2022年高二数学二项式定理..docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载二项式定理1 学问精讲：（1）二项式定理：rabnC0anC1an1 bCranrbrNCnbn（nn5N）nnnn其通项是Tr1Canrbr（r=0,1,2, ,n）,知 4 求 1,如：T 6T 51Cn5ab5n特殊地：1xnC0 nxnC1xCrxnrCnxn（n）nnn（2）二项绽开式系数的性质：对称性 , 在二项绽开式中,与首末两端“ 等距离” 的两项的二项式系数相等,即C0Cn,C1Cn1,C2Cn2,CkCnk,nnnnnnnn增减性与最大值：在二项式绽开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值；假如二

2、项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n 偶数：Cnrm axCnnT n1；22如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 , 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 , 即n 1 n 1rC n max C n 2 C n 2 T n 11 T n 11；2 2n 0 1 n n全部二项式系数的和用赋值法可以证明等于 2 即 C n C n C n 2；奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等, 即0 2 1 3 n 1C n C n C n C n 2（3）二项式定理的应用：近似运算和估量、证不等式,

3、如证明：2 n2 n n ,3 n N 取n n2 1 1 的绽开式中的四项即可；2特殊留意 :二项式的绽开式共有 n+1 项,C n r a n r b r 是第 r+1 项；r n r r通项是 rT 1 C n a b（r=0,1,2, ,n）中含有 Tr 1 , a , b , n , r 五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素；名师归纳总结 当 n 不是很大, | x | 比较小时可以用绽开式的前几项求11xn的近似值；（）第 1 页,共 5 页例 1（1）C13 C29 Cn3n 31Cn等于（）nnnA.4nB.34nC.4n1D.4n1337被 9 除得的余数是（2）如 n

4、 为奇数,就7nC17n1C27n2CnnnnA. 0 B. 2 C. 7 D. 8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2（1） 假如在x1x优秀学习资料欢迎下载n的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的4 2有理项；（2） 求x1253x 的项的系数）2的绽开式的常数项；x（3）在x23x的绽开式中,求x 的系数（即含x2x31x7的绽开式中,求4 x 的系数；练习：（1）在 1x例 3（2）求x44 4的绽开式中的常数项；1x 50的绽开式中3 x 的系数；x（3）求1x31x4 1x5设 an1 qq2 q n1n N * ,q 1

5、,1AnC n a1C n a2 C n an. 1用 q 和 n 表示 An22当3q1时 , 求lim nA n2n例 4、 如2x34=a0a1xa2x2a3x3a4x4,求（ 1）a 0a 2a 4a 1a 32的值；（ 2）a 0a 1a2a 3的值；例 5 已知（12xn；2（1）如绽开式中第5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二项式系数最大项的系数；（2）如绽开式前三项的二项式系数和等于n79,求绽开式中系数最大的项；例 6：当nN且 n 1,求证2 113n名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - -

6、 - - - - 例 1解：（1）设S nC n 13 C2优秀学习资料欢迎下载9 Cn33 n1Cn,于是：nn3 S n3 C132C233Cn33 nCn=Cn03 C 1n3 2C n 23 3C n33nCn1nnnn应选 D （2）7nC17n1C27n2Cn178n191n1项为nnn=9nC1n 911n1Cn191n1nn由于 n为奇数,所以原式=9nC19n11n1Cn192nn所以,其余数为 7,选 C 例 2 解：（1）绽开式中前三项的系数分别为1,n,n n1,28由题意得： 2n=1+n n1 得 n =8；28设第 r+1 项为有理项,T r1cr1x163r,就

7、 r 是 4 的倍数,所以r=0,4, 8；482r有理项为T 14 x,T 535x ,T 912；8256 x（2）法一：x123x16,其展开式的通xxr名师归纳总结 T r11rC6rx6r121rC6rx62rr,令62 r0得r3第 3 页,共 5 页22x2所以,常数项为T 420得到常数的情形有：法二：解析：x123=x12x12x12xxxx三个括号中全取-2 ,得（ -2 ）3 一个括号取| x ,一个括号取1 ,一个括号取 -2 ,x得C3C12 =-12 ,因此常数项为-20 ；2（3）x23x25=1x52x51C1x2524C1x55含 x 的项为C124C 5 1

8、25x240x , 即含x的项的系数为2405- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练 习 ：解 : （ 1 ） 原 式 =1优秀学习资料欢迎下载x6, 展 开 式 中x4的 系 数 为x4 1x71x411x 1 4C 6 41 142 4 8（ 2 ） x 44 4 = x 4 x4 4 24 x , 展 开 式 中 的 常 数 项 为x x x4 4 4C 8 2 1 11203 48 51 3（3）方法一：原式 = 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x3 4x 的系数为 C 51；3 3 3 3 3 4 3 3 3方法二：绽开式中 x

9、 的系数为：C 3 C 4 C 5C 50 C 4 C 4 C 5C 504 3 3 4C 5 C 5C 50 C 51n1 q例 3 解： q 1,a n1 q . 1 2 nAnC n a1C n a2 C n an1 q 1 q 2 1 q n1 2 n1 q C n 1 q C n 1 q C n10 1 2 n 0 1 2 n1 q C n C n C n C n C n qC n q 2C n q nC n 12 n1 q n1 qn2 A nn 11 1 q 由于 3 q 1 且 q 1,所以 0 1 q12 1 q 2 2A n 1所以 lim n 2 n =1 q2 2例 4

10、、【解析】：（ 1）在使用赋值法前,应先将 a 0 a 2 a 4 a 1 a 3 变形为：2 2a 0 a 2 a 4a 1 a 3 = a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4才能发觉 x 应取什么特殊值：名师归纳总结 令 x = 1,就a0a 1a2a3a4=234第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 x =1 就a 0a1a2a3a4优秀学习资料3欢迎下载=24名师归纳总结 因此：a 0a2a 42a 1a 32=234234=23234=1 第 5 页,共 5 页（ 2 ） 因 为a

11、 0a 1a 2a 3a4=a0a 1a2a3a4=234, 而a 42 416所以,a0a 1a 2a 3=23416 例 5 【解】（1）C4C62 C5 n =7 或 n =14；nnn当 n =7 时,绽开式中二项式系数最大的项是T4 和 T5T4的系数 =C 7 3142 335；T5的系数 =C41324707222当 n =14 时绽开式中二项式系数最大是项是T8,T8的系数 =7 C 1417273432；2（2）由C0C1C2=79,可得n=12,设Tk1顶的系数最大；nnn12x1211214x12,k C 124kCk14k1, 9.4 k 10.4 即 k =10,1222k C 124kCk 1214k1故绽开式中系数最大的项为T11 ；T 1111210 C 1210 410 x10 16896 x12例 6：证明 : 11n1Cn11Cn21Cnn11Cn112nnn2nnn11n2nnn21nn1n21nn1nn2321n2 .3n .n2111211211211121 12n.2.3n .222n123113.从而211n32nn- - - - - - -