2022年高数教案第二章极限与连续.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第一章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的： 懂得数列极限的概念,把握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念,懂得把握数列极限的定义教学形式： 多媒体教室里的课堂讲授教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课半径为 R的圆的面积公式？A2 R 但是得到圆面积这个运算公式却是不简单的. 看电视 三国时代我国数学家刘徽（约公无 225 年 295 年）制造了“ 割圆术”,胜利地推算出圆周率和圆的面积；圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不行缺少的一个常数,各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题；我国最早采纳的圆周率数值为三

2、,即所谓 “ 径一周三 ”；九章算术中就采纳了这个数据；与刘徽类似的是, 古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率；但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的,躲开了极限概念,而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外运算圆外切正多边形面积,形面积；与阿基米德比,刘徽的割圆术可谓事半功倍；二、新授课 1、一个试验说明的事实刘徽的方法就只需求内接正多边名师归纳总结 对于一个半径为R的圆,先作圆内接正六边形,记其面积为1A ；再作圆内接正十二边形,第 1 页,共 32 页记其面积为A 2,循此下去,每次边数成倍增加,得到一系列圆内接正多边形的面积A 1,A 2,A 3,A

3、n,构成一列有次序的数, 其中内接正62n1边形的面积记为AnnZ；练习题 1；求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积 S ；内接正 n 边形的面积ns ；答案：s3 3R2ns1nR2sin242n练习题 2；求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n 边形的而积ns ；答案：s2 3 3 RnsnR2 tann假如内接正n 边表的面积为A ,圆的面积为A ,外接正 n 边形的面积为ns ,就有A nAs n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案在几何直观上 , 当 n 越大,对应的内接正多边形就越接近于圆, 即圆与正多边形的面积

4、 A （n ns ）之差就越小 , 因此以 A （n ns ）作为圆面积的近似值就越精确 . 但无论内接正多边形的边数有多大 , 所运算的 A （ns ） 始终不是圆的面积 . 于是设想 , 假如 n 无限增大 记为 n,读作 n 趋于无穷大 时, A （ns ）无限接近 某 个 确 定 的 数 ； 在 数 学 上 称 这 个 确 定 数 是 上 面 给 出 的 一 列 有 次 序 的 数 即 数列A 1,A 2,A n,（S S 2,S r,S n）当n时的极限；在圆面积问题的讨论中 , 大家看到 , 正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果 采纳的方法就是极限方法；2、数列与函数的关系,

5、 也可以说 , 解决圆面积所依据肯定次序排列着的一列数就叫做数列,记为x ,其中第 n 项做nx 叫数列的一般项；x n: x ,x 2,x 3,. x n,.数列的例子：nn 1:1,2,3,nn1,;,;.2342n:,2,4 ,8, 2n,;1:1,1,1,1,;2n2482n1n:,1,1,1,1,1,1n,n1n:0 ,3,2,n1 nn23nnn 1它们的一般项依次为nn1n ,2 ,1n , 1 ,2nn数列 x 可以看作自变量为自然数n 的函数x nfn它的定义域是全体正整数；3、数列的几何意义名师归纳总结 从一维角度考察,数列 x 可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点

6、第 2 页,共 32 页x1,x2,x3,x n,然而,从二维角度考察,数列 x 可以看作XOY面上的点集 （n,x ） ,在 XOY平面上数列 x 表现为一个散点图；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案4、数列的散点图 在 XOY平面上画出如下数列的散点图：（1）nn1；（2）2n（3）1（4） n1 2n（5）n1 n（6） sin n n输出图形如（图21）至图（ 26）所示；250 0.98 200 0.96 150 0.94 100 0.92 5020406080n1100234562n78（图 2 1 数列）n（ 图 22

7、） 数列10.5 0.5 0.40.310203040500.2-0.5 0.1名师归纳总结 2345678-1 50第 3 页,共 32 页（ 图 23 数列）1（ 图 24 ）数列 n12n11.20.51.11020304050102030400.9-0.51；n 2 越0.8-1（ 图 25）数列n1n的图形（图 26） 数列 sin n nn 的增大,nn1越来越趋向于由（图 21）至图（ 2 6）可以看出,随着- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 来越大；1 越来越趋向于 n 2名师精编优秀教案1 n越来越趋向于；sin n 在0；与之间变动；

8、nn与之间变动5、 数列极限的直观定义对于数列 x ,假如当无限增大时,数列的一般项 x 无限地接近于某一确定的常数,就称常数是数列 x 的极限,或称数列 nx 收敛于,记为nlim xn a假如数列没有极限,称数列是发散的,名师归纳总结 例如,lim nnn1,lim n1 n 2,lim nn1n第 4 页,共 32 页n而2n, n1 , sin n 是发散的三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21 习题 21 1；挑选题（ 1）,（2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第一章 极限与连续其次节 数列的极限教学目的

9、： 把握数列极限的定义,会用定义证明数列的极限,明白收敛数列的性质；教学重点、难点：用定义证明数列的极限 教学形式： 讲授法 教学时间： 90 分钟 教学过程 一、引入新课 数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列n1 n是有极限的,它的图象如下：nListPlotTable（n+1 n/n,n ,1,50 1.21.110203040500.90.8 图 2-5 对于数列 x ,假如当无限增大时,数列的一般项 x 无限地接近于某一确定的常数,就称常数是数列 x 的极限,或称数列 n nx 收敛于,记为nlim xn a假如数列没有极限,称数列是发散的；二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列

10、 x 及常数 a,假如对于任意给定的正数,总存在一个正整数N,当 nN时,不等式名师归纳总结 恒成立, 就称常数nxaa第 5 页,共 32 页a 为数列 x 的极限, 或称数列 x 收敛于 a,记作nlimx n或nxa n,假如这样的常数a 不存在,就说数列没有极限,或称数列发散；,称OXY的 Y 轴上取以为a 为中心,为半径的一个开区间a,a在直角平面坐标系- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 它为 a 的邻域,记为O（a,）：名师精编优秀教案O（a,）= x a x a “ 当 n N 时,不等式成立 x n a” 表示数列中从 N+1 项起的全部

11、项都落花流水在点 a 的 邻域,即 nx , , n N ；由于 具有任意性,也就是说邻域 O（ a,）的长度中（如图 2-5 ）上下两条横线的距离可以任意收缩； 但不管收缩得多么小,数列肯定会从某一项起全部落在由这两条线界定的范畴中,不难懂得,a 必为这个数列的极限值；要留意在述的收剑定义中,既是任意的,又是给定的；由于只有对确定的,才能找到相应的自然数 N；问题：“ 无限接近” 意味着什么 .如何用数学语言刻划它；给定,由,只要 时,有,给定,只要时,有,给定,只要时,有,给定,只要时,有成立例 1 证明：lim n2n12n证对于任意给定的0 ,要使名师归纳总结 - - - - - -

12、-第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - x n22 n1名师精编优秀教案21 nnx n只要n1,取正整数N1,就当 nN 时,nx2恒成立,故2n1n1,2,.以 2 为极限,即lim n2 n12；nn例中证明方法叫做解析法,也称倒推法,这是证明极限问题常常采纳的方法；证明过程中,倒推语句“ 要使”,“ 只要” 等不能省略,更不能写成颠倒的因果关系；n 12 n 1都是无穷小在收敛的数列中,我们称极限为0 的数列为无穷小量,例如1,n量；要留意,无穷小量是一个变量,而不是一个“ 特别小的量”（如101000）；常数列0,0,0, , 0,是一个特别的无穷

13、小量；从极限的定义可知,一个数列 x 收敛与否, 收敛于哪个数, 与这一数列的前面有限项列关；也就是说,转变数列前面的有限项,不影响数列的收敛性；例如数列 10,100,1000,10000,1 1 , , 1, 的极限仍旧是 0；5 6 n依据数列极限的定义来证明某一数列收敛,其关键是对任意给定的 0 查找自然数N；在上面的例题中,是通过解不等式 nx a 而得出的；但在大多数情形下,这个不等式并不简单解； 实际上, 数列极限的定义并不要求取到最小的或正确的自然数 N,所以在证明中常常对 nx a 适度地做一此放大处理,这是一种常用的技巧；2例 2 求证：lim n 2 n n2 17 n

14、=12证明 第一我们有名师归纳总结 n2118 n7n2,当 nN 时,成立第 7 页,共 32 页2 n27 n22 2n7明显当n6时247 n2 2n722 nn于是,对任意给定的0 ,取Nmax6,4n211422 n7 n2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上述不等式的放大,是在条件“名师精编优秀教案N 时,必需要求n6” 前提下才成立,所以在取N4与N6同时成立；2. 收敛数列的性质性质 极限的唯独性；数列 x 不能收敛于两个不同的极限；对于数列 x ,假如存在实数 M,使数列的全部的项都满意 nx M ,n=1,2, 就称 M 是数列

15、nx 的上界, 假如存在实数 m,使数列 nx 的全部的项都满意 m x ,n=1,2,3, ,就称 m 是数列 nx 的下界；一个数列 x ,如既有上界又有下界,就称之为有界数列,明显数列 x 有界的一个等价定义是：存在正实数 X,使数列的全部项都满意nx X ,n= n=1,2,3, ,性质 收敛数列的有界性；假如数列 x 收敛,那么数列 nx 肯定有界；性质 收敛数列的保号性；假如数列 x 收敛于,且（ a 0）,那么当 n 充分大时,有 nx 0（或 x 0）；名师归纳总结 性质 4夹逼准就nz 收敛于 a ,且nxy nnz （当 n 充分大时）,第 8 页,共 32 页假如说数列

16、nx 收敛于 a ,数列 就数列 y 收敛于 a；n 例子 求数列 n1n 的极限；解第一我们有n1n =n1nnnn111,就有x ny nz n=n1n1取x n0,nyn1n ,nzn由1 是无穷小量,且有lim nx nlim nz n0,利用极限的夹逼性,得到n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim nn1名师精编优秀教案n0因此,对数列极限概念应当形成这样一些正确熟悉：1 数列极限是对于无穷数列而言的,但无穷数列不肯定都有极限；2 假如说一个无穷数列有极限,就这个极限肯定是一个常数； 3 假如说无穷数列 x 以 a 为极限,就从数轴上看,

17、 对于任意开区间 （a, a,0 ,都能找到某一项x ,使得在这一项之后的全部项都落在这个开区间内,即这个开区间之外最多只能有有限项；名师归纳总结 三、本节小结：数列极限的精确定义b , 就 数 列第 9 页,共 32 页四、课外作业：P21 习题 2-1 （3）以下数列收敛于1的有（）；A11 Bn 1 112nnCx nn 21,n 为奇数 D1 2 3 4 5 , , , ,2 3 4 5 6,nn1,2nn 21,n 为偶数n 2（ 4）以下数列收敛于0 的有（）；Ax n0,n 为奇数 B1,1 1 1 1 1 , , , ,3 2 4 3 5,1 ,n n12,1 , n 2n 为

18、偶数C1,1,1 1 ,3 4,1 1 ,5 6,1n1, D1,1 1 1 , ,3 5 7,211,2nn（ 5 ） 如 数 列 x n与 数 列 ny的 极 限 分 别 为 a 与 b , 且 ax y x 2,y 2,x 3,y 3,的极限为（）；A a B bC ab D不存在2在 xy 平面上画出如下数列的散点图,并指出极限：1 xn1n1 2n1；2 xnsin12n1n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第一章极限与连续第三节 函数的极限教学目的： 懂得函数的极限的描述性定义,明白极限的性质,把握极限的四就运算 教学重点

19、、难点：极限的四就运算 教学形式： 多媒体教室讲授与演示 教学时间： 90 分钟 教学过程 一、引入新课1.数列与函数的关系；2.数列极限的定义和几何判定 二、新授课一函数极限的定义a ,就称 收敛于 a ； 1 当 x 时,函数fx的级限（1）当 x +时,函数f x 的极限假如当 x 取正值,并且无限增大时,函数f x 无限地接近于某一确定的常数常数 a 是函数fx当 x +时的极限,或称当 x +时,函数fx记为xlimfx = a 例如,由图27 可以看出xlim3 x222x1 =3 x1输入 f x ： = （3x2 2x 1 ）/ （ x 2 1 ） Plot f x,x ,2,

20、300 输出图形,如图27 所示；由图 28 可以看出：xlim sin x 不存在输入 PlotSinx,x , 1,100 输出图形,如图 28 所示；1501001502002503002.92.80.52.72.6-10-0.51020304050602.52.4-1名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当 x 时,函数f名师精编优秀教案x的级限假如当 x 取负值, 并且肯定值无限增大时,函数 f x 无限地接近于某一确定的常数 a；就称常数 a 是函数 f x 当 x -时的极限,或称当 x -时,函

21、数 f x 收敛于a；记为例如,由（图xlimfx = a 0.000629）可以看出：输入 Plot2xlimx 2 = 0 x,x ,-15 ,2 2 9 所示；输出图形,如图1.41.20.00041-15-12.5-10-7.5-5-2.50.8-200-150-100-500.00020.60.4（ 图 210）-0.00020.2-0.0004-0.0006（图 2-9 ）由图 210 可以看出：xlimsinx = 0 a,就称常数x2输入 PlotSinx/ x2,x ,-200 ,1 输出图形,如图2 10 所示；（3）当 x时,函数fx的级限假如当 x 的肯定值无限增大时,

22、函数f x 无限地接近于某一确定的常数a 名师归纳总结 是 函 数fx当 x时 的 极 限 , 或 称 当 x时 , 函 数f x 收 敛 于a ； 记 为第 11 页,共 32 页xlimfx = a 例如,由图211 可以看出：xlimx21 = 12x252- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 输入 Plot（ x2 1 / 2名师精编优秀教案x 2 + 5 ）,x ,-20 ,20 输出图形,如图2 11 所示；0.0020.50.40.3 0.0010.20.1-100-5050100-0.001-20-10-0.11020-0.002-0.2（

23、 图 2 11 ）（ 图 212）由图 212 可以看出：sin xxlim x 2 =0 输入 PlotSinx/ x 2,x ,-100 , 100 输出图形,如图 2 12 所示；留意 xlim f x = a 充分必要条件是 xlim f x = a 且 xlim f x = a ；例如,由 xlim 2 = 0 x, xlim 2 = + x,可知 xlim 2 x不存在；2. 当 x x 时,函数 f x 的级限（1） 当 x x 时,函数 f x 的级限假如说当 x 从 x 的右侧无限地接近 x 时,函数 f x 无限地接近于某一确定的常数 a ,就称常数 a 是函数 f x 当

24、 x x 时的右极限,或称函数 0 f x 从 x 的右侧收敛于 0 a ；记为x limx 0 f x = a （2）当 x x 0 时,函数 f x 的极限假如当 x 从 x 的左侧无限地接近 x 时,函数 f x 无限地接近于某一确定的常数 a ,就称常数 a 是函数 f x 当 x x 时的左极限,或称函数 f x 从 0x 的左侧收敛于 a ；记为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x x0fx = a 名师精编优秀教案例如,fx = 2 , x1f x 由图 2 13 可以看出：x 3 , x1

25、由图2 13 可发看出, lim x 1fx = 2 , x 3 , x1lim x 1fx = 3 , lim x 1fxlim x 1fx,所以lim x1f x不存在；（2）函数f x 在x 点是否有极限, 与在点x 是否有定义是没有关系的,只要函数fx在点0x 的某一去心邻域内有定义就可以了；（3）x 是由两边同时趋向于x 的,但与详细的运动方式是没有关系的；说明 点x 的邻域,是指与点x 的距离小于（ 0）的点集- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x x - 0x 名师精编优秀教案 ；点x 的去心邻域,是指与点0x 的距离小于（ 0）,且去掉点

26、x 的点集 ；x x - 0x 第一章极限与连续第四节 函数的极限教学目的： 把握函数极限的运算法就教学重点、难点：应用法就求函数的极限；教学形式： 讲授法和演练法；教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课函数的极限概念二、新授课二 函数极限的性质性质 1 极限的唯独性；函数 y= f x 在同一个点不能有两个不同的极限,即如 x limx 0 f x = A ,且x limx 0 f x = B ,就 A = B ；性质 2 局部有界性；函数在存在极限的点的邻近局部有界,即如 x limx 0 f x = A ,就存在 x 的某一去心邻域,使得函数 f x 在这个去心邻域内有界；性质 3

27、保号性（）已知函数极限的符号,函数的局部保号性；如x lim x 0 f x = A 0 （ 0）,就存在 x 的某一去心邻域,在这个去心邻域内 f x 0 （0）；名师归纳总结 （）已知函数局部的符号,极限的保号性；fx0 （ 0）,就 A 0 （ 0 ）；第 14 页,共 32 页如lim x x 0fx= A,且在0x 的某一去心邻域内有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质 4 夹逼准就名师精编优秀教案fx假如lim x x 0f x = a ,lim x x 0g x = a ,且在x 的某一去心邻域内有h xg x ,就x lim x 0h

28、x= a ；三 函数极限的基本运算 1. 一些基本的极限（）基本初等函数的极限 依据基本初等函数的图形,可以得到一些基本的极限例如xlimlog a x（ a 1）lim x 0log a x（a 1）（2）初等函数的极限；命题假如f x是初等函数,0x 是fx的定义域内的点, 那么lim x x 0f x = f0x；这一命题将在争论函数的连续性时再作介绍；2. 函数极限的四就运算 1 加减法就： = b ,gx= a b ；假如 limfx = a , limgxfx lim那么 lim （f xgx）= lim2 乘法法就： = b ,x = a b 假如 limfx = a , lim

29、gx那么 lim fxg x= limlimgfx3 除法法就假如 limfx = a , limgx = b （b 0） ,那么 limfx = limfx = agxlimgxb3. 复合函数的极限运算假如fx、gx 是初等函数, limgx= a ,fx在 x = a的一个邻域内有定义,那么limfgx = flimgx = fa例 1 运算以下极限：名师归纳总结 （1）lim x 1x2x2 3（2）lim x 1x22x31an第 15 页,共 32 页x2x2（3） xlim3x22x（4） xlima0xna 1xn2x2x2b 0xmb 1xm1b m- - - - - - -

30、精选学习资料 - - - - - - - - - （5）lim x 111x13名师精编优秀教案2n1（6） lim3 x3n1解（1）lim x 1x2x2 = lim x 1x2+ lim x 1xlim x 12 = 1 + 1 2 = 0 = 0 （2）lim x 1x22x3 = lim x 1x1 x3 2 = lim x 1x3 = 4x2x2x1 xx23（3） xlim3 = xlim32 2 x3 3 xlim x3 x2 2 x3 3 x3x22xx21 x 22 x 3 = 1 2 x2 3 xlim x22x2x2（4）利用第（ 3）题的类似方法可以得到xlima 0n xa 1xn1an = ,mnx21 = 1a 0,mnb 0b 0m xb 1xm1b m（5）lim x 111x133 = lim x 110,mnxx23x1x3= lim x 1xx1xx21 = lim x 1x2x1x2（6） lim n2n1 = lim n2n113n 3 = 0 = 0 13n113n三、本节小结：函数极限的概念和运算；四、课外作业：课堂练习： P30习题 22 1；（1）（8）2并作图来验证；3依次做；第一章极限与连续名师归纳总结 第五