2023年全国考研数学三真题.doc

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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目规定，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 已知当时，与是等价无穷小，则 ( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c =4 (C) k=3,c =4 (D) k=3,c =4 (2) 已知函数在x=0处可导，且=0，则= ( )(A) 2 (B) (C) (D) 0. (3) 设是数列，则下列命题对的的是 ( ) (A)若收敛，则收敛 (B) 若收敛，则收敛(C) 若收敛，则收敛 (D) 若收敛，则收敛 (4) 设，则的大小关系是

2、( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再互换的第二行与第三行得单位矩阵，记，则= ( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为( ) (A) (B) (C) (D) (7) 设,为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是 ( ) (A) (B) (C) (D) +(8) 设总体X 服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简朴随机样本，则对于记录量和，有 ( ) (A) , (B) ,(C) (D) ,二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案

3、写在答题纸指定位置上.(9) 设，则 .(10) 设函数，则 .(11) 曲线在点处的切线方程为 .x2y10(12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型的秩为1，中各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为 . (14) 设二维随机变量服从正态分布，则= .三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.(15) (本题满分10分)求极限(16) (本题满分10分)已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，.求(17) (本题满分10分)求不定积分 (18) (本题满分10分)证明方程恰

4、有两个实根. (19)(本题满分10分)设函数在区间具有连续导数，且满足, ，求的表达式. (20) (本题满分11分)设向量组， 不能由向量组, , 线性表出.(I)求的值 ；(II)将，用，线性表出.(21) (本题满分11分)为3阶实对称矩阵，的秩为2，且(I) 求的所有特性值与特性向量;(II) 求矩阵. (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为XPY1P且.(I) 求二维随机变量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求与的相关系数. (23)(本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域.(I) 求的概率密度；(II) 求条

5、件概率密度.2023年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目规定，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 答案： (C)解：本题涉及到的重要知识点：当时，在本题中， ，故选择(C).(2) 答案：(B)解：本题涉及到的重要知识点：导数的定义 在本题中，故应选(B)(3)答案：(A)解：本题涉及到的重要知识点：级数的基本性质 若级数收敛，则不改变其项的顺序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，并且其和不变.在本题中，由于级数是级数通过加括号所构成的，由收敛级数

6、的性质：当收敛时，也收敛，故（A）对的.(4) 答案：(B)/4解：本题涉及到的重要知识点：假如在区间上，则在本题中，如图所示：由于，所以又因在是单调递增的函数，所以 即.选（B）.(5) 答案：(D)解：本题涉及到的重要知识点：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相称于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相称于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在本题中，由于将的第2列加到第1列得矩阵，故即由于互换的第2行和第3行得单位矩阵，故即故因此，故选(D)(6) 答案：(C)解：本题涉及到的重要知识点：（1）假如，是的两个解，则是的解；（2）如元线性方程组有解，设是相应齐次方程组的基础解系

7、，是的某个已知解，则是的通解（或所有解），其中为任意常数.在本题中，由于是的3个线性无关的解，那么，是的2个线性无关的解.从而，即显然，因此由，知（A）（B）均不对的.又，故是方程组的解.所以应选（C）.(7) 答案：(D)解：本题涉及到的重要知识点：连续型随机变量的概率密度的性质：在本题中，由于与均为连续函数，故它们的分布函数与也连续.根据概率密度的性质，应有非负，且.在四个选项中，只有（D）选项满足故选（D）.(8) 答案：(D)解：本题涉及到的重要知识点：（1）泊松分布 数学盼望，方差（2），（与互相独立）在本题中，由于独立同分布，且，从而，故又，故选（D）.二、填空题：914小题，每小

8、题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)答案：解：本题涉及到的重要知识点：重要极限公式 在本题中，所以有.(10)答案：解：用对数求导法.两边取对数得，故，令，得，从而(11)答案：解：方程变形为，方程两边对求导得，在点处，从而得到曲线在点处的切线方程为.x2y10(12) 答案：解：本题涉及到的重要知识点：设有连续曲线，则曲线与直线，及轴围成的平面图形绕轴旋转一周产生的旋转体的体积在本题中，(13) 答案：解：本题涉及到的重要知识点：任给二次型，总有正交变换，使化为标准形，其中是的矩阵的特性值.在本题中，的各行元素之和为3，即所以是的一个特性值.再由二次型的秩为1是的2重特性值

9、.因此，正交变换下标准形为：.(14)答案：解：本题涉及到的重要知识点：（1）假如随机变量和的相关系数，则称与不相关.（2）若随机变量与的联合分布是二维正态分布，则与独立的充要条件是与不相关.（3）假如随机变量与互相独立，则有在本题中，由于服从正态分布，说明，独立同分布，故与也独立.由盼望的性质有，又，所以三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.(15) (本题满分10分)解：本题涉及到的重要知识点：当时，在本题中，(16) (本题满分10分)解：本题涉及到的重要知识点：极值存在的必要条件 设在点具有偏导数，且在点处有极值，则

10、必有，.在本题中，为的极值(17) (本题满分10分)解：本题涉及到的重要知识点：（1），；（2）；（3）.在本题中，令, ，其中是任意常数. (18) (本题满分10分)解：本题涉及到的重要知识点：（1）零点定理 设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使（2）函数单调性的鉴定法 设函数在上连续，在内可导.假如在内，那么函数在上单调增长；假如在内，那么函数在上单调减少.在本题中，令，当时，单调递减；当时，单调递增. .当时，单调递减,；当时，单调递增, ,是函数在上唯一的零点.又由于且由零点定理可知，使,方程恰有两个实根.(19)(本题满分10分)解：本题涉及到的重要

11、知识点：一阶线性微分方程的通解.在本题中，由于，令，则.两边对求导，得,解齐次方程得由，得. 所以函数表达式为.(20) (本题满分11分)解：本题涉及到的重要知识点：向量组能由向量组线性表达的充足必要条件是(I)由于，所以线性无关.那么不能由线性表达线性相关，即，所以(II)假如方程组都有解，即可由线性表达.对作初等行变换，有=故，(21) (本题满分11分)解：本题涉及到的重要知识点：（1） 为矩阵A的特性值，为相应的特性向量（2）对于实对称矩阵，不同特性值的特性向量互相正交.（I）因知，所以是的特性值.又，所以按定义是的特性值，是属于的特性向量；是的特性值，是属于的特性向量.设是属于特性

12、值的特性向量，作为实对称矩阵，不同特性值相应的特性向量互相正交，因此 解出故矩阵的特性值为；特性向量依次为，其中均是不为0的任意常数. (II)由，有.(22)(本题满分11分)解：本题涉及到的重要知识点：（1）协方差 （2）相关系数 (I)设的概率分布为YX -10101/312/31/31/31/3根据已知条件，即，可知，从而，即的概率分布为XY-10101/30101/301/3(II) 的所有也许取值为-1，0，1 .的概率分布为Z-101p1/31/31/3 (3) ，故，从而.(23)(本题满分11分)解：本题涉及到的重要知识点：（1）、是连续型随机变量，边沿概率密度为，；（2）在的条件下的条件概率密度；（3）设是平面上的有界区域，其面积为.若二维随机变量具有概率密度则称在上服从均匀分布.(I)的联合密度为当时，；当时，；当或时，.所以 (II)当时，；当或时，. 所以