2022年高三上学期期末数学试题分类汇编数列含答案.docx

《2022年高三上学期期末数学试题分类汇编数列含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三上学期期末数学试题分类汇编数列含答案.docx（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省 13 大市 2022 届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2022 届高三期末） 已知数列a n满意a 14,2an1a126nN*2,就in1= . 1ia3nn 答案 ：2 34n2an 中,a a 11=16,就log2a2loga 12= 2、（连云港市2022 届高三期末）正项等比数列答案 ：4 3、（南京市、盐城市2022 届高三期末）在等差数列a n中, 如a 3a 5a 79, 就其前 9 项和S 的值为答案 ：27 4、（南通市2022 届高三期末）如Sn为等差数列 an 的前 n 项和, S9

2、=36,S13=104,3a6,S562,就 a5 与 a7 的等比中项为答案 ：4 2 5、（徐州、 淮安、宿迁市 2022 届高三期末） 已知等比数列an的前项和为S ,如a2a82 a就a 的值是 1. 答案 ： 2 6、（ 扬州市 2022 届高三期末） 数列a n满意a 11,a n11an an1,nN,且11a 61=2,a 1a 2a 2022就a 20224 a 的最小值为 a n中,S 为其前项和,已知a 52 S 43,2S 53,答案 ：7 27、（镇江市2022 届高三期末）在等比数列就此数列的公比q为答案 ：3; 名师归纳总结 8、（镇江市2022 届高三期末）观看

3、以下等式：1 2 31 21 1 2,1 2 31 22 3 412 211 2,3 231 21 241 2 251 2 311 3, ,由以上等式估计到一个一般的结论：对于 4 2nN*,2 33 4第 1 页,共 12 页1 2 1 22 3 1 2 n n1 1 n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 ：1n12n1二、解答题1、（常州市 2022 届高三期末）已知数列 a n 是等差数列,a 1 a 2 a 3 15,数列 b n 是等比数列,bb b 1 2 3 27（1）如 a 1 b a 4 b 求数列 a n 和 b n 的通项公式

4、；（2）如 a 1 b a 2 b a 3 b 是正整数且成等比数列,求 a 的最大值答案 ：解：（ 1）由题得 a 2 5, b 2 3,所以 a 1 b 2 3,从而等差数列 a n 的公差 d 2,所以a n 2 n 1,从而 b 3 a 4 9,所以 b n 3 n 1 3 分（2）设等差数列 a n 的公差为 d ,等比数列 b n 的公比为 q ,就 a 1 5 d ,b 1 3,a 3 5 d ,qb 3 3 q . 由于 a 1 b a 2 b a 3 b 成等比数列,所以 a 1 b 1 a 3 b 3 a 2 b 2 264设 a 1 b 1 m,m n N ,*mn 64

5、,a 3 b 3 n35 d m 2就 q,整理得,d m n d 5 m n 80 0 . 5 d 3 q n2解得 d n m m n 10 36（舍去负根） . 22 *a 3 5 d ,要使得 a 最大,即需要 d 最大,即 n m 及 m n 10 取最大值 . m n N ,mn 64,当且仅当 n 64 且 m 1 时, n m及 m n 10 2取最大值 . 从而最大的 d 63 7 61,2所以,最大的 a 3 73 7 61 16 分22、（连云港市 2022 届高三期末） 已知数列 an 中,a2aa 为非零常数 ,其前 n 项和 Sn满意：Snnana1 2n N*.

6、1求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 2如 a2,且1a2 mS n11,求 m、 n 的值；第 2 页,共 12 页4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3是否存在实数a、b,使得对任意正整数p,数列 an 中满意anbp 的最大项恰为第3p2 项 .如存在,分别求出 a 与 b 的取值范畴；如不存在,请说明理由1证明 :由已知,得 a1=S1= 1 a1a12 =0,Sn= nan2, 2 分就有 Sn+1= n+1an+12,2Sn+1Sn=n+1an+1nan,即 n1an+1=nan n N* ,nan+2=n+1an+1,两式相减得, 2

7、an+1=an+2+ann N* , 4 分即 an+1an+1=an+1ann N* ,故数列 an 是等差数列 . 又 a1=0,a2=a,an=n1a. 6 分10 分2如 a=2,就 an=2n1,Sn=nn 1. 由12 a mS n11,得 n2 n+11= m 12,即 4m 122n 12=43,42m+2n 32m 2n 1=43. 8 分43 是质数,2m+2n 32m2n 1, 2m+2n 30,2m2n1=1 2m+2n3=43,解得 m=12,n=11. III 由 an+b p,得 an1+b p. 名师归纳总结 - - - - - - -如 a0,就 n pb a

8、+1. 不等式 an+b p 成立的最大正整数解为3p2,3p2pb a +13 p1, 13 分即 2ab3a1p 3ab,对任意正整数p 都成立 . 3a1=0,解得 a=1 3, 15 分此时,2 3b0 1b,解得 2 3b 1. 故存在实数a、b 满意条件,a 与 b 的取值范畴是a=1 3, 2 3b 1. 16 分3、（南京市、 盐城市 2022 届高三期末） 如数列a n是首项为 612t , 公差为 6 的等差数列； 数列nb的前项和为S n3 nt . 1求数列a n和nb的通项公式；2如数列nb是等比数列 , 试证明 : 对于任意的n nN n1, 均存在正整数nc ,

9、使得b n1a cn, 并求数列nc的前项和T ；3设数列dn满意d na nb , 且dn中不存在这样的项d , 使得 “dkdk1与dkdk1” 同时成立 （其第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中k2, kN）, 试求实数的取值范畴答案 ：解 : 1由于an是等差数列 ,所以a n612 6n16n12 t 2 分5 分而数列nb的前项和为S nn 3t ,所以当n2时, b n3n13n1123n1, 又b 1S 13t ,所以b n23t,n1 4 分n 31 ,n22证明 :由于nb是等比数列 ,所以3t21 1 32,即t1,所以an6n12

10、 对任意的n nN n1 ,由于nb12n 36 3n163n1212, 令ncn 312* N ,就a c n62n 3112b n1,所以命题成立 7 分数列nc的前项和T n2n1n 313n2 n1 9 分13223易得dn63nt12 ,n1, 4n 2 3 ,n2由于当n2时, dn1dn4n1n 2 314nn 2 38 n2 t3n 3,所以2如2 t32,即t7,就dn1d ,所以当n2时,dn是递增数列 ,故由题意得24d 1d ,即 63t12 3622 t ,解得5497t54977, 13 分4如22 t33 ,即74t9,就当n3时,dn是递增数列 , 24故由题意

11、得d 23d ,即42 t2 2342 t3 33,解得tm7 14 分4如m2 tm1 mN m3,即m3t5 4mN m3, 2242就当 2nm时,dn是递减数列 , 当nm1时,dn是递增数列 , 就由题意 ,得dmdm1,即42 tm m 342 tmm 131,解得t2m3 15 分4综上所述 ,的取值范畴是5497t5497或t2m3mN m2 16 分44、（南通市2022 届高三期末）已知数列an 中, a2=1,前 n 项和为 Sn,且S nn ana 12（ 1）求 a1；（ 2）证明数列 an 为等差数列,并写出其通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 4

12、 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）设lgb na nn1,试问是否存在正整数p, q其中 1pq,使 b1,bp,bq成等比数列？如存在,求3出全部满意条件的数组p,q；如不存在,说明理由7 分解：1令 n=1,就 a1=S1=1 a 12a 1=0 3 分2由S nn ana 1,即S nna n,22得S n1n1 a n12,得n1 n1na 于是,na n2n1 a n1+,得na n2na n2 na n1,即a n2an2a n1 又 a1=0,a2=1,a2a1=1,所以,数列 an 是以 0 为首项, 1 为公差的等差数列所以, an=

13、n1 9 分3假设存在正整数数组 p,q,使 b1,bp,bq成等比数列,就 lg b1,lgbp,lgbq 成等差数列,于是,23 pp 13 3 q q 11 分所以,q 3 q 2 pp 1 3 3易知 p,q=2 ,3为方程 的一组解 13 分当 p3,且 pN*时,2 pp 1 1 2 pp 2p 41 p 0,故数列 2 p p 3为递减数列,3 3 3 3于是23 p p 1323 3 3 13 0,所以此时方程 无正整数解综上,存在唯独正整数数对 p,q=2, 3,使 b1,bp,bq 成等比数列 16 分注 在得到 式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列

14、的,亦相应评分 但在做除法过程中未对 n2 的情形予以说明的,扣 1 分5、（徐州、淮安、宿迁市 2022 届高三期末）已知 a 0 b 0 , 且 a b 0 , 令 a 1 a , b 1 b , 且对任意正整数k,当 a k b k 0 时,a k 1 1a k 1b k , b k 1 3b k ; 当 a k b k 0 时,2 4 41 1 3b k 1 a k b k , a k 1 a k .4 2 4（1）求数列 a n b n 的通项公式；（2）如对任意的正整数,a n b n 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 b n 为等比数列？如存在,求出 a, b满意的条件；如

15、不存在,说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如对任意的正整数n,anb n0 ,且b 2n3b 2n1,求数列b n的通项公式 . 4名师归纳总结 当anb 0时,an11an1b n且b n13b ,第 6 页,共 12 页244所以an1b n11a n1b n3b n1 2anb n, 2 分244又当anb n0时,b n11an1b 且 na n13a ,n424an1b n13an1a n1b n1 2anb n, 4 分442因此,数列anbn是以ab为首项,1 2为公比的等比数列,所以

16、,anb nab 1n1 5 分2由于anb n0,所以an13an,所以a na3n1,44b nab1n1anab1n1a3n1, 8 分224假设存在, b ,使得bn能构成等比数列,就1bb,b 22ba,b 34 b5a,416故2b4a24b5a b ,化简得ab0,与题中ab0冲突,16故不存在, b 使得b n为等比数列 10 分由于an+b n0且b 2n3b 2n1,所以b 2n1a2n11b 2n1442所以3b2n11a2 n11b 2n11a2n13b 2n11b 2n1424444所以3b 2n1b 2n11a2 n1b 2n1, 12 分44由知,a2 n1b 2

17、n1ab12n2,所以b 2n1b 2n1a3b12 n222b 2n1b 1b3b 1b2n1b 2n3ba3b112141612 n42222ba3b111n1b4ab11n1, 13 分41944- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b 2n3b2 n13ba3b11n, 14 分444n1A0）b4ab 112,n 为奇数时 ,94所以,bnn 16 分3b-a3b112,n 为偶数时446、（苏州市 2022 届高三期末）设数列a n的前项和为S ,满意anS nAn2Bn1（1）如a 13,a29,求证数列a nn 是等比数列,并求数列a n的

18、通项公式；24（2）已知数列a n是等差数列,求BA1的值7、（泰州市2022 届高三期末） 已知数列a nn16,b nn 1n15,其中nN*名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求满意a n1=nb 的全部正整数n 的集合（2） n16,求数列b n的最大值和最小值S 2mS 2n（mn）的有序整数对m,nan（3）记数列a b n的前 n 项和为S ,求全部满意1 an+1=bn, n15=n15,当 n15时,an+1=bn恒成立,当 n16 时, n 取偶数b n=n15=1+n1ann1616当 n=1

19、8 时（b n） max=3 无最小值 2ann 取奇数时b n=-1-n1an16n=17 时（bn） min=-2 无最大值 8 分anii 当 n15 时, bn=-1nn-15 , a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 2k-16 0 ,其中 a15b15+a16b16=0 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、（无锡市S16=S14m=7, n=8 分 .162022 届高三期末）已知数列a n 中, a1=2,nN+,an0,数列 a n 的前 n 项和 Sn,且满意an1S n22；1 S n（）求

20、 S n 的通项公式；（）设 b k 是S n）中的按从小到大次序组成的整数数列；（1）求 b3；（2）存在 N（NN +）,当 nN时,使得在 S n中,数列 b k 有且只有 20 项,求 N 的范畴9、（扬州市 2022 届高三期末）已知数列 a n 的前项和为 S （）如数列 a n是等比数列,满意2a 1a33 a 2,3a2是a ,a 的等差中项,求数列an的通项公式；（）是否存在等差数列a n,使对任意n* N 都有anS n22 nn1？如存在,恳求出全部满意条件的等差数列；如不存在,请说明理由名师归纳总结 解：（）设等比数列a n的首项为1a ,公比为 q ,第 9 页,共

21、12 页依题意,有a 22 a 14a 33 a 2,即a 1a 123q23 a 1q , 12 3 分a2 a32 .qq2 a 1 q24 .由1 得q23 q20,解得q1或q2. 当q1时,不合题意舍；当q2时,代入 2得a 12,所以,na22 n12n. 7 分（）假设存在满意条件的数列a n,设此数列的公差为d ,就方法 1：a 1n1 a n 1n n1d22 nn1,得2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d2n23a dd2n2 a 13a d1d22 2 n2 n 对n* N 恒成立,2222d22,1；2就3a dd22, 10

22、 分22 a 13a d1d20,22解得d2,或d2,此时na2n,或a n2 n a 12,a 12.故存在等差数列 a n,使对任意n* N 都有a nS n2n2n1其中a n2 n,或a n2 n 15 分方法 2：令n1,2 a 14,得a 12,令n2,得2 a 2a 1a2240, 9 分当a 12时,得a 24或a 26,如a 24,就d2,a n2 n ,S nn n1,对任意n* N 都有anS n2n2n1；如a 26,就d8,a 314,S 318,不满意a 3S 323231 12 分当a 12时,得a 24或a 26,如a 24,就d2,a n2 n ,S nn

23、n1,对任意n* N 都有a nS n2n2n如a 26,就d8,a 314,S 318,不满意a 3S 322 3312 n ,或综上所述,存在等差数列a n,使对任意nN*都有a nS n2n2n1其中a na n2 n 15 分a 11,10、（镇江市2022 届高三期末） 已知函数f x x2x21,对一切正整数, 数列 a n定义如下：x2名师归纳总结 且a n1f a n,前项和为S . nx ；第 10 页,共 12 页（1）求函数f x 的单调区间,并求值域；（2）证明x f x xx ff - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）对一

24、切正整数,证明：1a n1a ；2S n1. 19.解：（ 1）定义域 xR, 3 分34, 且fx2xx2x1x22x1x2x2x2x2, 1 分x2x121fx00x2,fx0x0 或x2 2 分函数f x 的单调增区间为0 2,单调减区间为,0和 2,1, 4 分（法一）f00,f24,当 x时,fx111123xx 5 分x,0时,f x 为减函数,f x 0,1；当x0,时,f x 0,4；函数f x 的值域为0,433（ 法 二 ） 当x0时 ,f00, 当x0时 ,fx111121121 23x4xxf x 0,f24, 函数f x 的值域为,04. 5 分33（法三） 判别式法

25、（略）名师归纳总结 （2）设Ax f x,Bx ff x x,x 恒成立第 11 页,共 12 页设x0A,就f f x 0f x0x ,就0xB ,AB . 6 分当x0时,x2 102 xx112 xx21xf x xx当且仅当x0,1时,f x x 7 分x 无解 8 分令tf x ,当且仅当x1时,tf x 1.当x0时,由（）ff x f t 0, 当x0时,ff x 当 0x1时,ff x f t tf x x ,当 0x1时,ff x x 在无解 9 分综上,除x0,1外,方程ff x x 无解,AB .x f x xx ff x 10 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） 1 明显a n1a2 na n21a na n1223, 又a11,a n0,a n224aa nn 1a 2n aa nn 1 a n 111 2 11 1, 11 分a n所以 ,a n 1 a n . 如 a n 1 a n,就 a n 1 冲突 . 所以 a n 1 a n . 12 分2 法一 a na n 21 a na n 211 1 ,a 1n