2022年高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像一复习指导单调性：设函数 yfx定义域为A,区间 MA,任取区间M 中的两个值x1, x2,转变量xx2x10,就当yfx2fx10 时,就称 fx在区间 M 上是增函数,当y=fx2fx10 时,就称 fx在区间 M 上是减函数假如 yfx在某个区间M 上是增 减函数,就说y=fx在这一区间上具有单调性,这一区间M 叫做 y=fx的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判定函数增减性,最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1,x2,当 x1x2 时判定相应的函数值fx1与

2、fx2的大小利用图象观看函数的单调性也是一种常见的方法,教材中全部基本初等函数的单调性都是由图象观看得到的对于 y=fx型双重复合形式的函数的增减性,可通过换元,令u=x,然后分别依据u=x,y=fu在相应区间上的增减性进行判定,一般有“ 同就增,异就减” 这一规律此外, 利用导数争论函数的增减性,更是一种特别重要的方法,这一方法将在后面的复习中有特地的争论,这里不再赘述奇偶性：1设函数 fx的定义域为 D,假如对 D 内任意一个 x,都有 xD,且 fx=fx,就这个函数叫做奇函数；设函数 fx的定义域为 D,假如对 D 内任意一个 x,都有 xD,且 fx=fx,就这个函数叫做偶函数函数的

3、奇偶性有如下重要性质：fx奇函数fx的图象关于原点对称f0=0,此时函数fx的图象肯定通fx为偶函数fx的图象关于y 轴对称此外,由奇函数定义可知：假设奇函数fx在原点处有定义,就肯定有过原点周期性：对于函数 fx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 fx+T=fx成立,就函数 fx叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期关于函数的周期性,下面结论是成立的1假设 T 为函数 fx的一个周期,就kT 也是 fx的周期 k 为非零整数 2假设 T 为 y=fx的最小正周期,就|T|为 y=Af x+b 的最小正周期,其中 0对称性：假设函数 y=fx满意 fa

4、x= fb+x就 y=fx的图象关于直线xa2b2b,0对称对称,假设函数y=fx满意 fax=fb+x就 y=fx的图象关于点 a函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式,利用函数的图象可以帮忙我们更好的懂得函数的性质,我们第一 要熟记一些基本初等函数的图象,把握基本的作图方法,如描点作图,三角函数的五点作图法等,把握通过一 些变换作函数图象的方法同时要特殊留意体会数形结合的思想方法在解题中的敏捷应用1利用平移变换作图：y=fx左右平移y=fxa y=fx上下平移y=fxb1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 2利用和 y=fx对称关系作图：y=fx与 y=fx的图象关于 y 轴对称； y=fx与 y=fx的图象关于 x 轴对称y=fx与 yfx的图象关于原点对称；y=f-1x与 y=fx的图象关于直线 y=x 对称3利用 y=fx图象自身的某种对称性作图y=|fx|的图象可通过将 y=fx的图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴旋转 180,其余部分不变的方法作出y=f|x|的图象：可先做出 y=fx,当 x0 时的图象, 再利用偶函数的图象关于 y 轴对称的性质, 作出 y=fxx0的图象此外利用伸缩变换作图问题,待三角的复习中再进行争论仍要记住一些结论：假设函数y=fx满意 fax=fb+x就

6、 y=fx的图象关于直线xa2b对称,假设函数y=fx满意 fax=fb+x就 y=fx的图象关于点 a2b,0对称二解题方法指导例 1设 a 0,试确定函数fx 1ax2在1,1上的单调性x例 2争论fx x2的增减性x例 3fx在 ,2上是增函数,且对任意实数x 均有 f4x=fx成立,判定fx在2,+上的增减性例 4* 已知函数 fx的定义域为R,对任意实数m,n,都有fmn fmfn1且当x1时,22fx0又f1 20 .1,f1;1判定函数 fx的单调性并进行证明求证f0 22例 5在 R 上求一个函数,使其既是奇函数,又是偶函数2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

7、,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6判定以下函数的奇偶性1 fx lgxxx212fxax1 1其中 x为奇函数, a 0 且 a 1ax例 7设函数fxx2xa1x1,1 是奇函数,判定它的增减性bx例 8设 fx是定义域为R 且以 2 为一个周期的周期函数,也是偶函数, 已知当 x2,3时 fx=x 12+1,求当 x1,2时 fx的解析式例 9作出y2x1的图象,并指出函数的对称中心,渐近线,及函数的单调性x1例 10作出函数的图象21yx1312y=|lg|x| 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - -

8、- - - - - - 例 11 1作出方程 x+y=1 所表示的曲线2作出方程 x 1+y+1=1 所表示的曲线例 12已知函数fx和 gx的图象关于原点对称,且fx= x2+2x1求函数 gx的解析式；2解不等式 gxfx x1例 题 解 析例 1 解：任取 x1,x21,1,且x=x2x10,2 x 0就yfx 2fx 1ax 21 x 2 2ax 11 x 2 2a x 2x 1 1x 1x 21x 1 2 1x 2 2由于 1x1x21,所以x=x2x1 0,1x1x20, 12 x 0, 1因此当 a0 时,y=fx2fx10,当 a0 时, y=fx2 fx1 0所以当 a0 时

9、 fx在1, 1上是增函数,当a 0 时, fx在 1,1上是减函数例 2 分析：可先在 0, 上争论 fx的增减性,然后依据2fx的奇偶性判定其在,0上的增减性,而,当 x0 时,有fx x222,当且仅当2x即x时“ =”成立,即当x2时,fx取得最小值2xx由此可知x=2 是函数单调区间的一个分界点解： 任取 x1,x20,2 ,且x=x2x10 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就yfx2fx 1x22x 12x2x1 1x 122上是减x2x1x由于0x 1x 22, x=x2 x1 0,且1x220,

10、因此y=fx2fx10,故 fx在0 ,21x函数同理可证fx在2,是增函数2上2fx ,可知 fx是奇函数,其图像关于原点对称,所以可知fx在,又由fxxx是增函数,在2,0 上是减函数x2在,2和2,上是增函数,在2,0 ,0 ,2上是减函数综上所述,fxx例 3 解：任取 x1,x22, ,且 x1x2,就由 2 x1 x2 得 24 x14x2 由于 fx在,2上是增函数,所以有 f4x1f4 x2 而由已知又有 f4x1= fx1, f4x2=fx2,所以 fx1 fx2,故 fx在2, 上是减函数小结： 留意体会解题中的划归思想此题假设是一个小题,由 f4x=fx可知 fx的图像关

11、于 x=2 对称,立刻就可以判定出 fx在2, 上是减函数例 4 分析：判定这类抽象函数的单调性,关键是依据已知去制造条件,利用单调性的定义进行和判定,可以采纳分析法寻求解题思路解： 由 fmn=fmfn1 得 f0=f00=2f0 21 有 f0= 212又由及f10得f11x2x 111依据已知可得fx 2x 11022任取 x1,x2 R 且 x x2x10 就2220就有fx2x 1fx21x1x 11x1fx21x1fx1x11f11fx112f1ffx2x11fx1fx2122222221ffx 1.12函数 fx在 R 上为增函数例 5 解：设所求的R 上的函数为fx,就由函数奇

12、偶性定义得fx=fx, fx= fx,联立,消去 fx,得 fx=05 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 明显函数 fx=0 既是奇函数又是偶函数,所以fx=0 就是所求的函数例 6 解： 1由于对任意x R,都有x21xx2x|x|x0,所以函数定义域为R 任取 xR,就 xR 且有fx lgxx21 lgxx21 1lgx2 x1fx所以fxlgx2 x1 是奇函数2函数的定义域为R任取 xR,就 xR,且有fx xax1x 1axxax1.1,1内任意实数x 均有 fx1axxa1a1所以fxx ax1是偶函数

13、ax1例 7 解：明显 x 1,1,x1,1,由于 fx为奇函数,所以对区间x=fx成立,即x2xa1x2xa1,也就是x2xa11x2xa1这是关于x 的恒等式,比较bxbxbxbx两端分子分母对应项的系数,可得a=b=0x2所以fx 2xx1任取 x1,x2 1,1,且x=x2x10 就yfx2fx1xx21xx11x22x1 12x22x1 x1 2112由于 1x 1x21,所以x=x2 x1 0,1 x1x2 0,因此y=fx2 fx1 0,所以当x 1, 1 时fxx2x1为增函数注：此题也可以通过f0=0, f1=f1求得 a=b=0 例 8 分析：此题的解答要抓住两个关键点,一

14、个是 fx为偶函数, 再一个是 fx为周期函数, 通过画出草图,就会发觉可以先求出当x 3,2时函数的解析式,在利用周期性求出当x 1,2时 fx的解析式,要留意体会划归的思想方法解：当 x3,2时 x2,3所以 fx= x121=x12 1,由于 fx是偶函数, 因此当 x3, 2时, fx= x1 21 当 x1,2时, x43, 2,有 fx4= x4 121=x321,由于 2 为 fx的周期,可知4也为 fx一个周期,有 fx4=fx 故 x1,2时 fx=x321例 9 解：由于y2x12x11x16 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 -

15、- - - - - - - - 所以将y1的图象向左平移一个单位,再向上平移两个单位,即可得到y2x1的图象,如图x1x由图象可以得到：对称中心为1,2 渐近线分别为 x=1,y=2 函数在 , 1和 1, 上都是增函数例 10 解： 1将函数yx2的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即可的得到yx121,33如图2y= lg x为偶函数,当x0 时先作出 y=lg x 的图象,在依据奇偶性作出y=lg x的图象,最终将y=lg x在横轴下面的图象关于x 轴旋转 180,其余部分不变即可得到y=lg x的图象,如图例 11 分析,曲线 x y=1 是关于 x 轴, y 轴和原点的对称图

16、形,利用对称性可以很快的作出曲线,至于曲线 x1 y1=1,只需通过将曲线x y 1 适当平移即可得到解： 1先作出线段xy=1x1,y 1,再作出该线段分别关于x 轴, y 轴和原点分别对称的线段,就得到方程 x y=1 所表示的曲线,如图2将1 中方程 x y=1 所表示的曲线右移一个单位,下移一个单位就得到方程x1 y1=1 所表示的曲线,如图7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12 解： 1设 fx上任意一点Px0, y0关于原点的对称点为P x,y 就x02x0即x 0xy0x22x0,即 y=x 2 2 x y0y0y 0y2由于点 Px0,y0在 fx=x 22x 的图像上,所以0故 gx=x22x2由 gxfx x1得 2x2 x1,因此 gxfx x1解集为,11.当 x1 时,不等式化为2x2x10,此式无实数解当 x1 时,不等式化为2x2x10 解得1x1228 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页