2022年高考中的常用数学方法配方法待定系数法换元法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考中的常用数学方法配方法、待定系数法、换元法一、学问整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法. 这些方法是数学思想的详细表达 , 是解决问题的手段 , 它不仅有明确的内涵 , 而且具有可操作性 , 有实施的步骤和作法 . 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧 , 由于这种配成 “ 完全平方”的恒等变形 ,使问题的结构发生了转化 , 从中可找到已知与未知之间的联系 , 促成问题的解决 . 待定系数法的实质是方程的思想, 这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中, 从而通过解方程 或方程组 求得未知

2、数 . 换元法是一种变量代换 , 它是用一种变数形式去取代另一种变数形式 , 从而使问题得到简化 , 换元的实质是转化 . 二、例题解析例 1已知长方体的全面积为11, 其 12 条棱的长度之和为24, 就这个长方体的一条对角线长为 . A 2 3 B 14 C5 D6 分析及解： 设长方体三条棱长分别为 x, y, z, 就依条件得：2 2 2 2 xy+yz+zx=11,4 x+y+z=24. 而欲求的对角线长为 x y z , 因此需将对称式2 2 2x y z 写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx的组合形式 , 完成这种组合的常用手段是配方法 . 故 x 2y 2z 2 x

3、 y z 2 2 xy yz xz =6 2-11=25 x 2y 2z 2 5 , 应选 C. 2例 2设 F1 和 F 2为双曲线 xy 2 1 的两个焦点 , 点 P 在双曲线上且满意F 1PF2=90 ,4就 F 1PF2 的面积是 . 名师归纳总结 A1 B5 C2 D5第 1 页,共 12 页2分析及解： 欲求SPF1F21|PF 1|PF 2|1, 而由已知能得到什么呢？2由 F 1PF 2=90 , 得|PF1|2|PF2| 2202, 又依据双曲线的定义得| PF1|-|PF 2|=4 3, 那么 2 、3 两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发觉将3 式完全平方, 即可找

4、到三个式子之间的关系. 即|PF 1|PF22 |PF1|2|PF2|22|PF 1|PF2|16, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载216 142故|PF 1|PF2|1|PF 1|2|PF 2|22SPF 1F21|PF 1|PF 2|1, 选 A. . 2注：配方法实现了“ 平方和” 与“ 和的平方” 的相互转化例 3设双曲线的中心是坐标原点 , 准线平行于 x 轴, 离心率为 5 , 已知点 P0,5 到该2双曲线上的点的最近距离是 2, 求双曲线方程 . 2 2分析及解： 由题意可设双曲线方程为 y2 x2 1 , e

5、5, a=2b, 因此所求双曲a b 2线方程可写成：y 24 x 2a 2 1, 故只需求出 a 可求解 . 设双曲线上点 Q 的坐标为 x, y, 就| PQ|= x 2 y 5 2 2,点 Q x, y 在双曲线2 2上, x, y 满意 1 式 , 代入 2 得 | PQ|= y a y 5 2 3, 此时 | PQ| 2 表示4 4为变量 y 的二次函数 , 利用配方法求出其最小值即可求解 . 2由3 式有 | PQ | 2 5 y 4 25 a ya 或 y- a. 4 4二次曲线的对称轴为 y=4, 而函数的定义域 ya 或 y- a, 因此 , 需对 a4 与 a4 分类争论

6、. 1 当 a4 时, 如图 1 可知函数在 y=4 处取得最小值 , 2令 5 a 4 , 得 a 2=4 42所求双曲线方程为 yx 2 1 . 42 当 a4 时, 如图 2 可知函数在 y=a 处取得最小值 , 2令 5 a 4 25 a 4 , 得 a 2=49, 4 42 2所求双曲线方程为 y 4 x 1 . 49 49注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的, 其中利用配方法求解二次函数的最值问名师归纳总结 题, 由于二次函数的定义域与参数a 有关 , 因此需对字母a的取值分类争论, 从而得到两个解,第 2 页,共 12 页同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.

7、4x12, 试求 f x, 又f1 f1x例 4设 f x 是一次函数 , 且其在定义域内是增函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载的表达式 . 分析及解： 由于此函数的模式已知 , 故此题需用待定系数法求出函数表达式 . 设一次函数 y=f x= ax+b a0, 可知 f 1 x 1 x b , af 1 f 1 x 1a 1a x b b a 12 xa 12 ab b 4 x 12 . 12 4 且 a 0 1 比较系数可知：a12 ab b 12 2 a解此方程组 , 得 a 1, b=2, 所求 f x= 1 x 2

8、. 2 22 2例 5如图 , 已知在矩形 ABCD 中, C4,4, 点 A 在曲线 x y 9 x0, y0 上移动 ,且 AB, BC 两边始终分别平行于 x 轴 , y 轴, 求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的坐标 . 名师归纳总结 分析及解： 设 A x, y, 如下列图 , 就SABCD4- x4- y 1 第 3 页,共 12 页此时 S 表示为变量x, y 的函数 , 如何将 S 表示为一个变量x 或 y 的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9, 如何利用此条件？是从等式中解出x 或 y, 再代入 1 式, 由于表达式有开方 , 明显此方法不好. 假如我们将

9、 1 式连续变形 , 会得到 S=16-4 x+y+ xy 2 这时我们可联想到 x 2+y 2 与 x+y、xy 间的关系 , 即 x+y 2=9+2xy. 因此,只需设t=x+y,就xy=2t29,代入2式得S=16-4 t+t2291t4 273 S表示为变量t 的二次函数 , 220x3,0 y3, 3t32, 当 t=4 时, SABCD 的最小值为7 . 2此时xy7,4得 A的坐标为22,22或22,22xy22222注：换元前后新旧变量的取值范畴是不同的, 这样才能防止显现不必要的错误. 例 6设方程 x 2+2kx+4=0 的两实根为x1, x2, 如x12x223, 求 k

10、 的取值范畴 . x2x1解：x 12x 22x 1x222x 1x 1x 222 223, x 2x 1x 2x 1x2以x 1x22k,x 1x24代入整理得 k 2-225,又 =4k2-160, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |k22|05解得 k-优秀学习资料5欢迎下载5,+. ,2 2k242例 7点 P x, y 在椭圆 x y 2 1 上移动时 , 求函数 u=x 2+2xy+4y 2+x+2y 的最大值 . 4解：点 Px,y在椭圆 x 2y 2 1 上移动 , 可设 x 2 cos于是4 y sin2 2u x 2 xy 4 y

11、 x 2 y= 4 cos 24 sin cos 4 sin 22 cos 2 sin2= 2 cos sin cos sin 1令 cos sin t , sin cos 2 sin ,|t|2 . 42 1 2 3于是 u= 2 t t 1 2 t ,|t|2 . 2 2当 t= 2 ,即 sin 1 时 ,u 有最大值 . 4 =2k + kZ时, u max 6 2 2 .42 2例 8过坐标原点的直线 l 与椭圆 x 3 y 1 相交于 A, B 两点 , 如以 AB 为直径6 2的圆恰好通过椭圆的左焦点 F, 求直线 l 的倾斜角 . 解：设 Ax1,y1,Bx2,y2 直线 l

12、的方程为 y=kx,将它代入椭圆方程整理得13k2x26x30* k 的方程求由韦达定理 ,x 1x 21621,x 1x21322 3 k3 k又 F1,0且 AFBF,kAFkBF1, 即xy11xy211, 12将y 1kx 1,y2kx 2代入上式整理得k21x 1x2x 1x21, 将1 式,2式代入 ,解得k21. 故直线 l 的倾斜角为6或5. 36注：此题设交点坐标为参数,“ 设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为解.名师归纳总结 例 9设集合 A=x|4x2x1a0,xR 第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1

13、如 A 中有且只有一个元素优秀学习资料欢迎下载B；, 求实数 a 的取值集合2 当 aB 时, 不等式 x2-5 x-60 且方程4x2x1a0化为 t2-2t+a=0 x*, A 中有且只有一6ax4恒成个元素等价于方程* 有且只有一个正根,再令 ft=t2-2t+a, 就 =0 或f00即 a=1 或 a0,从而 B=-,01. 0 2当 a=1 时,311x0 恒成立 ,故11g 0 01x4. x40综上争论 ,x 的取值范畴是 3,4. 高中数学解题思想之换元法解数学题时, 把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化这叫换元法； 换元的实质是转化,关键是构造元和设

14、元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得简单处理；换元法又称帮助元素法、变量代换法； 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等；局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变

15、形才能发觉；例如解不等式：4 x2 x 2 0,先变形为设 2 x t （t0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题；名师归纳总结 三角换元, 应用于去根号, 或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问2 第 5 页,共 12 页中有某点联系进行换元；如求函数yx 1x 的值域时,易发觉x0,1,设 xsin2 , 0, 2 ,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,其中主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要；如变量 x、y 适合条件 x2 yr2 （r0 ）时,就可作三角代换xrcos 、y rsin 化为三角问题；- - - - - - -精选学

16、习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载均值换元,如遇到 xyS 形式时,设 xSt ,ySt 等等；2 2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的 t0 和 0, ；2、再现性题组：1.y sinx cosx sinx+cosx 的最大值是 _；2. 设 fx 2 1 log a4 x 4 （a1）,就 fx 的值域是 _；3. 已知数列 a n 中, a 1 1,a n 1a n a n 1a n ,就数列通项 a n _ ；4. 设实数 x、

17、y 满意 x 2 2xy 10,就 xy 的取值范畴是 _；x5. 方程1 3x3 的解是 _；1 36. 不等式 log 2 2 x 1 log 2 2 x 1 2 2 的解集是 _；2【简解】 1 小题：设 sinx+cosx t 2 , 2 ,就 ytt 1,对称轴 t 1,2 2当 t 2 , y max 12 ；22 小题：设 x 2 1t t1 ,就 ftlog a -t-1 24 ,所以值域为 ,log a4 ；3 小题：已知变形为a n 111an 1, 设 b n 1 a n,就 b 1 1,b n 1n 1-1n,所以 a n 1；n4 小题：设 xy k,就 x 2 2k

18、x 10, 4k 2 4 0, 所以 k1 或 k 1；5 小题：设 3 x y,就 3y 2 2y10, 解得 y1,所以 x 1；36 小题：设 log 22 x 1 y,就 yy 12 ,解得 2y0,求 fx2asinx cosx sinx cosx2a2 的最大值和最小值；, y , 【解】设 sinx cosx t ,就 t -2 ,2 ,由 sinx 22 xcosx2 12sinx cosx 得： sinx cosx t221 fxgt 1 2t 2a2 1 2（a0）,t -2 ,2 t -2 时,取最小值：2a2 22 a1 2当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a22

19、2 a1 2；当 00a4a2a1恒成立,求a 的取值范畴； （87 年全国理）22 a、log 2a1 2【分析】不等式中log 24 a1 、 log三项有何联系？进行对2aa14 a数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法；【解】设 log22 a1t ,就log 24 a1 log 28 aa1 3 log 2aa1 3aa22log 22 a13t ,log 2a1 22log 2a1 2t ,a4a22 a代入后原不等式简化为（3t ）x2 2tx 2t0 ,它对一切实数x 恒成立,所以：3t4 t08 3t0,解得t3或t6 t0 即 log 22a10 2t0a02 aa11,解

20、得 0a0 恒成立,求k 的范畴；916【分析】由已知条件x1 2y1 21,可以发觉它与a2 b2 1 有相像之处,916于是实施三角换元；名师归纳总结 【解】由x1 2y1 21,设x31cos ,y41sin ,第 11 页,共 12 页916- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：x113cos优秀学习资料欢迎下载代入不等式xyk0 得：y4sin3cos 4sin k0,即 k3cos 4sin 5sin + 所以 k0 a0 所表示的区域为直线 axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分；此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 x yk0 的区域；即当直线 xy y x k0 在与椭圆下部相切的切线之下时；当直线与椭2 216 x 1 9 y 1 144圆相切时,方程组 有相x y k 0 x yk0 k 平面区域等的一组实数解,消元后由 0 可求得 k 3, 所以k0,就 f4 的值为 _；,-1 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4 3332. 函数 y x 14 2 的单调增区间是_；A. -2,+