2010届高三二轮强化训练（6）导数应用（一）doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 届高三二轮强化训练届高三二轮强化训练导数应用（一）导数应用（一）一、填空题：1当 h 无限趋近于 0 时，22(3)3hh无限趋近于2若函数lnyxax的增区间为（0，1），则a的值是3曲线sinyx在点（3,32）处的切线方程为4函数 y=x3-3x+1 在闭区间-30上的最大值与最小值分别为_ 5函数()ln(0)f xxx x的单调递增区间为_6当21x时，32122xxxm恒成立，则实数 m 的取值范围是_7设()f x,()g x分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)围成的封闭图形的面积为 S(t)，

2、则()S t11设 a、b 为实数且 b-a=2，若多项式函数)(xf在区间（a,b）上的导函数)(xf满足()0fx，则(1)f a 与1()2f b 的大小关系是_12母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于_13圆形水波的半径 50cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250cm 时，圆面积的膨胀率为14已知数列an满足 2an+1=-an3+3an且)1,0(1a，则 an的取值范围为_二、解答题二、解答题15已知函数2()210f xxx，37()g xx，是否存在整数 m，使得函数 f(x)与 g(x)图像在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出 m 的值，若没有，请

3、说明理由http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网16用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点 F 的光源所射出的光线 FP 经抛物线上任一点00(,)P xy反射后（该点处的切线反射）反射光线 PM 与抛物线对称轴平行17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以 20scm2的流量倒入杯中，当水深为 4cm时，求水面升高的瞬时变化率http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网18（07 连云港三模）函数 f(x)=x3-3tx+m(m,t 为实常数)是偶函数，且 g(x)=f(x)x2（1）求实数 m 的值并比较 f(t)与

4、f(2 t)(t0)的大小；（2）求函数 y=f(x)在区间-2,2上的最大值 F(t)19烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱 A,B 相距 20km，其中 B 烟囱喷出的烟尘量 A 的 8 倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C 处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低20设 f(x)=x(x-p)(x-q)(pq0)且函数 f(x)在 x=a 和 x=b(ab)处取得极值http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）求证:paqb；（2）若 p+q

5、2_7设()f x、()g x分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)围成的封闭图形的面积为 S(t)，则()S t=3t；11设 a、b 为实数且 b-a=2，若多项式函数)(xf在区间（a,b）上的导函数)(xf满足()0fx，则(1)f a 与1()2f b 的大小关系是1(1)()2f af b12母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于3313圆形水波的半径 50cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250cm 时，圆面积的膨胀率为2500014已知数列an满足 2an+1=-an3+3an且)1,0(1a，则 an的取值范围为(0,1)二、解答题：二、解答题：15.已知函

6、数2()210f xxx，37()g xx，是否存在整数 m，使得函数 f(x)与 g(x)图像在区间(m,m+1)yhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网内有且仅有两个公共点，若有，求出 m 的值，若没有，请说明理由.变式题:已知函数 f(x)=x3+bx2+3cx+8和 g(x)=x3+bx2+cx(其中-32b0)，F(x)=f(x)+5g(x),f(1)=g(m)=0.（1）求 m 的取值范围；（2）方程 F(x)=0 有几个实根？为什么？点拨点拨：两曲线的公共点一般转化为方程的根问题，根据方程特点，利用三次函数的单调性，极值（最值）及图像特征是解决问题的突破

7、点.解：函数 f(x)与 g(x)公共点的横坐标即是方程237210 xxx 的解,也就是方程32210370 xx的根.记 h(x)=3221037xx，则2()620h xxx令0)(xh得100,3xx，由单调性易知，h(0)和10()3h分别是极大值和极小值.101(0)370,()327hh 0（如图）,由图形知()0h x 有三个零点321,xxx,且123100,03xxx又 h(3)=1,h(4)=5,故2334xx,即34,(3,4)x x 故可取 m=3.又区间(m,m+1)长度为 1，故 m 不可能有其他值.综合知，存在整数 m=3 满足题意.变式点拔变式点拔：（1）/2

8、/2()323,()32fxxbxc gxxbxc，由题设易得23230320bcmbmc，消去 c 得296230mbmb，故29331mbm，再由-32b0可解得 m 的取值范围是33(,0)(,1)33m.（2）方程 F(x)=0，化简有 3x3+3bx2+4cx+4=0.记 Q(x)=3x3+3bx2+4cx+4,则 Q/(x)=9x2+6bx+4c,-32b0,c=-2b+33,-1c0,0，故 Q/(x)=0 有相异两实根,即函数Q(x)有两个极值点,不妨设为 x1,x2(x1x2),则 Q(x)极大值为 Q(x1)，极小值为 Q(x2).下面要确定两个极值的符号，显然十分困难，从

9、函数结构特征上发现 Q(0)=4,它就是此题的一个“启示点”，因为 Q（x）在区间（x1,x2）内为减函数,所以 Q(x1)Q(0)Q(x2),则 Q(x1)一定为正，从而只须确定 Q(x2)的符号即可.而三次函数 Q(x2)=3 x23+3b x22+4c x2+4 的符号较难确定,函数 Q（x）具有一个特性，即 Q/(x2)恒为 0(x2为 Q(x)的极值点),以此为中心,利用它的特性进行两次降次，由 3 次降至 1 次,寻求解决问题的思路.Q(x2)=3 x23+3b x22+4c x2+4=13x2(9 x22+6b x2+4c)+b x22+83c x2+4=0+b x22+83c

10、x2+4=b9(9x22+6bx2+4c)+(83c-23b2)x2+4-49bc=(83c-23b2)x2+4-49bc.由韦达定理得 x1+x2=-23b,x1x2=49c,0 x1+x21,-49x1x20,x10 x2,x1-49x2,1x1+x2-49x2+x2,9x22-9x2-40,0 x243,http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网?F?M?N?T?H?y?x?O?P于是 Q(x2)=(83c-23b2)x2+4-49bc(83c-23b2)43+4-49bc-329+40,故 Q（x）与 x 轴只有一个交点,所以方程 F(x)=0 只有一个实根点评点

11、评:此题从函数特性中抓“启示点”引领思维“寻路”。特殊函数可以帮助我们轻松地选择思维的起点、方向、重心，以特殊函数特征、特性为中心，对信息层层剖析，使推理更具针对性、目标性。此题充分利用三次函数 Q(x2)具有的 Q/(x2)=0 这个特性,因势利导,由三次降为一次,拨开云雾挖掘出深层次的内涵,突破了关口.它的特性有着画龙点睛，凝神聚气之奇效!是思维的导向标!16.用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点 F 的光源所射出的光线 FP 经抛物线上任一点),(00yxP反射后（该点处的切线反射）反射光线 PM 与抛物线对称轴平行.点拨点拨：要证两直线平行，可从多种角度入手根据导数意义及切线特点，

12、从角方面研究本题较为方便.证：设抛物线方程为2(0)yaxa,则焦点为1(0,)4Fa.由抛物线定义知014PFya，又axy2，故 PN 的方程为0002()yyaxxx，令 x=0 得20002yyaxy 014FTya,FTFPFTPFPT FPHMPH 又,/FTPMPNMPy 轴17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以 202cms的流量倒入杯中，当水深为 4cm 时，求水面升高的瞬时变化率.变式变式:已知圆台形水桶高 60cm，上口直径为 60cm，底面直径为 40cm，现将水以 203cm s的流量倒入桶中，当水深为 20cm 时，求水面升高的瞬时变化

13、率.点拨：点拨：什么是水面升高的变化率？是)(th，还是th？它们与导数有何关系？当0t 时，水增量形状如何？这些都会导致对问题的不同思考与解法.解法解法 1 1：设当水深 hcm 时圆锥横截面半径为 rcm，对应体积为 V 可知，3388rhrh,23133()3864Vhhh,333()64hhhVtt 2233()3()()()64hhhhhhhttt 又当0t时，0h且20Vt，即2320364hh，当4h 时，2206480(cm s)949h.答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为80cm s9.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解法解法 2

14、 2：由231320364Vr hht得13336420642033htht于是2331206433ht 又当4h时，203t故809h.答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为80cm s9.解法解法 3 3：易知当水深为 4 时，水面直径为 3，设经秒t后水面上升为h，则此时水的增量近似地（看成圆柱）为2380()20,cm/s29hhtt 故.答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为80cm s9.点评点评：法 1 从导数定义出发，解决实际问题；法 2 则从实际问题中先提炼出函数解析式，然后对函数求导，法 3 是从变化率的本质入手，运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致

15、,给人耳目一新之感18函数 f(x)=x3-3tx+m(m,t 为实常数)是偶函数，且 g(x)=f(x)x2.（1）求实数 m 的值并比较 f(t)与 f(2 t)(t0)的大小；（2）求函数 y=f(x)在区间-2,2上的最大值 F(t).变式（07 福建改编）已知函数()exf xkxxR，.（1）若0k，且对于任意xR，()0fx 恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）设函数()()()F xf xfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFF nnN点 拔点 拔：（1）由)()(xfxf恒 成 立 易 得m=0 而()32ftt tt tt t，tttttttf268)2(，

16、故 f(t)=f(2 t)；（2）由于函数f(x)是偶函数，故要讨论函数f(x)在-2,2的最大值，只需讨论函数 f(x)在0,2的最大值.令 h(x)=x3-3tx(x0,2)，h/(x)=3x2-3t.当 t0 时，h/(x)=3x2-3t0,(仅当 t=0,x=0 时，h/(x)=0)，从而 h(x)是增函数，h(x)的值域为0,8-6t，F(t)=8-6t当 t0 时,分类的标准如何确定，先画出在 x0 时函数 f(x)的图像,如图所示，而(1)中结论 f(t)=f(2 t),以这个铺垫为中心，点明分类讨论的标准是什么，即区间0，2边界值 2 与 t 和 2t 大小关系为分类标准.分类

17、为：当 2 t,即 t4 时，h/(x)=3x2-3t0,从而 h(x)是减函数,f(x)在0，2单调递增函数，所以F(t)=f(2)=|8-6t|=6t-8；当t 22t,即 1t4 时,在0，t 上，f(x)为增函数，F(t)=f(t)=2t t；当 2 t 2,即 0t1 时，F(t)=f(2)=|8-6t|=8-6t.综上可得，F(t)=8-6t(t1)2t t(1t4)6t-8(t4).点评点评:此题从前置铺垫中抓“启示点”引领思维“指路”。在知识发展、生成过程中，前后知识有着必然的联系，前面的铺垫为后者的发展创建有效的平台,也为前者沉淀的知识得到全然的释放与延伸,开辟了通道，促使游

18、戈无序的思维有序化、方向化、目标化.?2?t?tyxOhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网19烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱 A,B 相距 20km，其中 B 烟囱喷出的烟尘量 A 的 8 倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C 处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.变式（06 年江苏）（如图）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥，试问当帐篷的顶点 O 到底面中心1O的距离为多少时，

19、帐篷的体积最大？点拨：点拨：如何求解实际应用问题，建立数学模型，构造目标函数，利用导数求其最值是此类问题的通法.解：不妨设 A 烟囱喷出的烟尘量为 1，则 B 烟囱喷出烟尘量为8，设 AC=x,0 xq0)且函数 f(x)在 x=a 和 x=b(ab)处取得极值（1）求证:paqb；（2）若 p+q22,则过原点与曲线 y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能请证明你的结论.若不能,说明理由点拨点拨：对可导函数而言，极值点是导函数的零点，而 p、q 又是 f(x)的零点，结合图像即可解决问题（1）.对（2）这种探究性问题，常假设成立，然后进行探讨，进而做出判断.解解:（1）f(x)=x3-

20、(p+q)x2+pqx,f(x)=3x2-2(p+q)x+pq，f(x)在 x=a,b 处取的极值,f(x)=0 的两根为 a,b.又f(q)=q(q-p)0 而 pq,由二次函数 y=f(x)的图象可知 paqb.（2）设过原点的直线与曲线 y=f(x)切于点 T(x0,y0)且切线方程为 y=kx,则 k=f(x0)=20032()xpq xpq又 T 在切线 y=kx 上，y0=kx0.y0=3200032()xpq xpqx,而 T 在曲线 y=f(x)上，y0=3200032()xpq xpqx，23200()0 xpq x解得00 x 或02pqx.故过原点的两条切线的斜率分别为 k1=f(0)=pq,k2=f(2pq)=21()4pqpq若两条切线互相垂直，则 k1k2=-1,即 qp21()4pqpq=-1即2()44pq pqpq,从而得24()48pqpqpq.而已知 0p+q22,可得8)(2 qp,互相矛盾，故不存在适合条件的两条直线.点评：点评：本题通过导数的几何意义，考查了曲线的极值、切线等有关知识，旨在培养学生的应用意识http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网及代数推理探究能力