2022年高考圆锥曲线概念方法题型易误点及应试技巧总结圆锥曲线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第肯定义 中要 重视“ 括号” 内的限制条件：椭圆中 ,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此 常数 2a 肯定要大于 F 1F 2,当常数等于 F 1F 2 时,轨迹是线段 F 1 F 2,当常数小于 F 1F 2 时,无轨迹； 双曲线中 ,与两定点 F 1,F2的距离的差的肯定值等于常数2a,且此常数 2a 肯定要小于 | F1 F 2| ,定义中的“ 肯定值”与 2a |F 1F 2 | 不行忽视 ；如 2a|F 1F 2 | ,就轨迹

2、是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,如 2a |F 1 F 2 | ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；如（ 1） 已知定点 F 1 ,3 0 , F 2 ,3 0,在满意以下条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A PF 1 PF 2 4 BPF 1 PF 2 62 2C PF 1 PF 2 10 D PF 1 PF 2 12（ 答 ： C ）；（ 2 ） 方 程2 2 2 2 x 6 y x 6 y 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2）其次定义 中要 留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母 ” ,其商即是离心率 e ；圆

3、锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于 运用其次定义对它们进行相互转化； 如已知点2Q 2 2 , 0 及抛物线 y x上一动点 P（x,y）,就 y+|PQ|的最小值是 _（答： 2）42. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：名师归纳总结 其中（1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时x2y21（ab0）x ya bcos sin（参数方程,第 1 页,共 8 页a2b2为参数）,焦点在 y 轴上时221（ab0）；方程Ax2By2C 表示椭圆yxa2b2的充要条件是什么？ （ABC 0,且 A,B,

4、C 同号,A B）；如（1）已知方程3x2k2y2k1表示椭圆,就k 的取值范畴为_（答： 3,11,2）；（ 2） 如x,yR,且223x22y26,就xy的最大值是 _,x2y2的最小值是 _（答：5, 2 ）方程2 2 2 2（2）双曲线 ：焦点在 x 轴上：x2 y2 =1 ,焦点在 y 轴上：y2 x21（a 0, b 0）；a b a b2 2Ax By C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A,B 异号）；如（ 1）双曲线的离心率等于5 ,且与椭圆 2x22 y1 有公共焦点, 就该双曲线的方程_（答：94x2y21）；（2）设中心在坐标原点O,焦点F 、F 在坐标轴

5、上,离心率e2的双曲4线 C 过点P ,410 ,就 C 的方程为 _（答：x22 y6）（3）抛物线 ：开口向右时y22px p0,开口向左时y22px p0,开口向上时2 x2py p0,开口向下时x22py p0；3. 圆锥曲线焦点位置的判定（第一化成标准方程,然后再判定）：（ 1） 椭圆 ：由 x 2 , y 2 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；如 已知方程x212y21表示焦点在y 轴上的椭圆, 就 m 的取值范畴是 _（答：,1 ,13）mm2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）双曲线 ：由 x2 , y2 项系数的正负打算,焦

6、点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；名师归纳总结 特殊提示 ：（1）在求解椭圆、双曲线问题时,第一要判定焦点位置,焦点F 1 ,F 2 的位第 2 页,共 8 页置,是椭圆、双曲线的定位条件,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a b ,确定椭圆、双曲线的外形和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,第一要判定开口方向；（2）在椭圆中,a 最大,a2b22 c ,在双曲线中,c 最大,c2a22 b ；4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆 （以x22y2 1（a b 0）为例）：范畴：a x a , bb；对称性

7、：两条对称轴 x 0, y 0,一个对称中心（yb ；2 ac ,0焦点：两个焦点0,0 ）,四个顶点 a,0,0,b ,其中长轴长为2a ,短轴长为 2b ；准线： 两条准线xa2； c离心率：ec a,椭圆e0e1, e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁；如（ 1）如椭圆x2y2,就 m 的值是 _（答： 3 或25 ）；（2） 以椭圆上一点和椭 3101的离心率5m5圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,就椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双曲线 （以x2b y 22 1（a 0, b 0）为例）：范畴： x a 或 x；对称性：两条对称轴 x 0, y 0,一个对称中心（a

8、 yR ；a 2c ,0焦点：两个焦点0,0 ）,两个顶点 a,0,其中实轴长为2 a ,虚轴长为2b ,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线, 其方程可设为x2y2k k0；准线： 两条准线xa2； 离心率：cec,双曲线e1,等轴双曲线e2, e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；a两条渐近线：ybx；如（ 1）双曲线的渐近线方程是3 x2y0,就该双曲线的离心a率等于 _（答：13或13）；（ 2）双曲线ax2by21的离心率为5 ,就a b = 23（答： 4 或1 4）；（3）设双曲线x2y21（a0,b0）中,离心率e2 ,2,a2b2就两条渐近线夹角 的取值范畴是 _

9、（答： , 3 2）；（3）抛物线 （以y22px p0为例）：范畴：x0,yR ；焦点：一个焦点p,0,其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y0,没有对2称中心,只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线xp； 离心率：ec,抛物线2a1）；e1；如设a,0aR,就抛物线y4ax2的焦点坐标为 _（答：,016a5、点P x0,y 0和椭圆x2y21（ab0）的关系 ：（1）点P x 0,y0在椭圆外a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2 2 2x 0 y 0 x 0 y 02 2 1；（2）点 P x 0 , y 0

10、在椭圆上 2 21；（3）点 P x 0 , y 0 在椭圆内a b a b2 2x 02 y 02 1a b6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；如（1）如直线 y=kx+2 与双曲线 x 2-y 2=6 的右支有两个不同的交点,就 k

11、 的取值范畴是 _2 2（答： -15 ,-1 ）；（2）直线 ykx 1=0 与椭圆 x y1 恒有公共点,就 m 的取值3 5 m2 2范畴是 _（答： 1,5）（ 5,+）；（ 3）过双曲线 x y 1 的右焦点直线交双1 2曲线于 A、B 两点,如AB 4,就这样的直线有 _条（答： 3）；（2）相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；（3）相离：0 直线与椭圆相离；0 直线与双曲线相离；0 直线与抛物线相离；特殊提示 ：（1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只

12、有一个交点；假如直线2 2x y与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （2）过双曲线 2 21 外一a b点 P x 0 , y 0 的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与名师归纳总结 双曲线一支相切的两条切线,共四条；P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与第 3 页,共 8 页另一渐近线平行的直线,一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和

13、抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；如（ 1）过点2 ,4作直线与抛物线y 28x只有一个公共点,这样的直线有_（答： 2）；（2）过点0,2与双曲线2 xy21有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为_（答：9164,4 5）；（3）过双曲线2 xy21的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,如332AB4,就满意条件的直线l 有 _条（答： 3）；（4）对于抛物线C：y24x,我们称满意y024x0的点Mx0y 0在抛物线的内部,如点Mx 0y0在抛物线的内部,就直线l ：y 0y2 xx 0与抛物线 C 的位置关系是 _（答：相离）；（5）过抛物线2 y4x

14、的焦点 F 作始终线交抛物线于P、Q 两点,如线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,就11_pq2（答： 1）；（ 6）设双曲线 x16右支和右准线分别于 P , Q , Ry21的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、9PFR 和QFR 的大小关系为_ 填大于、小,就于或等于 （答：等于）；（7） 求椭圆7x24y228上的点到直线3 x2y160的最短距- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离（答：8 13）；（ 8）直线 y ax 1 与双曲线 3 x 2y 213值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上？当 a 为何值时,以

15、（答： 3, 3； a 1）；1 交于 A 、 B 两点；当 a 为何AB 为直径的圆过坐标原点？7、焦半径 （圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的运算方法 ：利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离；2 2如（ 1）已知椭圆 x y 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,就点 P 到右准线的距离为25 16_（答：35）；（2）已知抛物线方程为 y 2 8 x,如抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,3就它到抛物线的焦点的距离等于 _；（3）如该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,就点 M的坐标为 _（

16、答： 7,2, 到右焦点距离的两倍,就点 点 A 、B 到焦点的距离和是2 24 ）；（4）点 P 在椭圆 x y 1 上,它到左焦点的距离是它25 9P 的横坐标为 _（答：25）；（5）抛物线 y 2 2 x 上的两125,就线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _（答： 2）；（6） 椭名师归纳总结 圆x2y21内有一点P ,11,F 为右焦点,在椭圆上有一点M ,使MP2MF之值第 4 页,共 8 页43最小,就点M 的坐标为 _（答：236,1）；8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解；设椭圆或双曲线上的一点P x 0

17、,y0到两焦点F 1,F 的距离分别为r r ,焦点F PF 的面积为 S ,就在椭圆x2y21中, 2arccos 2 br 1 r 21,a2b2且当r 1|r 即 P 为短轴端点时,最大为m axarccosb2a2c2；Sb2tan2c y0|,当|y0b 即 P 为短轴端点时,Smax的最大值为x2y2bc；对于双曲线1的焦点三角形a2b2有：arccos12 b2；S1r1r2sinb2cot2；如（ 1）短轴长为5 ,离心r 1r 22率 e 2 的椭圆的两焦点为 F 、F ,过 F 作直线交椭圆于32 2 2_（答： 6）；（2）设 P 是等轴双曲线 x y a aA、B 两点

18、,就ABF 的周长为0 右支上一点, F1、F2是左右焦点,如PF 2F 1F 20,|PF1|=6,就该双曲线的方程为（答：x2y24）；（3）椭圆x2y21的焦点为F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 PF1 0 时,点 P 的94横坐标的取值范畴是（答：3 5 3 5 , 5 5）；（4）双曲线的虚轴长为4,离心率 e6 ,2F1、F2 是它的左右焦点, 如过 F1 的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且 AB 是AF2与BF 2等差中项,就AB _（答： 8 2 ）；（5） 已知双曲线的离心率为2,F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且F1PF260,SPF 1F 2

19、123求该双曲线的标准方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2（答：x y1）；4 129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就AMF BMF；（3）设 AB为焦点弦, A、B在准线上的射影分别为 A1 ,B1 ,如 P 为 A1 B1 的中点,就 PAPB；（4）如 AO的延长线交准线于 C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C点,就 A,O,C三点共线；名师归纳总结 10、弦长公式 ：如直线 ykxb 与圆

20、锥曲线相交于两点A 、B,且x x 分别为 A 、B第 5 页,共 8 页的横坐标,就AB 1k2x 1x 2,如y 1,y 分别为A 、 B 的纵坐标,就AB 11y 1y2,如弦 AB 所在直线方程设为xkyb ,就AB1k2y 1y 2；特k2别地,焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；如（ 1） 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （x 1,y1）,B（x2,y2）两点,如x1+x 2=6,那么 |AB|等于 _（答： 8）；（ 2）过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB

21、|=10 ,O 为坐标原点,就ABC重心的横坐标为_（答： 3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法”求解；在椭圆x2y21中,以P x 0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=b2x 0；在双曲线22a2y0ab2 xy21中 , 以P x 0,y0为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率k=b2x0； 在 抛 物 线a22a2y0by22px p0中,以P x0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=p；如（ 1） 假如椭圆y 0x2y21弦被点A （ 4, 2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：369x2y80）；（2）已知直线 y= x+1 与椭

22、圆x2y21 ab0相交于 A 、B 两点,a2b2且线段 AB 的中点在直线L：x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为_（答：2 2）；（3）试确定 m 的取值范畴, 使得椭圆x2y21上有不同的两点关于直线y4xm对称（答：432 13,2 13）；1313特殊提示 ：由于0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0！12你明白以下结论吗？（1）双曲线x2y21的渐近线方程为x2y20；a2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）以ybx为渐近线（即与双曲线x2y21共渐近线）的双曲线方程为aa2

23、b2a x22b y2 2 为参数, 0）；如与双曲线 x9 216 y 21 有共同的渐近线, 且过点 2,3 3 2 2的双曲线方程为 _（答：4 x y1）9 42 2（3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ny 1；22b（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相a2应准线的距离）为 b,抛物线的通径为 2p ,焦准距为 p ；c（5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；2（6）如抛物线 y 2 px p 0 的焦点弦为 AB,A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,就2p 2 | AB | x 1 x 2 p

24、； x x 2 , y y 2 p4（7）如 OA、OB是过抛物线 y 22 px p 0 顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线 AB恒经过定点 2 p ,013动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（2）求轨迹方程的常用方法：名师归纳总结 直接法：直接利用条件建立,x y之间的关系F x y0；如已知动点P到定点 F1,0第 6 页,共 8 页和直线x3的距离之和等于4,求 P的轨迹方程（答：y212x43x4或y24 0x3）；待定系数法： 已知所求曲线的类型, 求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB 过 x 轴正半

25、轴上一点M（m,0）m0,端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m,以 x 轴为对称轴,过A 、O、 B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答：y22x ）；定义法： 先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如1 由动点 P 向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=60 0,就动点 P 的轨迹方程为（答：x2y24）；（ 2）点 M与点 F4,0的距离比它到直线l：x50 的距离小于1,就点 M的轨迹方程是 _ （答：y216x ）；3一动圆与两圆M：x2y21和 N：x2y28x120都外切,就动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代

26、入转移法：动点P x y 依靠于另一动点Q x 0,y0的变化而变化,并且Q x0,y 0又在某已知曲线上,就可先用,x y 的代数式表示x 0,y ,再将x0,y 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如动点 P是抛物线y2x21上任一点,定点为A0,1 , 点 M分 PA 所成的比为 2,就 M的轨迹方程为 _（答：y 6 x 2 1）；3参数法：当动点 P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；如（ 1）AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作MNAB,垂足为 N,在 OM

27、上取点 P ,使 |OP| |MN|,求点 P 的轨迹；（答：x2y2a y ）；（2）如点P x 1y 1在圆x2y21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上运动,就点Qx 1y 1,x 1y 1的轨迹方程是 _（答：y22x1|x|1）； （3）过抛2物线x24y的焦点 F作直线 l 交抛物线于 A、B两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _2（答：x 2 y 2）；留意 ：假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量的几何形式进行“ 摘帽子或脱靴子” 转化,仍是挑选向量的代数形式进行“ 摘帽子或脱靴2 2子” 转化； 如

28、已知椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点分a b别是 F1（ c,0）、F2（c,0）,Q 是椭圆外的动点, 满意 | F 1 Q | 2 a .点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满意PT TF 2 |,0 TF 2 | 0 .（ 1 ） 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明| F 1 P | a cx；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点aT 的轨迹 C 上,是否存在点 M ,使 F1MF2的面积 S= b 2 . 如存在,求 F1MF2的正切值；如2 2不存在, 请说明理由 . （答：（1）略；（2）x 2y 2a

29、；（3）当 2 b a 时不存在； 当 b ac c时存在,此时F1MF 2 2）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上 特殊点 对轨迹的“ 完备性与纯粹性” 的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于 “ 平面几何性质” 数形结合 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 、“ 方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “ 分类争论思想” 化整为零分化处理、“ 求值构造等式、求变量范畴构造不等关系” 等等 . 假如在一条直线上 显现“ 三个或三个以上的点” ,那么 可挑选应用“ 斜率或向量” 为桥梁 转化 . 14、解析几何与向量综合时可能显

30、现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 u ,1 k 或 u m , n；（2）给出 OA OB 与 AB 相交 ,等于已知 OA OB 过 AB 的中点 ; （3）给出 PM PN 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点 ; （4）给出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线 ; （5） 给出以下情形之一： AB / AC；存在实数 , 使 AB AC；如存在实数, , 且 1, 使 OC OA OB , 等于已知 A , B , C 三点共线 . OA OB（6）给出 OP,等于已知 P 是 AB 的定比分点,为定比,即 AP PB1（ 7 ）给 出 MA

31、MB 0 , 等 于 已 知 MA MB , 即 AMB是 直 角 , 给 出MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是钝角 , 给出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是锐角 , （8）给出 MA MB MP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线 / MA MB（9）在平行四边形 ABCD 中,给出 AB AD AB AD 0,等于已知 ABCD 是菱形 ; 名师归纳总结 （10） 在平行四边形ABCD 中,给出 |ABAD| |ABAD|,等于已知ABCD 是第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 矩形 ; 2 2 2（11

32、）在 ABC 中,给出 OA OB OC,等于已知 O 是 ABC 的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 ABC中,给出 OA OB OC 0,等于已知 O 是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在 ABC 中,给出 OA OB OB OC OC OA,等于已知 O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（ 14） 在 ABC 中,给出 OP OA AB AC R 等于已知 AP 通过| AB | | AC |ABC 的内心；名师归纳总结 （15）在ABC 中,给出aOAbOBcOC,0等于已知 O是ABC的内心（三第 8 页,共 8 页角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；线;（16） 在ABC 中,给出AD1ABAC ,等于已知 AD 是ABC 中 BC 边的中2- - - - - - -