2022高考数学：立意新颖界定明确有效区分——2022全国新高考1卷数学评析.doc

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1、立意新颖，界定明确，有效区分2022 全国新高考 1 卷数学评析“立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对一线教师的教学有导向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。1”这是命题研究组对 2022全国新高考 1 卷数学的总体感知。落实到 2022 全国新高考 1 卷数学的试题教学，这种感触逐步加深。2022 全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，对 2022 年全国新高考 1 卷数学题，深受启发，特撰写此文。立意新颖，不为题海战术开方便之门2022 全国高考数学试题颇具江苏特色。譬如：选择题压轴题第 8 题，解答题压轴题第 21 题等。选择题第 8 题及其出题背景

2、研究该题为 2016 年江苏高考试题第 17 题的改编。选项具有迷惑性，做到了“有效区分”。命题研究组研究员在给高一学生讲解第 8 题时，发现：有高一学生，采用“极端思想”，求得答案为 B。实则答案为 C。参考答案：V =144(sinq cos2 q)2 ；注意到1 1 sin q + sin q + 2 cos q2 2 2(sin2 q cosq)2 = sin4 q cos2 q = sin2 q sin2 q 2cos2 q ( )32 2 3=4274 64V =144(sinq cos2 q)2 144 = ，故，答案选 C，而非 B。27 3本题题源是教材习题，改编自 2016

3、 年江苏高考第 17 题。p教材习题 求函数 y = sin2 q cosq ) 的最大值。 (0 q 2试题修改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理1方向：处理成侧棱长为 1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为 1”、“母线长为 1”均改为“长为 a ”.（1）按处理方向处理，形成 1 稿.1 稿 已知一正四棱锥P - 的高为A1B C D1 1 1PO ,侧棱长为 a (a 0) ，记1p ，求其体积V 的最大值及此时 =qA1PO )(0 q 0) ，其底面正方形的中心为A O ,下部分

4、形状为正四1B C D1 1 1 1棱柱ABCD - ，其底面正方形的中心为O,要求正四棱柱的高O OA1B C D1 是正四棱1 1 1锥的高PO 的k (k 0)倍，求仓库容积V 最大时 PO 的长.1 1p 22 稿分析：记A =q (0 q 0)，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥1的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O，要求圆柱的高O1O是圆锥的高PO 的k (k 0) 倍，求仓库容积V 最大时1PO 的长.1注：该例为笔者文章“2例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是江苏高考数学复习指南（刘2蒋巍著）、中学学科

5、学法指导（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：拓展阅读 1：2019 江苏 19 题第 3 问及其新解法解答题第 21 题及其出题背景研究笔者长期从事竞赛数学教学工作。当笔者看到 2022 年全国卷第 21 题时，颇感熟悉。其出题背景为：“当点 A(m,n)(n 0) 在曲线上时，过点 A 作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为 P，Q，则直线 PQ 的斜率为定值。”这让笔者联想到 2009 年、2018 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题。（解答见拓展阅读 2）y原题如下：C A（2009 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题）如图，抛物线Py2 = 2x 及点

6、 P(1, 1)，过点 P 的不重合的直线l 、l 与此抛物线分别交1 2OxD B于点 A， B ，C ， D 证明： A， B ，C ， D 四点共圆的充要条件是直线l 与l 的倾斜角互补1 2（2018 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x y2 2M : + =1，过点 P(2, 2) 作直线l1,l2 与椭圆 M 分别交于 A,B 和C,D ，且直线6 3l l 的斜1, 2率互为相反数.（1）证明： PA PB = PC PD ；（2）记直线 AC,BD 的斜率分别为k1,k2 ，求证：k + k 为定值.1 2引理 过不在曲线上的点 P(

7、m,n) 作两条直线l l 分别与椭圆1, 2x y2 2E : + =1(a b 0) 交于a b2 23A,B 和 C,D 两点，且直线l1,l2 的倾斜角a,b 互补，则 PA PB = PC PD x = m + t cosa,证明：设过点 P(m,n) 倾斜角为a 的直线参数方程为y = n + t sina,(t 为参数)，与椭圆 E 联立方程组，整理得：(a sin a +b cos a)t + 2(a nsina +b mcosa)t + a n +b m a b = 0，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2所以PA PBa n + b m - a b2 2 2

8、2 2 2 同理可得a2 sin2 a + b2 cos2 aPC PDa n + b m - a b2 2 2 2 2 2 ，a2 sin2 b + b2 cos2 b故 PA PB = PC PD 成立反之，若 PA PB = PC PD ，也有sina = sinb a + b =p ，即倾斜角a,b 互补由于非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的，需要增加条件“两条直线倾斜角互补”，椭圆中的“割线定理”才能成立当点 P 在椭圆x y2 2E : + =1(a b 0) 的内部时，即为相交弦定理；a b2 2当点 P 在椭圆x y2 2E : + =1(a b 0

9、) 的外部时，即为割线定理；a b2 2当点 P(m,n)(n 0)在曲线上时，过点 P 作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为 A,C ，则直线 AC 的斜率为定值（2022 年全国 1 卷第 21 题出题背景）若曲线为椭圆x y2 2E : + =1(a b 0) 时，a b2 2kACb m2= ；a n2若曲线为椭圆x y2 2E : - =1(a 0,b 0) 时，a b2 2kACb m2= - ；a n2若曲线为抛物线 E : y2 = 2px(p 0)时，kAC p= - ； n推论 1：过点 P(m,n) 作两条直线l l 分别与椭圆1, 2x y2 2E :

10、 + =1(a b 0) 交于 A,B 和a b2 2C,D 两点，且直线l1,l2 的斜率 k1,k2 互为相反数，则 PA PB = PC PD 推论 2：过点 P(m,n) 作两条直线 l1,l2 分别与双曲线x y2 2E : - =1(a 0,b 0) 交于 A,Ba b2 2与 C,D 两点，且直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 互为相反数，则 PA PB = PC PD 推论 3：过点 P(m,n) 作两条直线 1, 2l l 分别与抛物线 E : y2 = 2px(p 0)交于 A,B 与 C,D两点，且直线 1, 2l l 的斜率k k 互为相反数，则 PA PB = PC

11、 PD 1, 24界定明确，对一线教师的教学有导向功能“基础题送分到位，中档题多题把关，难题有效区分。”选择题第 6 题为中档题，此类问题在往年全国卷及 20212022 年模考卷中常有涉及。方法较多，譬如：构造函数法。此类问题，需要考生熟悉常见的函数模型。参考答案：C类似考题：另外，多选题第 12 题、填空题第 16 题均属于把关题，能够有效区分不同水平的学生。5有效区分，让不同水平的学生高低立显2022 年全国 1 卷第 22 题，第 1 问是期望大部分学生能够得到分数的。时间来不及的学生，也可以通过猜想：a=1 并验证，得到一点分数。但第 1 问，要拿满分，需要分类讨论。第 2 问，则需

12、要严谨证明。在全卷多题把关的情况下，第22 题取得满分，实属凤毛麟角了。参考文献1刘 蒋 巍 . 一 道 高 中 数 学 联 赛 模 拟 题 的 命 制 与 解 析 J. 中 学 数 学 教 学 参考,2018(07):60-61.2例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)6拓展阅读 1：2019 江苏 19 题第 3 问及其新解法设函数 f (x) = (x - a)(x -b)(x - c),a,b,cR 、 f (x) 为 f（x）的导函数若 a = 0,0 b1,c =1，且f（x）的极大值为M，求证:M427（3）因为 a = 0

13、,c =1，所以 f (x) = x(x -b)(x -1) = x3 -(b +1)x2 +bx ，f(x) = 3x - 2(b +1)x +b 2因为 0 0 ，则 f (x)有2个不同的零点，设为 ( )x1, x2 x1 x2 由 f (x) = 0，得b+1- b -b+1 b+1+ b -b+12 2x = , x = 1 23 3列表如下：x(-, x )1x (x x )1, 21x2(x ,+)2f (x) + 0 0 +f x Z 极大值 极小值 Z( )所以 f (x) 的极大值 ( )M = f x 1解法三：p注意到：当q (0, ) 时，2 1cos2 q sin

14、4 q = 2cos2 q sin2 q sin2 q21 2 cos q + sin q + sin q2 2 2(2 3)34= ， 273当且仅当 sin2 q = 2 cos2 q ，即 cosq = 时，等号成立；3令 x = cos2 q ( 0,1) ，则4x(1- x)2 ；27因为 0 0,8k(k -1) 8k -16k + 22x + x = ,x x =1 2 2 1 2 22k +1 2k +1PA PB = (1+ k )(x - 2)(x - 2) = (1+ k )(x x - 2x x + 4)2 21 2 1 2 1 2=6(k +1)22k +12同理，可

15、得：PC PD =6(k +1)22k +12，故 PA PB = PC PD p（参数方程法）由题意知，可设直线 l 的倾斜角为a(0 a p，且a ) ，则 l 的倾斜1 22角为b，且a + bp ，故直线 l 的参数方程为1x = 2 + t cosa,(t为参数) 与椭圆联立方程组，y = 2 + t sina整理得：(cos a + 2sin a)t + 4(cosa + 2sina)t + 6 = 02 2 2由参数t的几何意义可得PA PB = t t =A B6cos a + 2sin a2 2同理，可得：PC PD =6cos a + 2sin a2 2，故 PA PB = PC PD （2）证明略。9