2022年高中数学选修知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学选修 21 第一章：命题与规律结构学问点：1、命题：用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句 . 真命题：判定为真的语句 . 假命题：判定为假的语句 . 2、“ 如 p ,就 q ” 形式的命题中的 p称为命题的条件,q称为命题的结论 . 3、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题；如原命题为“ 如 p,就q” ,它的逆命题为“ 如 q,就p” . 4、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条

2、件的否定和结论的否定,就这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题 . 如原命题为“ 如 p,就q” ,就它的否命题为“ 如 p,就 q” . 5、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,就这两个命题称为互为逆否命题；其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题；如原命题为“ 如 p,就q” ,就它的否命题为“ 如 q,就 p” ；6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题,

3、它们的真假性没有关系7、如 p q ,就 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件如 p q,就p是q的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“ 且” 把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q 当 p 、 q 都是真命题时,p q是真命题；当 p、q两个命题中有一个命题是假命题时,p q是假命题用联结词“ 或” 把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q是真命题；当 p、q两个命题都是假命题时,p q是假命题对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 p如p是真命题,就 p必是假命题；如

4、 p是假命题,就 p必是真命题9、短语“ 对全部的”、“ 对任意一个” 在规律中通常称为全称量词,用“” 表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“ 对 中任意一个 x ,有 p x 成立” ,记作“x, p x ” 短语“ 存在一个”、“ 至少有一个” 在规律中通常称为存在量词,用“” 表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“ 存在 中的一个 x ,使 p x 成立” ,记作“x, p x ” 10、全称命题 p ：x, p x ,它的否定 p ：x,p x ；全称命题的否定是特称命题；特称命题 p ： x, p x ,它的否定 p ：x,p x ；特称命题的否定是全称命题；其次章：圆

5、锥曲线学问点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点Mx y及其他的点；找出满意限制条件的等式；将点的坐标代入等式；名师归纳总结 化简方程,并验证（查漏除杂）；第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、平面内与两个定点F1,F2学习必备F F2欢迎下载的距离之 和 等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆；这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距；MF 1MF 22 a2a2c3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x22 y2 b1ab0y

6、22 x1ab02a2b2a范畴 a x a且 b y b b x b且 a y a顶点 1 a ,0、2 a ,0、10, b 、20,b 10, a 、20,a 、1 b ,0、2 b ,0轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a焦点 F 1 c ,0、F 2 c ,0 F 10, c、F 20, c2 2 2焦距 F F 2 2 c c a b,a 最大对称性 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称2离心率 e c1 b2 0 e 1a a2 2准线方程 x a y ac c4、设 是椭圆上任一点,点 到 1F 对应 准线的距离为 d ,点 到 F 对应 准线的距离为 d 2,就 F

7、1 F 2e；d 1 d 25、平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离之 差的肯定值 等于常数（小于 F F 1 2）的点的轨迹称为双曲线；这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距；MF 1 MF 2 2 a 2 a 2 c6、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程x2y21a0,b02 yx21a0,b0a2b2a2b2范畴xa 或 xa , yRya 或 ya , xR名师归纳总结 顶点1a,0、2a,010, a 、F20, a第 2 页,共 11 页轴长c ,0虚轴的长2b实轴的长2aF 12 0,c焦点、F 2c ,0F 10,

8、c、焦距F F 222 c ca2b2, c 最大对称性关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率xa2e学习必备1欢迎下载1y2 acb2eaa2准线方程cc渐近线方程yb axya bx7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线；8、设是双曲线上任一点,点到F 对应 准线的距离为d ,点到F对应 准线的距离为d ,就F 1F 2e；d 1d 29、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点

9、的线段,称为抛物线的“ 通径”,即2 p11、焦半径公式：如点x 0,y 0在抛物线y2y22px p0上,焦点为 F ,就Fx0pp；2；、如点x 0,y 0在抛物线2px pFx 00上,焦点为 F ,就2如点x 0,y 0在抛物线x22py pFy 0p；0上,焦点为 F ,就2如点x 0,y 0在抛物线x22py pFy 0p0上,焦点为 F ,就212、抛物线的几何性质：标准方程y22pxy202pxx22pyx202pyp0pp0p图形顶点0,0, 0F0p, 0y 轴F0,p对称轴x 轴焦点Fp 2F0,p222准线方程xpxpyp 2yp222离心率e1xy0y0范畴x0第三章

10、：空间向量学问点：1、空间向量的概念：（ 1）在空间,具有大小和方向的量称为空间向量（ 2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向（ 3）向量 的大小称为向量的模（或长度）,记作（ 4）模（或长度）为 0的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量（ 5）与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 a （ 6）方向相同且模相等的向量称为相等向量名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、空间向量的加法和减法：（ 1）求两个向量和的运算称为

11、向量的加法,它遵循平行四边形法就即：在空间以同一点为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作平行四边形 C,就以 起点的对角线 C就是a与 b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法就（ 2）求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法就 即：在空间任取一点,作 a,b ,就 a b 3、实数 与空间向量 a 的乘积 a是一个向量,称为向量的数乘运算当 0时,a与a方向相同；当 0 时,a 与 a 方向相反；当 0 时,a 为零向量,记为 0 a 的长度是 a的长度的 倍4、设,为实数, a , b 是空间任意两个向量,就数乘运算满意安排律及结合律安排律：a b a b；结合律

12、：a a5、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ,b b 0,a / b 的充要条件是存在实数,使 a b 7、平行于同一个平面的向量称为共面对量8、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 x y C；或对空间任肯定点,有 x y C ；或如四点, C 共面,就 x y z C x y z 19、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点,作 a,b ,就 称为向量 a , b 的夹角,记作 a b两个向量夹角的取值范畴是：

13、a b 0,10、对于两个非零向量 a 和 b ,如 a b,就向量 a , b 相互垂直,记作 a b 211、已知两个非零向量 a 和 b ,就 a b cos a b 称为 a , b 的数量积,记作 a b 即 a b a b cos a b零向量与任何向量的数量积为 0 12、 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影bcosa b的乘积13 如 a , b 为非零向量, e 为单位向量,就有1e aa eacosa e； 2ab2a b0；a ba b； 5a ba b3a, aa a ； 4 cosa ba与 同向,a aa ba ba ba与 反向14 量数

14、乘积的运算律：1 a bb a ；2aba bab；3abca cb cxaybzc15、空间向量基本定理：如三个向量a , b , c 不共面,就对空间任一向量p ,存在实数组x y z,使得 p名师归纳总结 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载16、三个向量 a ,b ,c 不共面,就全部空间向量组成的集合是 p p xa yb zc x y z R这个集合可看作是由向量 a,b,c生成的,a b c 称为空间的一个基底,a,b,c称为基向量 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设 1e,e

15、,e为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）,以 1e,e,3e的公共起点 为原点,分别以 1e ,2e ,e 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 3 xyz就对于空间任意一个向量 p,肯定可以把它平移,使它的起点与原点 重合,得到向量 p存在有序实数组 x y z,使得 p xe 1 ye 2 ze把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 1e ,2e ,3e 下的坐标,记作 p x y z 此时,向量 p 的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 x y z18、设 a x y 1 , z 1,b x 2 , y 2 , z

16、 2,就（ 1）a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2（ 2）a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2（ 3）a x 1 , y 1 , z 1（ 4）a b x x 2 y y 2 z z（ 5）如 a 、 b 为非零向量,就 a b a b 0 x x 2 y y 2 z z 2 0（ 6）如 b 0,就 a / b a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z（ 7）a a a x 1 2y 1 2z 1 2（ 8）cos a b a ba b x 1 2 x xy 1 2 2z 1 y y2 2x 2 2 z zy 222 z

17、 222 2 2（ 9）x y z 1,x 2 , y 2 , z 2,就 d x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 119、在空间中,取肯定点 作为基点,那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示向量 称为点 的位置向量20、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 以及一个定方向确定点 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向向量, 就对于直线 l 上的任意一点,有 ta ,这样点 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置, 仍可以详细表示出直线 l上的任意一点21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点,它们的方向向量分别为

18、 a ,b 为平面 上任意一点,存在有序实数对 ,x y,使得 xa yb,这样点 与向量 a , b 就确定了平面 的位置22、直线 l 垂直,取直线 l 的方向向量 a ,就向量 a 称为平面 的法向量23、如空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,名师归纳总结 第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 a / b a / b a b R,a b a b a b 024、如直线 a 的方向向量为 a ,平面 的法向量为 n ,且 a,就 a / a / a n a n 0,a a a /

19、 n a n25、如空间不重合的两个平面,的法向量分别为 a , b ,就 / a / b a b ,a b a b 026、设异面直线 a , b 的夹角为,方向向量为 a , b ,其夹角为,就有 cos cos a ba b27、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 的法向量为 n ,l 与 所成的角为,l 与 n 的夹角为,就有 sin cos l nl n28、设 n ,n 是二面角 l 的两个面,的法向量, 就向量 1n ,n 的夹角 （或其补角） 就是二面角的平面角的大小如二面角 l 的平面角为,就 cos n 1 n 2n 1 n 229、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应

20、向量 的模 运算n30、在直线 l 上找一点,过定点 且垂直于直线 l 的向量为 n ,就定点 到直线 l 的距离为 d cos , nn31 、 点 是 平 面 外 一 点 ,是 平 面 内 的 一 定 点 , n 为 平 面 的 一 个 法 向 量 , 就 点 到 平 面 的 距 离 为d c o s n nn数学选修 2-2导数及其应用一 .导数概念的引入1.导数的物理意义：f xnf x0,瞬时速率；一般的,函数yf x在xx 处的瞬时变化率是lim x0f x 0xf x 0,x我们称它为函数yf x 在xx 处的导数,记作fx0或y|x x 0,即fx 0=lim x0f x0x

21、f x 0x2.导数的几何意义：曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切； 简单知道,割线PP 的斜率是knx nx0当点P 趋近于 P 时,函数yf 在xx 处的导数就是切线PT 的斜率 k,即klim x0f x nf x0fx0x nx 03.导函数：当x 变化时,f x 便是 x 的一个函数,我们称它为f x的导函数 . yf x的导函数有时也记作y ,即f lim x0f xxf x x二 .导数的运算基本初等函数的导数公式: 0；2 如f x x ,就f x1; 第 6 页,共 11 页1 如f x cc 为常数 ,就f名师归纳总结 -

22、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 如f x sinx ,就f xcosx学习必备欢迎下载f xsinx; 4 如f x cosx ,就5 如f x x a ,就f alnaa6 如f x x e ,就f e117 如f x logx,就f 8 如f x lnx ,就f axlnx导数的运算法就1. f g x f g 2. f x g x ff g x f x g x g x 3. f f g x f g x 为一个复合函数yfg x 2复合函数求导yf u和ug x,称就y可以表示成为 x 的函数 ,即y三 .导数在讨论函数中的应用1.函数的单调性

23、与导数: 0,那么函数yf x在这个区间单调递减. 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 , a b内1假如f 0,那么函数yf x在这个区间单调递增；2假如f2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点邻近的大小情形. （ 1）假如在x 邻近的左侧ff 0,右侧f 0,那么f x 0是极大值 ; 求函数yf x的极值的方法是 : （2）假如在x 邻近的左侧 0,右侧f 0,那么fx 0是微小值 ; 4.函数的最大 小 值与导数求函数yf x在a b上的最大值与最小值的步骤：f a,（1）求函数yf x在 , a b内的极值；. （ 2）将函数yf x的各极值与端点处的函

24、数值f b比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值推理与证明考点一合情推理与类比推理,退出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理 ,归纳是从特别到一般依据一类事物的部分对象具有某种性质的过程 ,它属于合情推理依据两类不同事物之间具有某些类似 或一样 性,估计其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理 ,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤 : 1 找出两类事物的相像性或一样性 ; 2 用一类事物的性质去估计另一类事物的性质 ,得出一个明确的命题 猜想 ; 3 一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的 ,而是相互制约的 .假如两个事物在某些性质上相同或相像 ,那么他们在

25、另一写性质上也可能相同或类似 ,类比的结论可能是真的 . 4 一般情形下 ,假如类比的相像性越多 ,相像的性质与估计的性质之间越相关 ,那么类比得出的命题越牢靠 . 考点二 演绎推理 俗称三段论 由一般性的命题推出特别命题的过程 ,这种推理称为演绎推理 . 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法 . 2. 步骤 :A. 命题在 n=1（或 n ）时成立,这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以肯定对任何自然数 或 n= 0n ,且 n N 结论都成立；考点三 证明1. 反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 2

26、.数系的扩充和复数的概念复数的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 复数 :形如 a bi a R b R的数叫做复数, a 和b分别叫它的实部和虚部 . 2 分类 :复数 a bi a R b R中,当 b 0 ,就是实数 ; b 0 ,叫做虚数 ;当 a 0, b 0 时,叫做纯虚数 .3 复数相等 :假如两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等 .4 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 .5 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

27、 ,x 轴叫做实轴, y 轴除去原点的部分叫做虚轴；6 两个实数可以比较大小,但两个复数假如不全是实数就不能比较大小；复数的运算1.复数的加,减,乘,除按以下法就进行设z 1abi z 2cdi a b c dR 就z 2acbdadbc i（ 3）z 1acbdadbc i z 20（ 1） 1z 2ac bd i（2） 1 zz 2c2d22,几个重要的结论1 |z 1z 22 |z 1z 22 |2|z 12 |z 22 | 2 zz|z2 |z2 |3如 z 为虚数 ,就|z2 |z23.运算律1 zmn zzm n;2 m znzmn;3z 1z 2nin z 1iz 2nm nR4

28、04.关于虚数单位i 的一些固定结论：i41（ 2）nn2in3in（ 1）i21（2）3ii（3）数学选修 23 第一章 计数原理学问点：1、分类加法计数原理：做一件事情,完成它有 N 类方法,在第一类方法中有 M 1种不同的方法,在其次类方法中有 M 2 种不同的方法, ,在第 N 类方法中有 M N种不同的方法,那么完成这件事情共有 M 1+M 2+ +M N 种不同的方法；2、分步乘法计数原理：做一件事, 完成它需要分成 N 个步骤, 做第一 步有 m1 种不同的方法, 做其次步有 M 2不同的方法, ,做第 N 步有 M N 不同的方法 .那么完成这件事共有N=M 1M2.M N 种

29、不同的方法；3、排列 ：从 n 个不同的元素中任取 mmn个元素,依据肯定次序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4、排列数 ：A mn n 1 n m 1 n . m n , n , m N n m .5、组合 ：从 n 个不同的元素中任取 m mn 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合；6、组合数：C mn C mn AA mmm n AA mmm n n n n n 1 1m .n n m m 1 1 C C mnm . m n. .n m n. .m .C m nC n mn ; C mn 1C mn C n m17、二项式定理：

30、a b nC a 0 nC a 1 n 1b C a 2 n 2b 2C a r n rb rC b n nr n r r展 开 式 的 通 项 公 式 ：T r 1 C a b r 0,1 n 其次章 随机变量及其分布1、随机变量 ：假如随机试验可能显现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变第 8 页,共 11 页量叫做随机变量随机变量常用大写字母X、 Y 等或希腊字母 、 等表示；2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X 可能取的值,我们可以按肯定次序一一列出,这样的名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料

31、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的 ,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,. ,xi ,.,xnX 取每一个值 x ii=1,2,. ）的概率 P =xi） Pi,就称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列4、分布列性质 pi0, i =1, 2, ； p1 + p2 + +pn= 15、二点分布： 假如随机变量 X 的分布列为：其中 0p3.841 时, X 与 Y 有 95%可能性有关； K26.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关回来分析回来直线方程y.axbxyxxy2y, SPayb