2022年高考数学一模试卷.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考数学一模试卷（文科）一、挑选题：本大题共 12 小题,每道题 5 分,共 60 分,每道题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求 .1已知全集 U为实数集,集合 A=x|x 2 2x 30 ,B=x|y=ln（1 x） ,就图中阴影部分的集合为（）Ax| 1x1B x|1 x 3Cx|x 3Dx|x 1 2复数 z=的虚部为（）A2B 2C2iD 2i 2 23已知 a,bR,就“a 0,b0” 是“ a +b2ab” 的（）A既不充分也不要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D充分必要条件4

2、已知,满意 .（ 2） =3,且 |=1 , = （1, 1）,就与的夹角为（）A B C D5 ABC中 A,B, C的对边分别是a,b,c,面积 S=,就 C的大小是（）log 2a2022的值A30 B45 C90 D1356数列 a n 中,满意 an+2=2an+1 an,且 a1, a4031是函数 f （x）=x3 4x2+6x 1 的极值点,就是（）A3B4C5D2 7如图为某几何体的三视图,就该几何体的表面积为（）A10+B10+C6+2+D6+ 8已知集合 A=x|x=a 0+a1 3+a2 3 2+a3 3 3 ,其中 ak0 ,1,2 （k=0,1,2, 3）,且 a3

3、 0就 A中全部元素之和等于（）A3240B3120C 2997D 2889 9已知函数f （x）=（ a ） sinx+ （a+1）cosx ,将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的ABCD绕图象,如对任意xR,都有 g（x）|g （） | 成立,就 a 的值为（）A1B1C 2D2 10如图,已知点,正方形ABCD内接于圆 O：x2+y 2=1,M、N分别为边 AB、BC的中点当正方形圆心 O旋转时,的取值范畴为（）A 2,2 B C 1, 1 D名师归纳总结 - - - - - - -11已知函数f （ x）=,如函数 g（x）=f （ x）+x+a 在 R上恰有两个相异

4、零点,就实数a 的取值范畴为（）A 1,+） B（1,+） C（ , 0）D（ , 1 12已知函数f （ x）在 R上可导,其导函数为f （ x）,如 f （ x）满意 0,y=关于直线 x=1 对称,就不等式 f （0）的解集是（）A（1,2）B（ 1,2） C（1,0）（ 1,2）D（ , 0）（ 1,+）二、填空题：本大题共4 小题,每道题5 分,共 25 分.13如双曲线C： mx 2 y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l ：y= 3x 1 垂直,就双曲线C的焦距为14已知点 A（ 5,0）, B（ 1, 3）,如圆 x2+y2=r2（r 0）上恰有两点M, N,使得 MAB和

5、NAB的面积均为5,就 r 的取值范畴是15约束条件,如使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,就实数a 的取值是第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16设 A 为曲线 M上任意一点, B 为曲线 N上任意一点,如|AB| 的最小值存在且为d,就称 d 为曲线 M, N之间的距离（1）如曲线 M：y=ex（e 为自然对数的底数）,曲线N：y=x,就曲线 M,N之间的距离为.；（2）如曲线 M：y2+1=x,曲线 N：x2+1+y=0,就曲线 M,N之间的距离为三、解答题：本大题共5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17某驾校

6、为了保证学员科目二考试的通过率,要求学员在参与正式考试（下面简称正考）之前必需参与预备考试（下面简称预考）,且在预考过程中评分标准得以细化,预考成果合格者才能参与正考现将10 名学员的预考成果绘制成茎叶图如下列图：规定预考成果85 分以上为合格,不低于90 分为优秀如上述数据的中位数为85.5 ,平均数为83（1）求 m,n 的值,指出该组数据的众数,并依据平均数以及参与正考的成果标准对该驾校学员的学习情况作简洁评判；（2）如在上述可以参与正考的学员中随机抽取2 人,求其中恰有1 人成果优秀的概率18 ABC中,角 A、B、C的对边分别为（）求角 A 的大小；a、b、c向量 =（ cosA,c

7、osB）与向量 =（ a,2c b）共线（）设等比数列 a n 中, a1cosA=1,a4=16,记 bn=log 2an.log 2an+1,求 的前 n 项和 Sn19如图, ABC A1B1C1是地面边长为 2,高为的正三棱柱,经过 AB的截面与上底面相交于 PQ,设C1P= C 1A1（0 1）（1）证明： PQ A 1B1；（2）是否存在 ,使得平面 CPQ截面 APQB？假如存在,求出 的值；假如不存在,请说明理由20给定椭圆 C： =1 （ ab0）,称圆心在原点 O,半径为的圆是椭圆 C的“ 准圆” 如椭圆 C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到 F 的距离为（）求椭圆 C的方

8、程和其“ 准圆” 方程（）点 P是椭圆 C的“ 准圆” 上的一个动点,过点 点,且 l 1,l 2 分别交其“ 准圆” 于点 M,NP作直线 l 1,l 2,使得 l 1,l 2 与椭圆 C都只有一个交当 P为“ 准圆” 与y 轴正半轴的交点时,求l 1,l 2的方程； 选修 4-1 ：几何证求证： |MN| 为定值21已知函数f （ x）=alnx+x2（a 为实常数）（1）当 a= 4 时,求函数f （x）在 1 ,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当 x1 ,e 时,争论方程f （x）=0 根的个数（3）如 a0,且对任意的x1,x21 ,e ,都有,求实数a 的取值范畴请考生在 22

9、、23、 24 三题中任选一题作答,假如多做,就按所做的第一题计分明选讲 22如下列图, PA为圆 O的切线, A 为切点, PO交圆 O于 B、C两点, PA=3,PB=1,BAC的角平分线与BC和圆 O分别交于点 D和 E（I ）求证 PA.DC=PC.DB；（）求 AD.AE的值 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 =4cos （ 0 ）,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面23已知曲线C的极坐标方程是直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位名师归纳总结 （1）写出曲线C的一般方程,并说明它表示什么曲线；第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

10、 - - - - （2）过点 P（ 2,0）作倾斜角为的直线 l 与曲线 C相交于 A、 B两点,证明 |PA| .|PB| 为定值,并求倾斜角 的取值范畴 选修 4-5 ：不等式选讲 24已知函数 f （ x）=|x a| ,其中 a1（1）当 a=3 时,求不等式 f （x）4 |x 4| 的解集；（2）如函数 h（x）=f （2x+a） 2f （x）的图象与 x、y 轴围成的三角形面积大于 a+4,求 a 的取值范围名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考

11、数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、挑选题：本大题共 12 小题,每道题 5 分,共 60 分,每道题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求 .1已知全集 U为实数集,集合 A=x|x 2 2x 30 ,B=x|y=ln（1 x） ,就图中阴影部分的集合为（）Ax| 1x1B x|1 x 3Cx|x 3Dx|x 1 【考点】 Venn图表达集合的关系及运算【分析】 由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（ .RB）,然后利用集合的基本运算进行求解即可【解答】 解： A=x|x2 2x 30=x| 1x3 ,B=x|y=ln（1 x）=x|1 x0=x|x1 ,就.UB=x|x 1 ,由韦恩图中

12、阴影部分表示的集合为 A（ .UB）,A（ .UB）=x|1 x 3 ,应选： B2复数 z=的虚部为（）A2B 2C2iD 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案【解答】 解： z= =,复数 z=的虚部为2应选： B3已知 a,bR,就“a 0,b0” 是“ a2+b 22ab” 的（）A既不充分也不要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D充分必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判定【分析】 a 2+b 22ab. （a b）20,即可判定出结论【解答】 解： a 2+b 22ab. （ a b）20,因此“a 0, b0” 是

13、“ a 2+b 22ab” 的充分不必要条件应选： B4已知,满意 .（ 2）=3,且 |=1 , = （1,1）,就与的夹角为（）A B C D【考点】 平面对量数量积的运算【分析】 求出 |= ,再由向量的平方即为模的平方,及向量的数量积的定义,即可得到夹角【解答】 解：由 =（1,1）,就 |= ,由.（ 2）=3,得2=3,即有 1 2| .| .cos =3,即有 cos = ,由 0 ,解得, =,应选 C名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 ABC中 A,B, C的对边分别是a,b,c,面积 S=,就

14、 C的大小是（）A30 B45 C90 D135【考点】 余弦定理【分析】 已知等式左边利用三角形面积公式化简,右边利用余弦定理化简,整理求出【解答】 解： ABC中, S=absinC ,a2+b 2 c2=2abcosC,且 S=,absinC=abcosC ,即 tanC=1,就 C=45 应选： B6数列 a n 中,满意 an+2=2an+1 an,且 a1, a4031是函数 f （x）=x3 4x2+6x 1 的极值点,就log 2a2022的值是（）A3B4C5D2 【考点】 利用导数争论函数的极值；数列递推式【分析】 利用导数即可得出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数

15、的运算法就即可得出【解答】 解：f （ x）=x 2 8x+6,a 1、a4031是函数 f （x）的极值点,a 1、a4031是方程 x2 8x+6=0 的两实数根,就a1+a4031=8而 a n 为等差数列,a 1+a4031=2a2022,即 a2022=4,从而 log 2a2022=log 24=2应选： D 7如图为某几何体的三视图,就该几何体的表面积为（）A10+B10+C6+2+D6+ 【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 由三视图可知：该几何体为一个四棱锥,如下列图,CD底面 PAD,BA底面 PAD,PAAD,PA=AD=CD=2, AB=1即可得出CD底面 PAD,B

16、A底面 PAD,【解答】 解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥,如下列图,PAAD, PA=AD=CD=2,AB=1PC=2,PB=,BC=S PBC=该几何体的表面积 S=+ =6+应选： C8已知集合A=x|x=a0+a1 3+a2 32+a3 33 ,其中 ak0 ,1,2 （k=0,1,2, 3）,且 a3 0就 A中全部元素之和等于（）A3240B3120C 2997D 2889 【考点】 数列的求和；集合的确定性、互异性、无序性【分析】 由题意可知a0, a1,a2 各有 3 种取法（均可取0,1,2）, a3有 2 种取法,利用数列求和即可求得 A 中全部元素之和【解答】 解：

17、由题意可知,a0,a1,a2 各有 3 种取法（均可取 0,1,2）, a3有 2 种取法,由分步计数原理可得共有 3 3 3 2 种方法,当 a0取 0, 1,2 时, a1,a2 各有 3 种取法, a3 有 2 种取法,共有 即集合 A 中含有 a0项的全部数的和为（0+1+2） 18；3 3 2=18 种方法,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同理可得集合 A中含有 a1 项的全部数的和为（ 3 0+3 1+3 2） 18；集合 A中含有 a2 项的全部数的和为（3 2 0+3 2 1+3 2 2） 18；

18、集合 A中含有 a3 项的全部数的和为（3 3 1+3 3 2） 27；由分类计数原理得集合A中全部元素之和：32 0+32 1+32 2） 18 +（33 1+33 2） 27S=（0+1+2） 18+（3 0+3 1+3 2） 18+（=18（ 3+9+27）+81 27=702+2187 =2889应选 D9已知函数 f （x）=（ a ） sinx+ （a+1）cosx ,将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数 g（x）的图象,如对任意 xR,都有 g（x）|g （） | 成立,就 a 的值为（）A1B1C 2D2 【考点】 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换；三角函数中

19、的恒等变换应用【分析】 由三角函数中的恒等变换应用化简可得 f （x）的解析式,依据平移变换可得 g（x）解析式,由题意 g（x）图象关于直线对称,从而解得 a 的值【解答】 解： =将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的解析式为：g（x）=f （x ） =asinx+2cosx ,由题意得g（x）图象关于直线对称,应选： D10如图,已知点,正方形ABCD内接于圆 O：x2+y 2=1,M、N分别为边 AB、BC的中点当正方形ABCD绕圆心 O旋转时,的取值范畴为（）A 2,2 B C 1, 1 D【考点】 平面对量数量积的运算；平面对量的坐标运算【分析】 由已知,将转化为,

20、得到【解答】 解： = cosPON= cosPON,结合角的范畴求余弦值是范畴PONR,cosPON 1,1 ,的取值范畴为 1,1 应选 C11已知函数 f （ x）=,如函数 g（x）=f （ x）+x+a 在 R上恰有两个相异零点,就实数 a 的取值范畴为（）A 1,+） B（1,+） C（ , 0）D（ , 1 【考点】 函数零点的判定定理【分析】 g（x）=0 可化为 f （x）= x a,从而作出函数的图象求解【解答】 解： g（ x）=0 可化为 f （x）= x a,当 x 1,0）时, x+10 ,1）,故把图象在 0 ,1）上的部分向左平移 1 个单位得到 f （ x）在

21、 1,0）上的图象,再把 f （x）在 1,0）上的图象每次向左平移 1 个单位连续平移就得到 f （x）在 R上的图象,再作出 y= x a 的图象；如下图,由图象可得a1,a 1,应选 B名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知函数f （ x）在 R上可导,其导函数为f （ x）,如 f （ x）满意 0,y=关于直线 x=1 对称,就不等式 f （0）的解集是（）A（1,2）B（ 1,2） C（1,0）（ 1,2）D（ , 0）（ 1,+）【考点】 导数的运算；其他不等式的解法【分析】 令 g（x） ,求出

22、导函数,当 x1 时,f （ x）f （x） 0 就 g （ x） 0,判定出 g（x）在（ 1,+）上单增；据 y=关于直线 x=1 对称,将不等式中的抽象函数符号去掉,解出 x 即可【解答】 解：令 g（x） , 0,当 x1 时,f （ x） f （ x） 0 就 g （ x） 0,g（ x）在（ 1,+）上单增；当 x1 时,f （ x） f （ x） 0 就 g （ x） 0,g（ x）在（ , 1）上单减；g（ 0）=f （ 0）,不等式 f （0）即为不等式g（x 2 x） g（0）,y=关于直线x=1 对称,0 x 2 x2,解得1x 0 或 1x2 应选 C二、填空题：本大题

23、共4 小题,每道题5 分,共 25 分.l ：y= 3x 1 垂直,就双曲线C的焦距13如双曲线C： mx 2 y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线为【考点】 双曲线的简洁性质【分析】 运用两直线垂直的条件,即斜率之积为到 m的方程,解得 m,再求 c,即可得到焦距1,求得渐近线的斜率,求出双曲线的渐近线方程,得【解答】 解：由于双曲线的一条渐近线与直线 就该条渐近线的斜率为,l ：y= 3x 1 垂直,双曲线 C：mx 2 y2=1 的渐近线方程为y=x,就有 =,即有 m=即双曲线方程为y2=1就 c=,即有焦距为 2故答案为： 214已知点 A（ 5,0）, B（ 1, 3）,如圆 x

24、2+y2=r2（r 0）上恰有两点M, N,使得 MAB和 NAB的面积均为5,就 r 的取值范畴是（1,5）【考点】 直线与圆的位置关系【分析】 先求得 |AB|=5 ,依据题意可得两点M,N到直线 AB的距离为 2求出 AB的方程为 3x+4y+15=0,当圆上只有一个点到直线AB的距离为 2 时,求得 r 的值；当圆上只有3 个点到直线AB的距离为 2 时,求得 r 的值,从而求得满意条件的r 的取值范畴【解答】 解：由题意可得|AB|=5 ,依据 MAB和 NAB的面积均为5,可得两点 M,N到直线 AB的距离为 2由于 AB的方程为 = ,即 3x+4y+15=0 如圆上只有一个点到

25、直线 AB的距离为 2,就有圆心（ 0,0）到直线 AB的距离 =r+2 ,解得 r=1 如圆上只有3 个点到直线AB的距离为 2,就有圆心（ 0,0）到直线 AB的距离 =r 2,解得 r=5,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故答案为：（ 1,5）15约束条件,如使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,就实数a 的取值是 1,【考点】 简洁线性规划【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,依据使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个可得 a 的值【解答】 解：由约束条件作出可行域

26、如图,由 z=ax+y ,得 y= ax+z,当 a0 时,a0,要使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,就,a=；当 a0 时,a0,要使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,就a=1,a= 1实数 a 的取值为1,故答案为：1,16设 A 为曲线 M上任意一点, B 为曲线 N上任意一点,如 |AB| 的最小值存在且为 d,就称 d 为曲线 M, N之间的距离（1）如曲线 M：y=e x（e 为自然对数的底数）,曲线 N：y=x,就曲线 M,N之间的距离为；（2）如曲线 M：y 2+1=x,曲线 N：x 2+1+y=0,就曲线 M,N之间的距离为【考点】 利用导数争论曲线

27、上某点切线方程；点到直线的距离公式【分析】 （1）设与直线 N：y=x 平行且与曲线 M：y=e x 相切的直线方程为 y=x+t ,切点 P（x0,y 0）利用导数的几何意义可得切点 P（0,1）,代入 y=x+t ,解得 t=1 可得切线方程为 y=x+1即可得出曲线 M,N之间的距离（2）由曲线 M：y 2+1=x,曲线 N：x 2+1+y=0,可知两曲线关于直线：y= x 对称设与直线：y= x 平行,且与曲线 N：x 2+1+y=0 相切于点 p（ x,y）,利用导数的几何意义可得切点,利用平行线之间的距离公式即可得出【解答】 解：（ 1）设与直线 N：y=x 平行且与曲线 M：y=

28、e x 相切的直线方程为 y=x+t ,切点 P（x 0,y 0）y=e x,x 0=0y 0=1切点 P（0,1）,1=0+t,解得 t=1 切线方程为 y=x+1曲线 M,N之间的距离 =（2）由曲线 M：y 2+1=x,曲线 N：x 2+1+y=0,可知两曲线关于直线：y= x 对称设与直线： y= x 平行,且与曲线 N：x 2+1+y=0 相切于点 p（x, y）,由曲线 N：x 2+1+y=0,y= 2x,令 2x= 1,解得 x=, y= 切点 P到直线 y= x 的距离 d=曲线 M,N之间的距离为故答案为：,三、解答题：本大题共5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明

29、过程或演算步骤.17某驾校为了保证学员科目二考试的通过率,要求学员在参与正式考试（下面简称正考）之前必需参与预备考试（下面简称预考）,且在预考过程中评分标准得以细化,预考成果合格者才能参与正考现将10 名学员的预考成果绘制成茎叶图如下列图：规定预考成果85 分以上为合格,不低于90 分为优秀如上述数据的中位数为85.5 ,平均数为83（1）求 m,n 的值,指出该组数据的众数,并依据平均数以及参与正考的成果标准对该驾校学员的学习情况作简洁评判；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如在上述可以参与正考的学员中随机

30、抽取2 人,求其中恰有1 人成果优秀的概率【考点】 列举法运算基本领件数及大事发生的概率；茎叶图【分析】 （1）由已知条件参与茎叶图得到80+=85.5 , =83 ,由此能求出m,n 的值和该组数据的众数,并能对参与正考的成果标准对该驾校学员的学习情形作简洁评判（2）可以参与正考的学员有5 人,其中成果优秀的有2 人,求出在5 名可以参与正考的学员中随机抽取2 人,基本领件总数和其中恰有1 人成果优秀包含的基本领件个数,由此利用等可能大事概率运算公式能求出恰有 1 人成果优秀的概率【解答】 解：（ 1）依题意, 80+=85.5 ,解得 m=6,由已知得 =83,解得 n=3,由茎叶图得该数

31、据的众数是 88,由于平均数为 83,而预考成果 85 分以上才能参与正考,依据样本估量总体的思想,得到该驾校预考成果并不抱负,要想参与正考,必需付出加倍努力（2）可以参与正考的学员有 5 人,其中成果优秀的有 2 人,在 5 名可以参与正考的学员中随机抽取 2 人,基本领件总数 n=10,其中恰有 1 人成果优秀包含的基本领件个数 m=6,恰有 1 人成果优秀的概率 p=18 ABC中,角 A、B、C的对边分别为（）求角 A 的大小；a、b、c向量 =（ cosA,cosB）与向量 =（ a,2c b）共线（）设等比数列 a n 中, a1cosA=1,a4=16,记 bn=log 2an.

32、log 2an+1,求 的前 n 项和 Sn【考点】 等比数列的性质；平面对量共线（平行）的坐标表示【分析】 （）依据向量平行得出 cosA（2c b）=acosB,然后依据两角和差的正弦公式和 A 为三角形内角这个条件得到 A（）由题意可得等比数列的公比 q,进而可得数列 a n 的通项公式；依据 bn=log 2an 可得数列 b n 的通项,裂项法求 的前 n 项和 Sn【解答】 解：（）向量 =（cosA,cosB）与向量 =（a,2c b）共线,cosA（ 2c b）=acosB,cosA（ 2sinC sinB ）=sinAcosB ,2cosAsinC=sin （ A+B）,2c

33、osAsinC=sinC,cosA=,A（0, ）,A=；（）a 1cosA=1,a 1=2,a 4=16,公比 q=2,a n=2 n,bn=log 2an.log 2an+1=n（n+1）,=,S n=1 + +=1 =19如图, ABC A1B1C1是地面边长为2,高为的正三棱柱,经过AB的截面与上底面相交于PQ,设C1P= C 1A1（0 1）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）证明： PQ A 1B1；（2）是否存在 ,使得平面CPQ截面 APQB？假如存在,求出的值；假如不存在,请说明理由【考点】

34、平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质【分析】 （1）由正三棱柱的性质可知,上下两个底面平行,由两个平面平行的性质定理可得 PQ AB,由此能证明 PQ A 1B1（2）假设存在这样的 满意题设,分别取 AB的中点 D,PQ的中点 E,连接 DE,由已知得 CED 为二面角 A PQ C的平面角,连接 C1E 并延长,交 A1B1于 F,如平面 CPQ截面 APQB,就 CE 2+DE 2=CD 2,由此能求出【解答】 （1）证明：由正三棱柱的性质可知,上下两个底面平行,且截面 APQB上底面 A1B1C1=PQ,截面 APQB下底面 ABC=AB,由两个平面平行的性质定理可得 PQ AB

35、,PQ A 1B1（2）解：假设存在这样的满意题设,分别取 AB的中点 D,PQ的中点 E,连接 DE,由（ 1）及正三棱柱的性质可知CPQ 为等腰三角形,APQB为等腰梯形,CEPQ,DEPQ,CED为二面角 A PQ C的平面角,连接 C1E 并延长,交 A1B1于 F,由（ 1）得, = = , EF=,在 Rt CC1E中,在 Rt DFE中, DE 2=,如平面 CPQ截面 APQB,就 CED=90 ,CE 2+DE 2=CD 2,将以上数据代入整理,O,半径为的圆是椭圆C的“ 准圆” 如椭圆C的一个得 32 3,解得20给定椭圆C： =1 （ ab0）,称圆心在原点焦点为,其短轴

36、上的一个端点到F 的距离为（）求椭圆C的方程和其“ 准圆” 方程（）点 P是椭圆 C的“ 准圆” 上的一个动点,过点 点,且 l 1,l 2 分别交其“ 准圆” 于点 M,NP作直线 l 1,l 2,使得 l 1,l 2 与椭圆 C都只有一个交当 P为“ 准圆” 与y 轴正半轴的交点时,求l 1,l 2的方程；求证： |MN| 为定值【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程y=kx+2 只有一个公共点,求得k从（II ）（ 1）由准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为P（0,2）,设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,与准圆方程联

37、立,由椭圆与而得 l 1,l 2方程（2）分两种情形当 l 1,l 2中有一条无斜率和当 l 1,l 2 都有斜率处理【解答】 解：（ I ）由于,所以 b=1 所以椭圆的方程为,名师归纳总结 准圆的方程为x2+y2=4P（0,2）,第 10 页,共 14 页（II ）（ 1）由于准圆x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为设过点 P（0,2）,且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2 ,所以,消去y,得到（ 1+3k2）x2+12kx+9=0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于椭圆与 y=kx+2 只有一个公共点,所以 =144k 2 4 9（

38、1+3k 2）=0,解得 k= 1所以 l 1,l 2方程为 y=x+2,y= x+2（2）当 l 1,l 2中有一条无斜率时,不妨设 l 1无斜率,由于 l 1与椭圆只有一个公共点,就其方程为或,当 l 1方程为时,此时 l 1 与准圆交于点,此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是 直线 l 1,l 2垂直；同理可证 l 1 方程为时,直线 l 1,l 2垂直y=1（或 y= 1）,即 l 2为 y=1（或 y= 1）,明显当 l 1,l 2都有斜率时,设点P（ x0,y0）,其中 x 0 2+y0 2=4,2 4.（1+3t2）3 （y0 tx 0）2设经过点 P（x 0,y 0）

39、与椭圆只有一个公共点的直线为y=t （x x0）+y0,就,消去 y 得到 x2+3（tx+ （y 0 tx 0）2 3=0,即（ 1+3t2）x2+6t （ y0 tx 0）x+3（y 0 tx 0）2 3=0, =6t （ y0 tx 0）3 =0,经过化简得到：（3 x0 2）t2+2x 0y 0t+1 y0 2=0,由于 x 0 2+y0 2=4,所以有（ 3 x 0 2）t2+2x 0y0t+ （x 0 2 3） =0,设 l 1,l 2的斜率分别为t 1, t 2,由于 l 1,l 2与椭圆都只有一个公共点,所以 t 1,t 2满意上述方程（3 x 0 2） t2+2x 0y 0t

40、+ （x02 3）=0,所以 t 1.t 2= 1,即 l 1, l 2 垂直综合知：由于 l 1,l 2经过点 P（x0,y0）,又分别交其准圆于点 M,N,且 l 1,l 2 垂直,所以线段 MN为准圆 x 2+y 2=4 的直径,所以 |MN|=4 21已知函数 f （ x）=alnx+x 2（a 为实常数）（1）当 a= 4 时,求函数 f （x）在 1 ,e 上的最大值及相应的 x 值；（2）当 x1 ,e 时,争论方程 f （x）=0 根的个数（3）如 a0,且对任意的 x1,x21 ,e ,都有,求实数 a 的取值范畴【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判定；不等式的证明【分析】 （1）把 a= 4 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的零点把给出的定义1 ,e 分 a0 时,求出段,判出在各段内的单调性,从而求出函数在1 ,e 上的最大值及相应的x 值；（2）把原函数f （x）=alnx+x2求导,分 a0 和 a0 争论打哦函数的