竞赛专题讲座第三讲函数的图象与性质.doc

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1、函数的图象与性质（数学竞赛讲稿）第 1页第三讲第三讲函数的图象与性质函数的图象与性质知识要点：1.函数的图象：坐标为)(,(xfx的点的集合),(|),(Dxxfyyx称为函数)(xfy 的图象，其中D是函数的定义域。2.图象变换：平移变换、对称变换3.函数性质：奇偶性、单调性、周期性周期性：对于函数)(xf，如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，)()(xfTxf总成立，那么称函数)(xf为周期函数，正数T称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值0T，称0T为该函数的最小正周期。能力训练1作出下列函数的图象：（1）y6|)2(|;6|22xxyxx解：（1）先作

2、出62xxy的图象，然后将此图象在x轴下方的部分对称地翻折到x轴的上方即可。（2）因y6|2 xx是偶函数，其图象关于y轴对称，于是我们先作出62xxy在x0 时的图象，然后作出它关于y轴对称图形即可。2k为何实数时,方程kxx3|22有四个互不相等的实数根。解：将原方程变形为21|22kxx，设1|2)(2xxxfy，作出其图象，而2 ky是一条平行于x轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，120 k，即32 k3已知4sin)(3xbxaxf（a、b；实数）且5)10log(lg3f，则)3lg(lgf的值是（）（1993 年全国高中数学联赛试题）

3、（A）5（B）3（C）3（D）随 a、b 取不同值而取不同值解：3sin4)(xbxaxf是奇函数的和，为奇函数，从而4)()(xfxf即8)()(xfxf，38)10loglg()3lg(lg3ff，选（C）。4设函数)(xf对任一实数x满足：)7()7(),2()2(xfxfxfxf且0)0(f。求证：0)(xf的根在区间30,30上至少有 13 个，且)(xf是以 10 为周期的周期函数。证明：由题设知，函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，所以0)0()22()22()4(ffff0)4()37()37()10(ffff，于是0)(xf在10,0(上至少有两个根。另一方面，有函数的图

4、象与性质（数学竞赛讲稿）第 2页)()22()22()4()37()37()10(xfxfxfxfxfxfxf,所以)(xf是以 10 为周期的周期函数，因此0)(xf的根在区间30,30上至少有13126个要。评述：设函数的定义域为D，若对任意的Dx，都有)()(xafxaf（a为常数），则函数)(xf图象关于直线ax 对称。5函数)(xfy 定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角2后不变。（1）证明：方程xxf)(恰有一个解，（2）试举一个具有上述性质的函数的例子。解：（1）设)0(f0y，则（0，0y）是函数)(xfy 的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角为2，得到的点（0，0y），仍在)(xfy 的图象上，所以，0y=)0(f0y于是0y=0，即)0(f0。也就是说x=0 是方程xxf)(的一个解。另一方面,设x=0 x是方程x=)(xf的一个解,即)(0 xf=0 x，因此点（0 x，0 x）在函数)(xfy 的图象上，它绕原点旋转三个2后得到（0 x，0 x）,且此点也在)(xfy 的图象上,所以0 x=)(0 xf=0 x,0 x=0.从上面的讨论可知,方程xxf)(恰有一个解x=0。（2）构造函数如下：时当时当时当kkkkxxxxxxf4|42 ,242|4 ,210 ,0)(