2022年高中数学教案—点到直线的距离.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教 案课题：点到直线的距离 教材：人教版全日制一般高级中学教科书（必修）数学其次册（上）第七章第 3节 教案目标：1 至少把握点到直线的距离公式的一种推导方法,能用公式来求点到 直线距离；2 培育同学探究才能和由特别到一般的争论问题的才能；3 熟悉事物（学问）之间相互联系、相互转化的辩证法思想,培育学 生转化的思想和综合应用学问分析问题解决问题的才能；4 培育同学团队合作精神,培育同学个性品质,培育同学勇于探究的 科学精神；教案重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用 教案难点：点到直线的距离公式的推导 教案方法：启示引导法、争论法 学习方法：

2、任务驱动下的争论性学习 教案时间： 45 分钟 教案过程：1 .老师提出问题,引发认知冲突（约 5 分钟）问题：假定在直角坐标系上,已知一个定点 P（x0 ,y0）和一条定直线 l：Ax+By+C=0,那么如何求点 P 到直线 l 的距离 d？请同学摸索并回答；同学 1：先过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,就 | PQ| 就是点 P 到直线 l 的距离 d；然后用点斜式写出垂线方程,并与原直线方程联立方程组,此方程 组的解就是点 Q 的坐标；最终利用两点间距离公式求出 | PQ| ；接着,老师用投影出示以下5 道题 尝试性题组 ,请 5 位同学上黑板练习（第（ 4）题请一位运算才能强的

3、同学,其余同学在下面自己练习,每做完一题立刻讲评）：1 求 P（1 ,2）到直线 l：x=3 的距离 d；（答案： d=2）C2 求 P（x0 ,y0）到直线 l：By+C=0（B 0）的距离 d；（答案：d y 0）B3 求 P （ x0 ,y0 ） 到 直 线 l ： Ax+C=0 （ A 0） 的 距 离 d ； （ 答 案 ：d x 0 C）A4 求 P（6 ,7）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离 d；（答案： d=1）5 求 P（x0 ,y0）到直线 l：Ax+By+C=0（AB 0）的距离 d；第（ 1）简洁、（ 2）和（ 3）题虽然含有字母参数,但由于直线的位置比较1特别,

4、同学不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大,但依据刚才同学回答的方法与步骤,也能顺当解出正确答案；第（5）题虽然思路清楚,但由于字母参数过多、运算量太大行不通；同学们陷入了困境；1 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2老师启示引导,同学走出困境（约 8 分钟）老师：依据以上 5 位同学的运算结果,你能得到什么启示？同学 2：当直线的位置比较特别（水平或竖直）时,点到直线的距离简洁 求得,而当直线是倾斜位置时就较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自 然,但详细操作起来因运算量很大而无法得出结果；老师：那么,

5、练习（ 5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根 据刚才的第（ 2）、（ 3）的启示,借助水平、竖直情形和平面几何学问来解决 倾斜即一般情形呢？请同学们摸索；y同学 3：能！如图 1,过点 P 作 x、y 轴的垂线分别交直线 l 于 S、 R,就由三角形面积公式可得ROdSPx0,y0 | PQ|= （|PR| |PS| ）/|RS| 老师： |PR| 怎么求？ |PS| 又怎么求？xQ 同学 3：设 R（x1 ,y0）,就由 Ax1+By0+C=0,得 x1= （ By0+C） A,图 1 l|PR|=| x0- x1|=| Ax0+By0+C| | A| ；同理： |PS|=| A

6、x0+By0+C| | B| ；老师： |RS| 怎么求？同学 3：|RS|=PR2PS2=（A2B2/|AB| ） |Ax0+By0+C| ；老师： | PQ| 结果是什么？同学 3：| PQ|=Ax0By0C；A2B2老师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？同学 4：当 A=0 或 B=0 时, PRS 不存在,故应说明公式当 A=0 或 B=0 时是否适用？由（ 2）、（ 3）检验可知公式依旧成立,即公式对任意直线都适用；3 .老师提出问题,同学分组争论（约 10 分钟）老师：推导点到直线的距离公式的方法不少；前面我们学了函数、三角函 数、向量、不等式等数学学问,你能用所学过的学问从

7、不同角度、采纳不同方 法来推导这个公式吗？请同学们先独立摸索,然后在小组上进行争论沟通,由 组长负责记录； 10 分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法 通过实物投影进行“ 成果” 沟通；同学们积极探讨；老师来回巡察,回答各争论小组的询问 4.同学沟通“ 成果” ,老师点评小结（约16 分钟）4 名代经过约非常钟的研讨,各小组都找到了新的推导方法；于是老师请 表依次上讲台（让预备成熟的先讲）,借助实物投影介绍本组的“ 成果” ；由于时间关系,每组只要求讲一种方法,用时不超过 重复；4 分钟,且各组的方法不能同学 5：我们用的是“ 设而不求,整体代换” 的数学思想；请看投影屏 幕：

8、2 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Q 的坐标为（ x1 ,y1）,就直线 PQ 的斜率 k1=y 1y0,又直线 l 的斜率x 1x0k= -A ,于是由 PQ l 得, k1k= -1 即 Bx1- x0-Ay 1- y0=0 B又由于 Ax1+By1+C=0, 即 Ax1+By1=-C 两边同减 Ax0+By0得 Ax1-x0+By1-y0= - Ax 0+By0+C 于是 2+ 2 得, A 2+B 2x1-x0 2+y1-y0 2= Ax0+By0+C 2, 即 A 2+B 2 d 2= Ax

9、0+By0+C 2Ax 0 By 0 C所以 d= 2 2；A B老师：“ 设而不求,整体代换” ,真是奥妙无穷,这是解读几何削减运算量的有效途径,同时也表达了数学的内在美,妙不行言；幕：同学6：我们小组向大家介绍一种特殊的方法向量法,请看投影屏如图 2,设 T（x1 ,y1）为直线l 上的任意一点,就Ax1+By1+C=0, PT =（x1-x0,y1-y0）yPQ直线 l ,lOQ dPx 0,y0 PQ 平行于直线 l 的法向量 n=（A,B）x另设 n 与 PT 的夹角为 ,就 nPT =nPTcos图 2 Tx 1,y1 即| Ax1-x0+By1-y0|= A2B2| PT | c

10、os |即| Ax0+By0+C|=A2B2 d d=Ax0By0C；A2B2老师：向量是数量与图形的有机结合,解读几何是用代数的方法解决几何问题,两者都表达了数形结合的思想,第三小组的推导方法证明白这一点,也再次说明白向量具有很强的有用性与工具性,用向量法解解读几何题的确行之有效；名师归纳总结 同学 7：我们小组向大家介绍向量的另一lOyndM第 3 页,共 5 页种方法,妙用向量数量积的性质请看投影屏幕：如图 3,设垂足是点 Hm,n,HMx0m,y0n 与HAx+By+C=03 / 5 图3X- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 l 的法向量

11、n A,B 共线,HMnHM nx0m,y0nA,B.AX 0By0CAX 0By0AmBndHMHM nAX 0By0C这是相当简洁的方法了；n2 A2 B老师：奇妙利用向量数量积的性质来求距离,简直是“ 巧夺天工” ,与其他方法相比,这种方法有肯定优势,我们必需重视对向量工具性的争论和应用；同学 8：刚才三个小组的证明方法的确出色,我们也发觉了一种奇妙的方法,把它称为“ 柯西不等式法” ,请看投影屏幕：我们知道, P 点到直线 l 的距离 ,实质上是点 P 与直线 l 上任意一点 T 的距离的最小值,于是我们设T （ x1 ,y1）为直线l 上的任一点（如图2）,就Ax1+By1+C=0,

12、A2B2,而 d=|PT| min,于是 |PT|=x0x12y0y 12=x 0x 12y0y 12A2B2利用柯西不等式,便有 |PT| A x0x 1By0y 12=Ax0By0C,A2B2A2B2所以 d=Ax0By0C,此时B x 0x 1A y 0y 1,即 PT 垂直于直线 l；A2B2老师：这一证法果真非常奇妙,包含的数学思想非常丰富；由点到直线的距想到最小值,又由最小值想到不等式,在一步步“ 转化” 中问题得到圆满解决；同时也表达了不等式的工具作用；5.公式应用（同学练习,约 3 分钟）（ 1） 求 P（6 ,7）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离 d. （直接代公式得答

13、案： d=1,检验尝试性题组第（ 4）的答案）（ 2）求 P（-1,1）到直线 l：y 2 x 1 的距离 d. （先化直线方程为一般式再代公式得答案：d 4 5）56.老师小结并布置作业（约 1 分钟）这节课我们学习了点到直线的距离公式,在公式的推导中学到了很多重要4 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的数学思想和方法,感受到了数学的奥妙,也感受到了胜利的欢乐；其实这个 公式的推导方法不下十种,由于课堂上时间紧,很多同学有制造性的推导方法 不能进行展现、沟通,请同学们撰写一篇题为点到直线距离公式的多种推导

14、方法的数学小论文,作为本节课的作业,答应三到四人合作完成；设计说明：数学公式的教案应包含两个部分：公式的推导和公式的运用；由于受应试 训练的影响,前者往往被“ 轻描淡写” ,而后者却搞得“ 轰轰烈烈” ,这明显 与“ 重结论,但更重过程” 的现代训练理念相违反；其实数学公式的推导都蕴 含着丰富的数学思想和数学方法,谁忽视了这个“ 产生过程” ,谁就忽视了数 学的“ 精髓” ,谁就忽视了同学探究性思维品质的培育；这节课把争论性学习引入公式的教案,让同学真正成为课堂的主人；在推 导公式的过程中,同学通过克服困难的经受,以及获得胜利的体验,锤炼了意 志,增强了信心；其实全部公式的教案、定理的教案都应

15、向这个方向努力；数学教案,从根本上讲就是提高同学的数学素养,提高同学的数学素养的 有效途径有二：其一,使同学善于总结,使零乱的学问系统化、综合化；其 二,使同学善于联想,培育发散性思维；本节课使学会从不同的角度摸索问 题,加强学问间的联系,正是锻练、提高同学运用学问分析问题和解决问题的 才能,从而提高数学素养；通过公式求点到直线的距离并不困难,但这个公式的推导方法不下十种,且各种推导都包蕴着重要的数学思想、方法,由于课堂上时间紧,很多同学的 有制造性的推导方法不能进行展现、沟通,故课外请同学们撰写一篇题为点 到直线距离公式的多种推导方法的数学小论文作为本节课的作业；考虑到同 学的个体差异,故答应三到四人合作完成；同时通过同学小论文的完成情形对 这节课的教案成效作出评判；本课设计有肯定的弹性,实际教案中,同学想到的推导方法不肯定是上述 几种,我将针对每一种方法的特点进行适当的点评；进行沟通的同学不肯定是 四人,如时间不够,公式应用留到下节课,本节课只完成公式推导；5 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页