2022年高中数学必修解三角形教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2 章 解三角形2.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题 . 教学重点 ：正弦定理的探究和证明及其基本应用 . 教学难点 ：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数 . 教学过程 ：一、复习预备：1. 争论：在直角三角形中,边角关系有哪些？三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形 形的哪些边角关系？内角和、大边对大角量化？引入课题：正

2、弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：. 已学习过任意三角 是否可以把边、角关系精确特别情形：直角三角形中的正弦定理：sin A=asin B=bsinC=1 即 c=aDBccaAbBcC. sinsinsin 能否推广到斜三角形？先争论锐角三角形,再探究钝角三角形当ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,依据三角函数的定义,有CDasinBbsinA ,就aAbB. 同 理 ,aAcC 思 考 如 何 作sinsinsinsin高？,从而aAbBcC. sinsinsin * 其 它 证 法 ： 证 明 一 ： 等 积 法 在 任 意 斜 ABC当 中SABC =1abs

3、inC1acsinB1bcsinA . bB=cC. CO222b两边同除以1abc即得：aA=c2sinsinsinA证明二： 外接圆法如下图,A D,aAaDCD2R,sinsin同理bB=2R,cC 2R. sinsin1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明三：向量法过A 作单位向量j 垂直于AC ,由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量j得 . 基本应用：已知三角形的任意两角 正弦定理的文字语言、符号语言,及及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 . 2.

4、 教学例题：出例如1：在ABC 中,已知A0 45,B600,a42cm ,解三角形. 分析已知条件 争论如何利用边角关系示范格式小结：已知两角一边出例如2：ABC 中,c6,A0 45 ,a2,求 和B C. 小结：已知分析已知条件争论如何利用边角关系 示范格式两边及一边对角练习：ABC中,b3,B0 60 ,c1, 求 和A C. 01 ,在ABC 中,已知a10cm ,b14cm,A0 40,解三角形角度精确到边长精确到1cm 争论：已知两边和其中一边的对角解三角形时,如何判定解的数量？3. 小结： 正弦定理的探究过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对 角的争论 . 三、稳固练习：1

5、.已知ABC 中,A=60 ,a3,求sinAabBcsinC. sin2. 作业：教材P5 练习 1 2 , 2 题 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1.2 余弦定理一教学要求：把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定懂得决两类基本的解三角形问题 . 教学重点 ：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用 . 教学难点 ：向量方法证明余弦定理 . 教学过程 ：一、复习预备：c符号语言？基本应用？. 变式1. 提问：正弦定理的文字语言？2. 练习：在ABC 中,已知10, A=45

6、 ,C=30 ,解此三角形3. 争论：已知两边及夹角,如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在ABC 中, AB 、 BC 、 CA的长分别为c 、 a 、 b . AbcCaBACABBC ,AC.ACABBC.ABBCAB22AB.BCBC22 AB2|AB| |BC| cos180BBC22 c2accosB2 a . 即b2c2a22accosB , 试证：a2b22 c2bccosA ,c2a2b22 abcosC . 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍2bccos. 基本应用：已知两用符号语言

7、表示a2b22 cA , 等；边及夹角 争论：已知三边,如何求三角？ 余弦定理的推论：cosAb22 ca2, 等 . 2bc 摸索：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题： 出例如1：在ABC 中,已知a2 3,c62,B600,求 b 及 A. 分析已知条件争论如何利用边角关系 示范求b ,A600 争论：如何求A？两种方法答案：b2 2 小结：已知两边及夹角3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在ABC 中,已知a13 cm,b8 cm ,c16 cm ,解三角形. 分析已知条件争论如何利用边角关系分三

8、组练习小结：已知两角一边3. 练习： 在ABC 中,已知a 7, b 10 , c 6,求 A、B 和 C. . 在ABC 中,已知a 2, b 3, C 82 ,解这个三角形4. 小结： 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范畴：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角,求第三边 . 三、稳固练习：1. 在ABC 中,假设a2b2c2bc ,求角A. 答案：A=1200 2. 三角形ABC 中, A 120 , b 3, c 5,解三角形. 变式：求sin BsinC；sin B sinC. 3. 作业：教材P8 练习 1、 2 1题 . 4 名师

9、归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1 .3 正弦定理和余弦定理练习教学要求：进一步熟识正、余弦定理内容,能娴熟运用余弦定理、正弦定懂得答有关问题,如判定三角形的外形,证明三角形中的三角恒等式 . 教学重点 ：娴熟运用定理 . 教学难点 ：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化 . 教学过程 ：一、复习预备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式 . 2. 争论各公式所求解的三角形类型 . 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的争论： 出例如1：在ABC 中,已知以下条件,解三角形. 2 ；2 . 2i A6,a 2

10、5,b 502 ；ii A6,a 252 ,b 50iii A6,a50 36,b 502 ；iiii A6,a 50,b 50分两组练习争论：解的个数情形为何会发生变化？ 用如以下图示分析解的情形. A 为锐角时已知边 a,b 和ACCCCAbaAbaAbaaAbaHBB1HB2a bHBaCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAa a b sinA 有两解a b 有一解a b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定懂得三角形【例 1】在ABC 中,假设b5,B4,sinA1,就 a.35 23【例 2】在ABC中,已知a =3 , b =2 ,B=45 , 求 A、 C 和

11、c . 【适时导练】1. 1 ABC中,a=8,B=60 ,C=75 , 求 b ; b =4,c=8, 求 C、 A、 a. . 问题二：利用余弦定懂得三角形2 ABC中, B=30 , 【例 3】设ABC 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 已知a1,b2,cosC1. a 、b 、4求ABC的周长； 求cosAC的值 .【例 4】 2022 重庆文数设ABC的内角A、B、C 的对边长分别为c , 且 3b2+3c2-3a2=42b c . A4 1sinBC4的值 . 求 sinA2sin的值； 求cos2A【适时导练】2 在ABC中, a 、 b 、 c 分别是角A, B, C

12、的对边,且cosB=-2bc. cos Ca 1求角B 的大小； 2假设 b =13 , a + c =4,求ABC的面积 . 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 2022 山东文数 在ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - c已知cos A-2cos C=2c-a bcosB=1,ABC的周长为5,求bcosB I求sinC的值； II 假设sinA4的长；【例 6】 2022 全国卷理在ABC中,内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c,已知

13、a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求 b2C 2 cos 3 在 ABC 中, a、b、c 分别是角A、B、C 的对边, 且 8 sin2B2A 7 1求角A 的大小； 2假设a3 , b c 3,求 b 和 c 的值问题四：三角恒等变形【例 7】 08 重庆设ABC的内角A, B, C 的对边分别为a ,b,c,且 A=60 , c=3b. 求：ac 的值； cotB +cot C的值 . 所 对 的 边 分 别 为a b c,4. 2022江 西 卷 理 ABC中 ,A B CtanCsinAsinB,sinBA3cosC. a c.cosAcosB 1求A C； 2假设

14、SABC3, 求问题五：判定三角形外形【例 8】在ABC 中,在ABC 中, a,b,c 分别是角A 、 B 、 C 所对的边,bcosA acosB ,试判定ABC 三角形的外形. 【例 9】. 在 ABC 中,在A 、B、C 所对的边,ABC中, a,b,c 分别是角15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设cosA cosBb a,【适时导练】5. 在 ABC 中,假设 2cosBsinA sinC ,就ABC 的外形肯定是A. 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等 边 三角形

15、6.在 ABC 中, a 、 b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,假如a2+b2 sin A - B = a2- b 2 sin A +B,判定三角形的外形. 问题六：与其他学问综合【例 10 】已知向量mac b , ,nac ba 且m n0,其中 A,B,C是ABC的内角,a , b ,c 分别是角A,B,C 的对边. 1求角C 的大小； 2求 sinAsinB 的取值范畴. A B C所对的边分别为a b c,且满意7 2022 浙江文在ABC中,角cosA 22 5,AB AC5ABC 的面积；3c1,求a的值 I 求 II 假设问题 7：三角实际应用【例 11 】要测量对岸 A 、 B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、 D两点,并测得ACB =75 , BCD =45 , ADC =30 , ADB =45 ,求 A 、 B 之间的距离 . 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页