2023年平面向量知识点和例题.docx

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1、第二章 平面向量1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。3.向量的长度（模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作。4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是两个平行向量，那么通常记作。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任历来量平行，即对于任历来量，都有。6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若

2、向量、是两个相等向量，那么通常记作=。7.如图，已知非零向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做与的和，记作，即。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。8.对于零向量与任历来量，我们规定：+=+=9.公式及运算定律： 10.相反向量：我们规定，与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-。和-互为相反向量。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。任历来量与其相反向量的和是零向量，即。假如、是互为相反的向量，那么= -，= -，。我们定义，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。11.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个

3、向量，这种运算叫做向量的数乘。记作，它的长度与方向规定如下： 当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；=0时，=12.运算定律： 13.定理：对于向量（）、，假如有一个实数，使=，那么与共线。相反，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即|=|，那么当与同方向时，有=；当与反方向时，有= 。则得如下定理：向量向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使=。14.平面向量基本定理：假如、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表达这一平面内所有向量的一组基底。15.向量与的夹角：已知两个非零向量和。作，则（

4、0180）叫做向量与的夹角。当=0时，与同向；当=180时，与反向。假如与的夹角是90，我们说与垂直，记作。16.补充结论：已知向量、是两个不共线的两个向量，且m、nR，若，则m=n=0。17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若，则，19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标。即若，则_x_y_L_P2_P_P120.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量、（）共线21.定比分点坐标公式：当时，P点坐标为当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，0当点P在线段P1

5、P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1；当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-10.22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则，其中+=123.数量积（内积）：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作即=。其中是与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我们规定，零向量与任历来量的数量积为0。24. 的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。25.数量积的运算定律：= （）=（）=（） （+）=+ 26.两个向量的数量积等于它们相应坐标的乘积的和。即。则：若，则，或。假如表达向量的有向线段的起点和中点的坐标

6、分别为、，那么，设，则27.设、都是非零向量，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表达可得：2023-2023学年度XX学校XX月考卷试卷副标题1、在平面直角坐标系中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边关于轴对称，已知，则（ ）A. B. C. D. 2、下列命题对的的是（ ）A. 单位向量都相等B. 若与是共线向量， 与是共线向量，则与是共线向量C. ，则D. 若与是单位向量，则3、设是的相反向量, 则下列说法一定错误的是( )A. 与的长度相等 B. /C. 与一定不相等 D. 是的相反向量4、设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是（ ）A. B. C. 且 D. 且

7、方向相同5、下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线.其中不对的命题的序号是（ ）A. B. C. D. 6、下列命题对的的是（）A. 单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意向量共线C. 平行向量不一定是共线向量 D. 任历来量与它的相反向量不相等7、下列说法不对的的是（ ）A. ， 为不共线向量，若，则B. 若， 为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表达为C. 若， ，则与不一定共线D. 8、在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足 ,则A. B. C. D. 9、如图，在中， ，若，则的值为（ ）A. B

8、. C. D. 10、如图，已知， ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 11、点为的重心（三边中线的交点）设，则等于 （ ）A. B. C. D. 12、在中，若，则（ ）A. B. C. D. 13、如图，在中， 为线段的中点， 依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（ ）A. 点与图中的点重合 B. 点与图中的点重合C. 点与图中的点重合 D. 点与图中的点重合14、在三棱柱中，若，则等于( )A. B. C. D. 15、如图，正六边形中， （ ）A. B. C. D. 16、已知， 且，则等于 （ ）A. B. C. D. 17、在中，点是的中点，过点的直线分别交直线， 于不同

9、两点，若， ， 为正数，则的最小值为A. 2 B. C. D. 18、设两个非零向量与不共线，假如和共线那么的值是（ ）A. 1 B. -1 C. 3 D. 19、点在直线上运动，则的最小值是（ ）A. B. C. 3 D. 420、已知向量， ，则向量与的夹角为( )A. 135 B. 60 C. 45 D. 3021、如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则 （ ）A. B. C. D. 22、若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且，则等于( )A. ba B. ba C. ab D. ab23、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=+， 则+=（ ）A2 B

10、C D24、已知O，N，P在所在平面内，且，则点O，N，P依次是的 （ ）A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心25、已知平面向量 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使 ；给定向量和，总存在实数，使；给定单位向量和正数 ，总存在单位向量C和实数，使 ；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使 .则所有对的的命题序号是_.26、已知，则与方向相同的单位向量 27、已知向量，且，则_28、如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是 29、设， ， ，且，则在

11、上的投影的取值范围是 .30、把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动则的最大值是 31、如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，则_32、在边长为1的正三角形中，设，点满足.（1）试用表达；（2）若（，且），求的最大值.33、在边长为1的正三角形中，设，点满足（1）试用，表达；（2）若（，且），求的最大值34、已知：、同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角参考答案1、 【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B12、

12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C25、【答案】26、【答案】27、【答案】28、【答案】29、【答案】30、【答案】2 31、【答案】32、【答案】(1);(2).试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得即可得结果；（2），换元后，运用基本不等式即可得结果.试题解析：（1）.（2）.33、【答案】（1）；（2）试题分析：（1）借助图形，结合向量的线性运算将分解即可；（2）先求，将化为二次函数的形式，通过求二次函数的最值可得结果。试题解析：（1）如图，结合图形可得。（2），又，当时，取得最大值，且最大值为。34、【答案】（1）或；（2）试题分析：（1）求的坐标，若设出，则需建立关于的两个方程，而条件和恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用表达即可，（2）根据，还需求出的值，由条件与垂直，易得的值，从而得出夹角，从规范严谨的角度来讲，在此之前，一定要交待试题解析：（1）设由或或（2），即（），代入（）中，考点：平面向量的计算及向量数量积的应用