2022年高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题：解圆锥曲线问题常用方法一【学习要点 】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法1椭圆有两种定义；第肯定义中,r1+r 2=2a；其次定义中,r1=ed1 r2=ed2；2双曲线有两种定义；第肯定义中,r 1 r 2 2 a,当 r 1r2 时,留意 r2 的最小值为 c-a：其次定义中,r1=ed1,r 2=ed2,特别应留意其次定义的应用,经常将 半径与“ 点到准线距离” 相互转化；3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,许多抛物线问题用定义解决更直接简明；2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线

2、与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,特别是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应留意不要无视判别式的作用；3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“ 设而不求法”；设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“ 点差法”,即设弦的两个端点 Ax 1,y1,Bx 2,y2,弦 AB 中点为 Mx 0,y0,将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“ 设而不求” 法,详细有：就有1x2ky21

3、 abb0与直线相交于A 、B,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,a2b2x0y0；0a2b2就有2x2ky21a0 ,0 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0a2b2x0y00a2b21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3y2=2pxp0与直线 l 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,就有 2y0k=2p,即 y 0k=p. 【典型例题 】例 1、1抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小,就点 P的坐标为 _ 2抛物线 C: y2

4、=4x 上一点 Q 到点 B4,1 与到焦点 F 的距离和最小,就点 Q 的坐PA QB标为；分析：1A 在抛物线外,如图,连PF,就PHPF,因而易发现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小；H2B 在抛物线内,如图,作QRl 交于 R,就当 B、Q、R 三点共F线时,距离和最小；解：12,2 连 PF,当 A 、P、F 三点共线时,AP PH AP PF 最小,此时 AF 的方程为 y 4 2 0 x 1 即 y=2 2 x-1, 代入 y2=4x 得 P2,2 2 ,注：另一交点3 1为 1 , 2 ,它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去221 1,4过 Q 作 QRl 交于 R,

5、当 B、Q、R 三点共线时,BQ QF BQ QR 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x= 1 , Q 1 1, 4 4点评：这是利用定义将“ 点点距离” 与“ 点线距离” 相互转化的一个典型例题,请认真体会；名师归纳总结 点；例 2、F 是椭圆x2y21的右焦点, A1,1 为椭圆内肯定点,P 为椭圆上一动yx432 F0APHF第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1PAPF的最小值为2PA 2 PF 的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F 或准线作出来考虑问题；解：1 4-5

6、设另一焦点为 F ,就 F -1,0连 A F ,P FPA PF PA 2 a P F 2 a P F PA 2 a A F 4 5当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA PF 取得最小值为 4-5 ；23 作出右准线 l,作 PH l 交于 H,因 a2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e= 1 ,2PF 1 PH , 即 2 PF PH2PA 2 PF PA PH2当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为 ax A 4 1 3c例 3、动圆 M 与圆 C1:x+1 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:x-1 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方

7、程；分析： 作图时,要留意相切时的“ 图形特点”：两个圆心与切点y2AyBM DCx这三点共线如图中的A、M 、C 共线, B、D、M 共线；列式的主要途径是动圆的“ 半径等于半径”如图中的MCMD；解：如图,MCMD,05ACMAMBDB即 6MAMB21MAMB8*点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为x216153 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：得到方程* 后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出x1 2y2x12y24,再移项,平方, 相

8、当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐！例 4、 ABC 中, B-5,0,C5,0, 且 sinC-sinB= 3 sinA,求点 A 的轨迹方程；5分析： 由于 sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2RR 为外接圆半径,可转化为边长的关系；解： sinC-sinB=3 5sinA 2RsinC-2RsinB=3 52RsinA ABAC3 5BC *即ABAC6点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点2a=6,2c=10 a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为x2y21x3916点评： 要留意利用定义直接解题,这里由线右支例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端

9、点在 x 轴的最短距离；分析：1可直接利用抛物线设点,如设*式直接用定义说明白轨迹双曲y=x2上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到Ax 1,x12,Bx 2,X 22,又设 AB 中点为 Mx 0y0用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式, 再用函数思想求出最短距离；2M 到 x 轴的距离是一种“ 点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法；解法一： 设 Ax 1,x 12,Bx 2,x 22,AB 中点 Mx 0,y 0 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就x 1x222 x

10、1x2292x 1x22x02 x 1x2 22y0由得 x1-x 2 21+x 1+x 22=9 M2,5Ay MBx即x 1+x 22-4x 1x 21+x 1+x22=9 由、得2x1x2=2x 02-2y0=4x 02-2y 0代入得2x 02-8x 0 2-4y01+2x 02=9 4y04x219x2,0404y04x2494x21 4x91102 x 0020291,5y054当 4x 02+1=3 即x02时,y0min5此时2424AB3法二： 如图,2MM2AA 2BB2AFBFMM23, 即MM113,242MM15, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值；0M1B1A1

11、4A2M2B2M 到 x 轴的最短距离为5 45 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评： 解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0 关于 x0的函数,这是一种“ 设而不求” 的方法；而解法二充分利用了抛物线的定义,奇妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A 、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“ 压扁” 时,两边之和等于第三边的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点F,而且点 M 的

12、坐标也不能直接得出；例 6、已知椭圆x2y2112m5过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆mm及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设 fm=ABCD,1求 fm, 2求fm 的最值；分析： 此题初看很复杂,对fm 的结构不知如何运算,因A 、B 来源于“ 不同系统” ,A 在准线上, B 在椭圆上,同样C 在椭圆上, D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“ 投影” 到x 轴上,立刻可得防F1yCDxfm xBx A2xDx C22xBxAx DXC2xBx CxAxD2xBXC0F2此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可；AB解：1椭圆x2y211中, a2=m,b2=m-1 ,c2=1,

13、左焦点 F1-1,0 mm就 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即得m-1x2+mx+12-m2+m=0 2m-1x2+2mx+2m-m 2=0 m-1x2+my2-mm-1=0 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Bx 1,y1,Cx 2,y2,就 x1+x2=-2m12m5 2 mf m AB CD 2 x B x A x D x C 2 x 1 x 2 x A x C 2 x 1 x 2 2 2 m2 m 12f m 2 2 m 1 12 1 1 2 m 1 2 m 1当 m=5 时,f m min 10

14、 294 2当 m=2 时,f m max3点评： 此题因最终需求 x B x C,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“ 点差法” 设x 0 y 0BC 中点为 Mx 0,y0,通过将 B、C 坐标代入作差,得 k 0,将 y0=x0+1,m m 1k=1 代入得 x 0 x 0 10,x 0 m,可见 x B x C 2 mm m 1 2 m 1 2 m 1当然, 解此题的关键在于对 f m AB CD 的熟悉, 通过线段在 x 轴的“ 投影” 发觉 f m x B x C 是解此题的要点；【同步练习 】1、已知： F1,F2 是双曲线x2y21的左、右焦点,过F1 作直线交双曲线左a2b2

15、支于点 A、B,假设ABm, ABF 2 的周长为7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 、4a B、 4a+m C、4a+2m D、4a-m 是2、假设点 P 到点 F4,0的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,就 P 点的轨迹方程A 、y 2=-16x B、y 2=-32x C、 y 2=16x D、y 2=32x 3、已知ABC 的三边 AB 、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB AC,点B、 C 的坐标分别为 -1,0,1,0,就顶点 A 的轨迹方程是2 2 2 2x y x yA 、1 B、

16、1 x 0 4 3 4 32 2 2 2C、x y 1 x 0 D、x y 1 x 0 且 y 0 4 3 4 34、过原点的椭圆的一个焦点为 F1,0,其长轴长为 4,就椭圆中心的轨迹方程是A 、x12y29x1B、x12y29x1 2424C、x2y129x1 D、x2y129x1 24245、已知双曲线x2y21上一点 M 的横坐标为4,就点 M 到左焦点的距离是9166、抛物线 y=2x2 截一组斜率为2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点p-2,0,就弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x 2-y 2=4 的焦点且平行于虚轴的弦

17、长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x 2-y 2=1 的交点个数只有一个,就 k= 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、设点 P 是椭圆x2y21上的动点, F1,F2 是椭圆的两个焦点,求sin259F1PF2 的最大值；11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,假设直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点,且 AB 中点 M 为-2,1,AB43,求直线 l 的方程和椭圆方程；0 及其渐近线的交点从左到右12、已知直线l 和双曲线x2y21 a0

18、,ba2b2依次为 A、B、C、D；求证：ABCD；【参考答案 】1、C AF 2AF 122 a,BF 2BF 12 a,AB4 a2 m ,选 C AF 2BFAB4 a,AF 2BF22、C 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 选 C 3、D ABAC22,且ABACp=8 开口向右,就方程为 y2=16x,点 A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A、B、C 三点不共线,即y 0,故选 D；4、A 1为设中心为 x, y,就另一焦点为2x-1

19、,2y,就原点到两焦点距离和为4 得2x122y 24,x12y2924又 ca,x12y22x-12+y21 x 1x22将x1 2代入 y=2x2 得y1 2,轨迹方程是x227、y2=x+2x2 设 Ax 1,y1,Bx 2,y 2,AB 中点 Mx ,y,就y2 12x 1,y2 22x2,2 y 1y2 22x1x2,y 1y2y 1y22x 1x210 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - kABkMPy0,xy22y2,即 y2=x+2 x2又弦中点在已知抛物线内 8、4 P,即 y22x ,即 x+2

20、2 a2b2,4c28 ,c22,令x22代入方程得8-y2=4 y2=4,y= 2,弦长为 4 9、2或12=1 得 x2-kx+12-1=0 y=kx+1 代入 x2-y1-k2x2-2kx-2=0 1k20得 4k2+81-k2=0,k=201-k2=0 得 k= 1 10、解： a 2=25,b2=9,c2=16 F1yPx设 F1、 F2 为左、右焦点,就F1-4,0F24,0 设PF 1r 1,PF 2r2,F 1PF 2F2就r 1r22r1 r2cos2 c22 r 1r2 222-得 2r1r21+cos =4b21+cos =4 b22 b2 r1+r22r 1r2,r1r

21、2 的最大值为a 21,2r 1r2r 1r 21+cos 的最小值为2b2,即 1+cos182时, sin 取值得最大值a225cos7,0arccos7 25就当25即 sinF1PF2 的最大值为1；2011、设椭圆方程为x a2y21 ab2b11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意： C、2C、a2c成等差数列,c4cca2c 即a22c2,ca2=2a2-b2, a2=2b22 2椭圆方程为 x2 y2 1,设 Ax 1,y1,Bx 2, y2 2 b b2 2 2 2就 x 12 y 12

22、1 x 22 y 22 1 2 b b 2 b b2 2 2 2-得 x 12 x 2 y 12 y 2 02 b bx m2 y m2 k 02 b b即 2 k 0k=1 2直 线 AB 方 程 为 y-1=x+2 即 y=x+3 ,代 入 椭 圆 方 程 即 x2+2y2-2b2=0 得x 2+2x+3 2-2b 2=0 3x2+12x+18-2b2=0,1 2 2AB x 1 x 2 1 1 12 12 18 2 b 2 4 332 2解得 b2=12,椭圆方程为 x y1,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 1212、证明：设 Ax 1,y 1,Dx 2,y2,AD 中点为 Mx

23、 0,y0直线 l 的斜率为 k,就2 x 1y2 11x2,y -得2x02y0k00a2b21a2b22 x 2y2 2a2b2设Bx 1,y 1,C2,BC中点为Mx 0,y,12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就1 x 12y1201a2b21 x 22y1202a2b2-得2x 12y1k00上,而 M 、 M又在直线 l 上 ,0a2b2由、 知 M 、M均在直线l:2x2yka2b2假设 l 过原点,就B、C 重合于原点,命题成立假设 l 与 x 轴垂直,就由对称性知命题成立假设 l 不过原点且与x 轴不垂直,就M 与 M重合ABCD13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页