2021-2022学年江西省赣州市赣县第三中学高二3月月考数学（理）试题解析.doc

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1、2021-2022学年江西省赣州市赣县第三中学高二3月月考数学（理）试题一、单选题1设；，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】当时，显然成立，即若则成立；当时，即若则不成立；综上得p是q充分不必要条件，故选：A.2若，则（）ABCD【答案】A【分析】利用导数的定义可求得结果.【详解】由导数的定义可得.故选：A.3已知是直线，是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即

2、可求解【详解】对于A，若，则或与相交，所以A错；对于B，若，则或或与相交，所以B错；对于C，若，则或，所以C错；对于D，若，则，由面面垂直的判定可知选项D正确【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题4设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于（）ABCD【答案】C【分析】设四面体的内切球的球心为，可得四面体的体积等于以球心为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，即可求解，得到答案【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心

3、到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以球心为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，又由四面体的表面积为，所以四面体的体积为，故选：C5如图，空间四边形OABC中，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（）ABCD【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解【详解】由题意，又，,故选：B6利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（）A1项Bk项C项D项【答案】D【分析】得和时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数.【详解】当时，不等式左边的最后一项为，而当时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加，所以增加了项.故选：D7

4、某校举办“中华魂”中国梦主题演讲比赛聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（）A，86B，87C，87D，86【答案】C【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i5，由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为故选：C8已知，则以下不等式正确的是（）ABCD【答案】C【分析】由

5、于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，令，则，当时，当时，所以在上递增，在上递减，因为，所以，因为，所以，所以故选：C9建在水源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用下图是世界最高的电厂冷却塔中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线，为该双曲线的两条渐近线，向上的方向所成的角的正切值为，则该双曲线的离心率为（）AB5CD【答案】C【分析】由渐近线的倾斜

6、角与已知角之间的关系求斜率，然后代公式可得.【详解】解：设的倾斜角为，向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则，得或（舍），又，即，所以故选：C10如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，现在截面内随机取一点，则此点满足的概率为（）ABCD【答案】D【分析】连接交平面于，则为和的交点，设，用表示，然后解出的范围，即可判断点轨迹，利用几何概型概率的计算求出要求的概率【详解】解：连接交平面于，则为和的交点，由正方体的性质可得平面，设，即，满足的点的轨迹所围成的面积为，又截面的面积为，故所求概率故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是将问题转化为平面区域型

7、几何概型问题，利用数形结合思想求解11在长方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示则， 设，则，设平面的法向量为则，令，得所以，由于，由于，所以故选：D12已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点其中M在第一象限，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由椭圆的对称性知

8、：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，整理得，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.二、填空题13用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是_.【答案】方程没有实根【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论【详解】解：用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程没有实根故答案为：方程没有实根14某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，

9、进行5次试验，收集到的数据如表：产品数x个1020304050产品总成本(元)62688189由最小二乘法得到回归方程，则_.【答案】【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可.【详解】，因为线性回归方程过样本中心点，所以，故答案为：15利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是_.【答案】75【分析】根据随机数表法进行抽样即可.【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符

10、合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.所以读出的第3个数是：75.故答案为：75.16已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，的面积是面积的4倍，则直线l的方程为_【答案】【分析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，而的面积是面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【

11、点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.三、解答题17设：实数满足，：实数满足.(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分别求出、为真时参数的取值范围，再由为真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依题意是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，即可得到不等式组，解得即可；【详解】(1)解：当时，即，解得，即为真时，实数的取值范围为实数满足，即，解得：，即为真时，实数的取值范围为因为，所以，即；(2)解：

12、由，即，所以，因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，则，解得；18设数列满足，（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）令，证明：【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知直接求解，猜想的通项公式为，；利用数学归纳法的步骤证明即可；（2）求得，放大后利用裂项相消法求和，即可证明结论【详解】（1）由，得，猜想的通项公式为下面利用数学归纳法证明：当时，成立；假设当（，）时成立，即，则当时，当时结论成立综上所述，对于任意，有；（2）证明：，则19进入11月份，大学强基计划开始报名，某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测

13、试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图2所示的成绩频率分布直方图：(1)估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数；(每组数据用该组的区间中点值表示)(2)某校决定从本校综合素质成绩排名前6名的同学中，推荐3人参加强基计划考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.【答案】(1)平均值为74.6分，中位数为75分；(2).【分析】(1)利用频率分布直方图平均数和中位数算法直接计算即可；(2)将学生编号，用枚举法求解即可.【详解】(1)依题意可知：综合素质成绩的平均值为74.6分.由图易知分数在506060707080的频率分别为0.120.180.40，中位

14、数在7080之间，设为，则，解得，综合素质成绩的中位数为75分.(2)设这6名同学分别为，1，2，其中设1，2为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果为，共20种，其中含有文科学生的有，共16种，含文科生的概率为.20如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点(1)证明：平面PCD；(2)若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为与底面所成角，令，利用锐角三

15、角函数的定义求出，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【详解】(1)解：证明：在正中，为的中点， 平面平面，平面平面，且平面，又平面又，且，平面平面(2)解：如图，取的中点为，连接，在正中，平面平面，平面平面，平面，连接，则为与底面所成角，即不妨取， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有， 设面的一个法向量为，则由令，则，又因为面，取作为面的一个法向量，设二面角为，因此二面角的正弦值为21已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得答案；（2）求出，分

16、、 讨论的正负可得答案.【详解】(1)，又，.所求切线方程为.(2)由题意知，函数的定义域为，由（1）知，易知，当时，令，得或；令，得.当时，令，得；令，得或.当时，.当时，令，得；令，得或.综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数判断函数的单调性的问题，关键点是对进行讨论，考查了学生发现问题、解决问题的能力.22在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于、两点，弦的中点为，直线与

17、的斜率之积为且、记直线与的斜率分别为，请探究：是否存在正实数，使得，为定值？若存在，请求出及，的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、斜率公式进行求解即可.【详解】(1)因为离心率为，所以，即，因为，所以，即.因为点在椭圆上，所以.联列解得，.所以椭圆的标准方程为；(2)由得，当时，设，则因为直线与直线的斜率之积为，所以，即，所以，即，所以，化简得.因为弦的中点为，所以，又，所以假设存在正实数，使得，即对任意的符合条件的，恒成立，则，即，即，对任意的符合条件的恒成立，所以又，所以，.故存在正实数，使得.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键.第 16 页 共 16 页