 0”后，观察可知，对“ ”进行换nm mn nm nm元，变为“ln x x0”，构造函数“g( x)ln x x (x1)”来证明不等式，可1x 1x简化证明过程中的运算对点演练已知函数 f(x)x 2ln x|(1)求函数 f(x)的单调

10、区间；(2)证明：对任意的 t0，存在唯一的 s，使 tf(s )；(3)设(2) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 sg(t) ，证明：当 te 2 时，有 25 ln gtln t 12解：(1 )由已知，得 f(x)2xln xx x(2ln x1)( x 0)，令 f(x)0，得 x 1e当 x 变化时， f(x)，f(x) 的变化情况如下表：x (0，1e) 1e (1e， )f(x) 0 f(x) 极小值 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 (0，1e) (1e， )(2)证明：当 0x 1 时，f( x)0，t0，当 0x1 时不存在 tf(s)令 h(x)f

11、(x) t，x 1，)由(1)知，h(x )在区间(1，)上单调递增h(1)t0 ，h(e t)e 2tln ettt(e 2t1)0故存在唯一的 s(1，)，使得 tf(s)成立(3)证明：因为 sg( t)，由( 2)知，tf(s)，且 s1，从而 ln gtln t ln sln fs ln slns2ln s ，ln s2ln s lnln s u2u ln u其中 uln s 要使 成立，只需 0ln u 25 ln gtln t 12 u2当 te 2 时，若 sg( t)e，|则由 f(s)的单调性，有 tf(s)f(e )e 2，矛盾所以 se，即 u1，从而 ln u0 成立

12、另一方面，令 F(u)ln u ，u1，F (u) ，u2 1u 12令 F(u)0，得 u2当 1u2 时，F( u)0；当 u2 时，F( u)0故对 u1，F( u)F(2)0 ，因此 ln u 成立u2综上，当 te 2 时，有 25 ln gtln t 12技法四：二次(甚至多次)构造函数典例 (2017广州综合测试 )已知函数 f(x)e xm x 3，g(x)ln( x1)2(1)若曲线 yf(x)在点(0，f(0) 处的切线斜率为 1，求实数 m 的值；(2)当 m1 时，证明：f( x)g(x)x 3解 (1) 因为 f(x)e xm x3，所以 f(x)e xm 3x 2因

13、为曲线 y f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为 1，所以 f(0)e m1，解得 m0(2)证明：因为 f(x)e xm x 3，g(x)ln(x1) 2，所以 f(x)g(x)x 3 等价于 exm ln(x1)20当 m1 时，e xm ln(x1)2e x1 ln(x1)2要证 exm ln(x1)20，只需证明 ex1 ln(x 1) 20设 h(x)e x1 ln(x1)2，则 h(x)e x1 1x 1设 p(x)e x1 ，则 p(x)e x1 0，1x 1 1x 12|所以函数 p(x)h(x)e x1 在(1，)上单调递增1x 1因为 h e 20，h(0)e10，(

14、12) 12所以函数 h(x)e x1 在(1，)上有唯一零点 x0，且1x 1x0 ( 12，0)因为 h(x0)0，所以 ex01 ，1x0 1即 ln(x01) (x 01)当 x(1，x 0)时，h(x) 0，当 x(x 0， )时，h(x )0，所以当 xx 0 时，h(x)取得最小值 h(x0)，所以 h(x)h(x0)ex 01ln(x 01)2 (x 01) 201x0 1综上可知，当 m1 时，f(x)g( x)x 3方法点拨 本题可先进行适当放缩，m1 时，e xm ex1 ，再两次构造函数 h(x)，p(x)对点演练(2016合肥一模 )已知函数 f(x)ex x ln

15、x，g(x) extx 2x，tR，其中 e为自然对数的底数(1)求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 g(x)f(x)对任意的 x(0，) 恒成立，求 t 的取值范围解：(1 )由 f(x)exx ln x，知 f(x)e ln x1，则 f(1)e1，而 f(1)e，则所求切线方程为 ye (e1)(x1) ，即 y(e1) x1|(2)f(x) ex x ln x，g(x )e xtx 2x，tR，g(x)f( x)对任意的 x( 0，)恒成立等价于 extx 2xexxln x0 对任意的 x(0，)恒成立，即 t 对任意的 x( 0，) 恒成立ex x ex

16、 xln xx2令 F(x) ，ex x ex xln xx2则 F(x) ，xex ex 2ex xln xx3 1x2(ex e 2exx ln x)令 G(x)e xe ln x ，2exx则 G(x)e x 0 对任意的2xex exx2 1x exx 12 ex xx2x( 0， )恒成立G(x)e xe ln x 在(0，) 上单调递增，且 G(1)0，2exx当 x(0,1)时，G(x)0，当 x( 1，) 时，G(x)0，即当 x(0,1)时，F( x)0，当 x( 1，) 时，F(x)0，F(x)在( 0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，F(x)F (1)1，t1，即 t 的取值范围是(， 1