《概率论与-数理统计》-习题及答案~第一章.doc

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1、|概率论与数理统计习题及答案第 一 章1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 出现奇数点 ；A（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 两次点数之和为 10，第一次的点数，比第二次的点数大 2；B（3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时取出 3 只球，观察其结果， 球的最小号码为 1；（4）将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情,ab况， 甲盒中至少有一球 ；A（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， 通过汽车不足 5 台 ，A通过的汽车不少于 3 台 。B解 （1） 其中 出现 点

2、 ，12456,Seeii1,26。3（2） (,),()1,(),62),12,4,35,(4)()(5,),6；66；(,),(,4)A。3123B（3） ,5(1,4),5(1,24),5S(5)(,4,3,（4） )()()(,)ababab，其中 表示空盒；(,)(,)(,。,A（5） 。0,12,0,1234SB 2设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：BCE,AC|（1）仅 发生；A（2） 中至少有两个发生；,BC（3） 中不多于两个发生；（4） 中恰有两个发生；,（5） 中至多有一个发生。解 （1） A（2） 或 ；BCBACB（3） 或 ；ACB（4） ；（5） 或

3、 ；3一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试(1,23)ii用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；iA（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解 （1） ；（2） ；（3）3A12A；（4） 。123123123A134在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解 设 任取一电话号码后四个数字全不相同 ，则4106().502P5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率。解 （1）设 5 只全是好的 ，则A；3740().62CP

4、（2）设 5 只中有两只坏的 ，则B.23740()5A6袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求（1）3 个球的最小号码为 5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设 最小号码为 5，则A|；25310()CPA（2）设 最大号码为 5，则B.24310()7 （1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；r（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设 他们的生日都不相同 ，则A；365()rP（2）设 至少有两个人的生日在同一个月 ，则B；2123214414() 96CCP或.412()1()P8设一个人

5、的生日在星期几是等可能的，求 6 个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设 生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天 ，则A. ？为什么267()()0.17CP9将 等 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文,EINS单词 SCIENCE 的概率是多少？解 1 设 恰好排成 SCIENCEA将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 在 7 个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 在余下的 5 个C27CE位置中占两个位置，共有 种占法，字母 剩下的 3 个位置上全排列的25,IN方法共 3！种，故基本事件总数为 ，而 中的基本事件只有27

6、53!160A一个，故；275()!PAC解 2 七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相E异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个，第二种元n1n|素有 个，第 种元素有 个 ，将这 个元素排成一2nkkn12()kn n排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为，12!k对于本题有.41()7!60PA10从 等 个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事0,12,9 0件的概率： 三个数字中不含 0 和 5， 三个数字中不含 0 或 5，2三个数字中含 0 但不含 5.3A解 .38107()CP，3982311045或，822310()()CPA

7、.8310711将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆，每堆两只，求事件nn每堆各成一双的概率.A解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题，不同的分法共n每堆各成一双共有 种情况，故(2)!()!n !2()!nPA12设事件 与 互不相容， ，求 与AB0.4,().3B()PAB()P解 1()1().因为 不相容，所以 ，于是,()0.6P13若 且 ，求 .()AB(AP()B|解 ()1()1()()PABPAB由 得p14设事件 及 的概率分别为 ，求 及, ,qr()PA()B解 ()()()(1PABPAB.1qprpr15设 ，且 仅发生一个的概率为 0.5，求 都()0.7, ,

8、发生的概率。解 1 由题意有0.5()()()PABPAB，.72所以.()01解 2 仅发生一个可表示为 ，故,ABAB.5()()2(),PPAB所以.()0116设 ，求 与 .7,()0.3,()0.()P()解 ，.3.7(ABAB所以，()0.4P故；.6.2()(04BAPB所以0.P()1()1()()0.1PAB17设 ，试证明CC证 因为 ，所以AB()()()()PB|故. 证毕.()()1PABC18对任意三事件 ，试证,.()(PABPA证 ()()() )CB. 证毕.19设 是三个事件，且 ，,ABC1(),(04PC，求 至少有一个发生的概率。1()8P,解 )

9、()()()()PBCPABA因为 ，所以 ，于是0(0031548ABC20随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在园2yax内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 轴的夹角小x于 的概率./4解：半圆域如图设 原点与该点连线与 轴夹角小A于 /由几何概率的定义214()aP的 面 积半 园 的 面 积 121把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.a解 1 设 三段可构成三角形 ，又三段的长分别为 ，A ,xyay则 ，不等式构成平面域 .0,0xyxyaS发生 0,22x不等式确定 的子域 ，所以SA1()4PA的 面 积的 面 积0yxyx a/4x

10、S0a/2 a/2a aA|解 2 设三段长分别为 ，则 且,xyz0,0xayza，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .xyzaS发生Azyx不等式确定 的子域 ，所以SA.1()4PA的 面 积的 面 积22随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过 1，试求xy与 之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.xy解 ，不等式确定平面域 .0,xS 则 发生的A1,0.9xyA充要条件为 不,.0xy等式确定了 的子域 ，故0.91.()()Pd的 面 积S的 面 积0.418ln3.223 （蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平()a面上随机地投掷一根长 的针，求针与任一平行线相交的概率.()la解 设 针与某平行线相交 ，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，A设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。x为针与平行线的夹角，则，不等式确定了平面0,2ax上的一个区域 .S发 生 ， 不 等 式 确 定 的 子 域Asin2LxSayayxzyA2axy0yAS sinl1yy1y0.90.10yASy|A故 012()sin2LPAdaa