2023年数学考研真题及答案详解.doc

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1、绝密启用前2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超过答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填（书）写部分必须使用黑色笔迹签字笔或者钢笔书写，笔迹工整、笔迹清楚；涂写部分必

2、须使用2B铅笔填涂。5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。考生姓名： 考生编号：2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目规定的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数在处连续，则（ ）(A)(B)(C)(D)（2）设二阶可导函数满足且，则（ ）（3）设数列收敛，则（ ）当时， 当时，当时， 当时，（4）微分方程的特解可设为（A） （B）（C） （D）（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则（A） （B） （C） （D）（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方

3、10（单位：m）处，图中实线表达甲的速度曲线（单位：），虚线表达乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（ ）（A） （B） （C） （D）（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）（8）设矩阵,则（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线的斜渐近线方程为_ (10) 设函数由参数方程拟定，则_ (11) _(12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，则（13）（14）设矩阵的一个特性向量为，则三、解答题：1523小题，共

4、94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.（15）（本题满分10分）求极限（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求，（17）（本题满分10分）求（18）（本题满分10分）已知函数由方程拟定，求的极值（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存在两个不同实根。（20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分。（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求L上点的坐标满足的方程。（22）（本

5、题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特性值，且。证明：若，求方程组的通解。（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.参考答案1.【答案】A【解析】在处连续选A.2.【答案】B【解析】为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D.取满足条件，则，选B.3.【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A错；取，排除B,C.所以选D.4.【答案】A【解析】特性方程为：故特解为：选C.5.【答案】C【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数，所以有，故答案选D.6.【答案】B【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则，当时满足，故选C.7.【答案】 B

6、【解析】,因此B对的。8.【答案】B【解析】由可知A的特性值为2,2,1,由于，A可相似对角化，即由可知B特性值为2,2,1.由于，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，但B不相似于C.9.【答案】【解析】10.【答案】【解析】11.【答案】1【解析】12.【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得13.【答案】.【解析】互换积分顺序：14.【答案】-1【解析】设，由题设知，故故.15.【答案】【解析】，令，则有16.【答案】【解析】结论：17.【答案】【解析】18.【解析】两边求导得： （1）令得对（1）式两边关于x求导得 （2）将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得 将代入（2）得故为极大

7、值点，；为极小值点，19.【解析】（I）二阶导数，解：1）由于，根据极限的保号性得有，即进而又由于二阶可导，所以在上必连续那么在上连续，由根据零点定理得：至少存在一点，使，即得证（II）由（1）可知，令，则由罗尔定理，则，对在分别使用罗尔定理：且，使得，即在至少有两个不同实根。得证。20.【解析】21.【解析】设的切线为，令得，法线,令得。由得，即。令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出,22.【解析】（I）证明：由可得，即线性相关，因此，即A的特性值必有0。又由于A有三个不同的特性值，则三个特性值中只有1个0，此外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为23. 【解析】，其中由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则，由，可得A的属于特性值-3的特性向量为；由，可得A的属于特性值6的特性向量为由，可得A的属于特性值0的特性向量为令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，则，