2012年考研数学二试题-及答案~.doc

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1、|2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合:题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线 渐近线的条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点 M 沿曲线无限远离原点时，如果 M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐近线分为水平渐近线（ ， 为常数） 、垂直渐近线（ ）和斜lim()xfb0lim()xf渐近线（ ，

2、为常数） 。lim()0xfab,a（iii）注意：如果（1） 不存在；lixf（2） ，但 不存在，可断定 不存在斜渐近线。()ali()xfax()fx在本题中，函数 的间断点只有 .21y1由于 ，故 是垂直渐近线.1limx（而 ，故 不是渐近线）.11()lili2xxy1x又 ，故 是水平渐近线.（无斜渐近线）2lilixxy综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.(2) 设函数 ,其中 为正整数,则 ( )2()1)()xxnxfee (0)f|(A) (B) (C) (D) 1()!n(1)!n1()!n(1)!n【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要

3、知识点：.000()()limlixxffxyf:在本题中，按定义 200()(1)()()lilixxnxxfeef .故选 A.112()()!n【详解二】本题涉及到的主要知识点：.()()()()fxuvxvux在本题中，用乘积求导公式.含因子 项在 为 0，故只留下一项.于是1e20(0)()xnxfe 1()2()()!n故选（A）.(3) 设 ， ，则数列 有界是数列 收敛的( )(1,)na 123nnSaa nSna（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件（C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】【详解】因 ，所以 单调上升.0(1,2

4、)na 123nnSaa若数列 有界，则 存在，于是Slimn11lili()li0nn n反之，若数列 收敛，则数列 不一定有界.例如，取 ，则 是无aS1na(,2) nS界的.|因此，数列 有界是数列 收敛的充分非必要条件.故选（B）.nSna(4)设 则有 ( )20si(1,23kxKedkI(A) (B) (C) (D)123I321II231II213I【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 ，则 .acb()()()bcbaacfxdfxfdx在本题中， ，210sinxIe220sinxIe230sinxIe，22 21dI，233 3

5、sixIe22231nsinsinxxeded2 233()si)tetd 22() 31i0xI因此 .故选 D.213I（5）设函数 可微，且对任意的 都有 ， ，则使不等式(,)fxy,xy(,)0fxy(,)0fxy成立的一个充分条件是( )12(,),fxyf（A） ， （B） ， 1y12x12y（C） ， （D） ， 12x2 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,ab(,)ab|如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；(,)ab(0fx()yfx,ab如果在

6、内 ，那么函数 在 上单调减少.在本题中，因 ，当 固定时对 单调上升，故当 时(,)0fxyx12x121(,)(,)fxyf又因 ，当 固定时对 单调下降，故当 时(,)fyy12y12,ff因此，当 ， 时12x121212(,)(,)(,)fxffx故选 D.（6）设区域 由曲线 ， ， 围成，则 ( )Dsinyx2y5(1)Dxyd（A） （B）2 （C）-2 （D） 【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： 10,(,)(,)2(),DDfxyfxydfxyd对 或 为 奇 函 数 ，对 或 为 偶 函 数在本题中，115 55222sin si

7、n()()()x xDydyd52221(sin)(i)xdx其中 ， 均为奇函数，所以52(i)i，5221sin0xdx2sin0xd故选（D）|(7)设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向量10c2131c41c1234,c组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D)123,124,134,234,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：个 维向量相关n12,0n在本题中，显然，1341230,c所以 必线性相关.故选 C.134,(8) 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 P=（ ） ，102pAP123,

8、，则 ( )123(,)1QA(A) (B) (C) (D) 0102201201【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中，由于 经列变换为 ，有PQ|，1210()QPE那么 11122212()()()()AAPPAE0011故选 B.二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:（9）设 是由方程 所确定的隐函数，则 .yx21ye20

9、xdy【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数） ，此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法 2 比较简单些，若只求某个偏导数，则方法 1 和方法 2 的繁简程度差不多。在

10、本题中，令 ，得 .等式两边同时对 求导，得0x()yx（*）2yxe令 ， 得 ，()0y于是 .再将（*）是对 求导得(0)yx2ye|令 ， ， 得 0xy02()0y于是 ()1（10） .2221limnnn【答案】 4【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.特别是对于 项和数列的极限，应该注意到：n 101lim()()niffxd在本题中，由积分定义， 22222211 1limli1()()()n n nnn 11020arct4dx（11）设 ，其中函数

11、可微，则 (ln)zfy()fu2zxy【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数 （是一元函数 与二元函数 的复合函数） ，在变量替换(,)zfuxy()fu(,)uxy|下，得到 对 ， 的偏导数为 ， .(,)uxyzxy()zufx()zufy在本题中，根据题中条件可知， ， ，所以1zfu21f20zxy（12）微分方程 满足条件 的解为 2(3)0ydxdy1xyy【答案】 （或 ）2【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：方程 叫做一阶线性微分方程，其通解为 .()dyPxQ ()()PxdPxdyeQeC在

12、本题中，方程可整理为 ，将 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为13dxyx.又 ，得 ，故 （或 ）为1133dydyxeC(1)0C2xyx所求解.（13）曲线 上曲率为 的点的坐标为 .20yx2【答案】 （-1，0）【考点】曲率【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： 曲率公式 .321yK在本题中， ，代入曲率公式 ，得 ，,x 321yK321()x|解得 或 .又 ，故 .故坐标为 .1x0x10y(1,0)（14）设 为 3 阶矩阵， ， 为 的伴随矩阵，若交换 的第一行与第二行得到矩阵A3*AA，则 _B*【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】【详

13、解】本题涉及到的主要知识点：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中，设 120E则 ，从而 .12BA3*1227BA三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）已知函数 记1sinxf0limxaf（）求 的值；a（）当 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfxk k【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：当 时， ， .0x31sin()6xoxsinx:

14、31sin6x:（） 2220000iilimlilmlimsxxx xaf（） 1|方法一：利用泰勒公式 332 321 200 01 6sinilimli lm0kk kxx xxxof x 解得 . 方法二：利用等价无穷小量代换 2 1sinsini1xxxf x当 时， ，所以 . 0x3216f:k（16）求函数 的极值.(,)xyfe【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设 在点 的某邻域有连续的二阶偏导数，又(,)zfxy0(,)， ，令 ，0(,)xfy0(,)yfx0A， ，则BC（1）当 时， 在 取极值，且当 时取极小值， 时取极大2AC(,)fy0,)x0A值；（2）当 时， 不是 的极值点；00,(,fy（3）当 时，仅此不足以判断 是否是 的极值点，还需另作讨论.20)x(,)fxy在本题中，先求函数的驻点. 令 2222 2, 1, 0xyxyxyxyfeefy解得驻点为 ，(1,)(,又