福建省泉州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(B).doc

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1、福建省泉州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷（B卷）二、选择题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的地项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5分y 有锚的得0分，部 分选对的得2分。9. 统计某商城一 年中各月份的 收入、支出（单位：万元悄况，并制作折线图如图所示，则下列说法错误的是八利润最高的 月份是 启份2B 7 月份至 9 月份的月平均支出0 万元D. 2 月 份至 3 月份的 收入的变化堂与 11 月 份至 120 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 支出利润 收入 支出月份的 收入的 变化量相同10.己知平面

2、非零向量 a,b ，下 列结论正确的是A.若存在非 零向最c使得C=bc ，则 a= bB. 己知向量 (1,1), b = (0,2） ，则 a 在b 方向上的投影向量是（0,1)C. 己知向量a= (6,2 ）与 b=(-3，灼的 夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k9D. 若忡，b是它们所在平面 所有向量的一组基底，且 a b不是基底，则 实数k 11. 四棱台ABCD-A1 B1C1 D1 的底 面ABCD是 正方形，A1 ABCD , AB= 2A A1 = 2A,B1则A. 该囚棱台的体积为：8. 平 面BB1 D1 AA1 C,Cc. 直线 BIB 与 直线 D1D 为异面直线D

3、. 直线 B1 D1 与直线 CD所成角向高一数学试题 第3页共8页1比 asin 2B = bsin A ：（2c - a) cos B = b cos A ； sin2 A -sin Asin C + sin2 C = sin2 B 这2个条件中任选个， 补充在下面的横线上， 并加以解答ABC 三个内角 A, B,C 的对应边分别为 ，b,c ， 且满足 (1）求角 B 的大小：(2）若 D 为边 AC 的中 点， 且 3, c=4 ， 求中线 BD 长注： 如果选择多个方案分别解答， 按第一个解答计分19 . ( 12分）如图所示， 在 四棱锥 P-ABCD 中， 已知 PA 面 ABC

4、D ， 且底面 ABCD 为梯形 BC/AD ,AB AD, PA= AD= 3BC = 3, AB= ， 点 E 在线段 PD上， PD= 3PE.Cl）求证： C 平面PAB:(2）求证： 平面PAC PCD.p20. (12 分甲、乙两人轮流投篮，每人每次投球， 甲先投旦先持中者在胜， 约定有人获胜 或每人都已投球 3吹时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为； 乙每次投篮投穿的概率为j，且各3次投 篮之而互不影响 求甲获胜的概率；(2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率21. (12分在平面四边形且BCD 中， 丘 = 30 , BC= 4 , BD =( 1）若 为等边三角形，求 6ACD

5、的面积1(2）若 ，求 AC 的最大值2021-2022 学年度下学期泉州市高中教学质量监测高一数学（B）参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。1B 2

6、C 3D 4A 5C 6C 7D 8A二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9ABC 10BD 11ABD 12BC三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。135 14 6p 15323716 7 ； - （第一空 2 分，第二空 3 分）4四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）2021 年 4 月 23 日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了 100 名学生，并获得了他们

7、一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为 5 组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的 2 倍（1）求第一组、第五组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取 6 人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数 x = 8，方差 s2 = 2，第五组得分的平均数 y = 5 ，方差t2 =1，则这 6 人得分的平均数 a 和方差s2 分别为多少（方差精确到 0.01）？数学参考答案及评分细则 第 1页（共 10页）17. 解：（1）设第一组的频率为 x ，则第五组的频率为 2x依题

8、意 x + (0.07 + 0.06 + 0.04)5 + 2x =1，解得 x = 0.012 分【若分开写，用频率乘以组距得第二、三、四组频率得 1 分，计算出第一组和第五组的频率和得 1 分】所以第一组的频率为 0.05，则第五组的频率为0.10 3 分频率直方图如下： 4 分【注：学生自行画图，适当降低要求，关键看补出的两个小矩形的高度是否分别为 0.01 和 0.02.】（2） 因为第 4 组和第 5 组的频数之比为 21，所以从第 4 组抽取 4 人，第 5 组抽取 2 人 5 分所以这 6 人得分的平均数a4 x + 2 y 48+ 25= = = 7 ，7 分6 6【有写公式，

9、计算错误，则公式正确得 1 分】 + - + + - + - + + - 2 2方差 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 s x a 2 t y a 4 2 8 7 2 1 5 7 s = = 2 6 63.67，4 2 2 和 ，则各得 1 分】2【若计算出 x = 264 y = 52i i t=1 t=1即这 6 人得分的平均数为 7，方差为 3.67 10 分数学参考答案及评分细则 第 2页（共 10页）18（12 分）在 asin 2B =bsin A；(2c - a)cos B = bcos A ；sin2 A-sin AsinC +sin2 C = sin2 B这三个

10、条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答ABC 三个内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c ，且满足_（1）求角 B 的大小；（2）若 D 为边 AC 的中点，且 a = 3， c = 4，求中线 BD 长注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分18解：（1） 若选： asin 2B = bsin A可化为 2asin Bcos B = bsin A ， 2 分由正弦定理，可得 2sin Asin Bcos B = sin Bsin A ，4 分因为 A,B(0,p) ，sin A 0,sin B 0 ，所以 cos1B = ，故2Bp= 6 分3若选：由正弦定理，可得 2s

11、inC cos B - sin Acos B = sin Bcos A， 2 分移项得 2sinCcos B = sin Acos B +sin Bcos A = sin(A + B) ， 3 分即 2sinCcos B = sin(p -C) = sinC ，4 分又因为C (0,p) ，所以 cos1B = ，故2Bp= 6 分3若选：由正弦定理，可得 a2 - ac + c2 = b2 ， 2 分由余弦定理，可得 cosBa2 + c2 -b2 ac 1= = = ， 4 分 2ac 2ac 2因为 B(0,p) ，所以Bp= 6 分3（3） 由余弦定理，可得b2 = a2 + c2 -

12、 2accosB =13，即b = 13 ，7 分因为 D 为边 AC 的中点，所以 13AD = CD = ， 2在ABD 中，由余弦定理，可得 cosADB =AD + BD - AB2 2 22AD BD， 9 分在BCD中，由余弦定理，可得 cosBDC =CD + BD - BC2 2 22CD BD， 10 分因为 ADB + BDC = p ，所以 cosADB = -cosBDC ，11 分即AD + BD - AB CD + BD - BC2 2 2 2 2 2= -2AD BD 2CD BD，解得37BD = 12 分2数学参考答案及评分细则 第 3页（共 10页）19（1

13、2 分）如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，已知 PA 底面 ABCD，且底面 ABCD为梯形，BCAD ，AB AD ，PA = AD = BC = ， AB = 2 ，点 E 在线段 PD 上， PD = 3PE 3 3（1）求证：CE平面 PAB ；（2）求证：平面 PAC 平面 PCD19解法一：（1）过 E 作 EFAD 交 PA 于点 F ，连接 BF 1 分因为 BCAD ，所以 EFBC 2 分又 PD = 3PE ，所以 AD = 3EF ， 3 分又 AD = 3BC ，所以 EF = BC ，4 分所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以CEBF ， 5 分又CE

14、平面 PAB ， BF 平面 PAB ，所以CE平面 PAB .6 分（2） 在梯形 ABCD 中， BCAD ， AB AD ， AD = 3BC = 3， AB = 2 ，所以 BC =1， AC = 3 ，CD = 6 ， 8 分所以 AC2 + CD2 = AD2 ，即 AC CD . 9 分因为 PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PA CD ，10 分又 PA I AC = A ，所以CD 平面 PAC ， 11 分又 CD 平面 PCD，所以平面 PAC 平面 PCD12 分解法二：（1）过 E 作 EGPA 交 AD 于点 G ，连接 CG .1 分因为 EG 平

15、面 PAB ， PA 平面 PAB ，数学参考答案及评分细则 第 4页（共 10页）所以 EG平面 PAB .2 分因为 PD = 3PE ，所以 AD = 3AG ，又 AD = 3BC ，所以 AG = BC ，又 BCAD ，所以四边形 BCGA 为平行四边形，所以CGBA ， 3 分又CG 平面 PAB ， BA 平面 PAB ，所以CG平面 PAB .4 分又 EG I CG = G ，所以平面 ECG 平面 PAB . 5 分又CE 平面 ECG ，所以CE平面 PAB . 6 分（2）同解法一 12 分20（12 分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，甲先投且先投中者获胜，约定

16、有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮之间互不影响（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了 2个球的概率20解：（1） 记 Ai , Bi (i =1, 2,3) 分别为甲、乙第 i 次投篮投中，1 分则“甲获胜”可记为事件A + A B A + A B A B A 4 分1 1 1 2 1 1 2 2 3因为 A , B (i =1, 2,3) 之间相互独立，上述三种分类之间互斥，5 分i i所以P(A + A B A + A B A B A )1 1 1 2 1 1 2 2 3= P(A ) + P(A ) P(B

17、) P(A ) + P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A )1 1 1 2 1 1 2 2 313= 7 分27（3） “投篮结束时乙只投了 2个球”可记为事件A B A B + A B A B A 9 分1 1 2 2 1 1 2 2 3因为 A , B (i =1, 2,3) 之间相互独立，上述两种分类之间互斥，i i所以P(A B A B + A B A B A )1 1 2 2 1 1 2 2 3= P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) + P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A )1 1 2 2 1 1 2 2 34= 12 分27数学参考

18、答案及评分细则 第 5页（共 10页）21（12 分）在平面四边形 ABCD中， CBD =30， BC = 4， BD = 2 3 .（1）若ABD为等边三角形，求ACD 的面积；（2）若 BAD = 60，求 AC 的最大值.21解：（1）在BCD 中，由余弦定理，得CD2 = BC2 + BD2 - 2BC BD cosCBD ，1 分3即CD2 =16 +12 - 2 4 2 3 = 4 ，所以 CD = 2. 2 分2所以 BD2 + CD2 = BC2 ，因此 BDC = 90 .3 分因为 ABD 为等边三角形，所以 ADB = 60 ， AD = BD = 2 3 ，所以 AD

19、C = 150 . 4 分所以1 1 1S = AD CD ADC = = sin 2 3 2 3 .6 分ACD2 2 2（2） 设 ADB = a (0 a 120)，则 ABD =120 - a . 7 分在ABD 中，由正弦定理，得AD BD=sin ABD sin BAD，8 分即AD 2 3=sin(120 -a ) sin 60，所以 AD = 4sin(120 -a)，9 分在ACD 中，由余弦定理，得 AC2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cosADC ，2即 AC = ( -a ) + - ( -a ) ( +a )10 分2 4sin 120 4 2 4sin

20、 120 2 cos 90=2 3 1 3 1 4 cosa + sina +16 cosa + sina sina + 4 2 2 2 2 = 8 3 sin 2a +16 .11 分所以当a = 45 时， AC2 取到最大值8 3 +16 ，即 AC 的最大值为 2 3 + 2 . 12 分数学参考答案及评分细则 第 6页（共 10页）22（12 分）在矩形 ABCD 中， AB = 4 ， AD = 2 点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 AE = 2 ， CF =1，沿 EF 将四边形 AEFD 翻折至四边形 AEFD ，点 A平面 BCFE（1）若平面 AEFD 平面 BCFE

21、 ，求三棱锥 B - FCD 的体积；（2）在翻折的过程中，设二面角 A- BC - E 的平面角为q ，求 tanq 的最大值22. 解法一：（1）在平面 AEFD 内做 DH EF 交 EF 于 H .平面 AEFD 平面 BCFE ，平面 AEFD I 平面 BCFE = EF ， DH EF ， DH 平面 AEFD ， DH 平面 BCFE ， 2 分【面面垂直定理不完整扣 1 分】 DH 即点 D 到平面 BCFE 的距离.在梯形 AEFD 中，过点 E 做 EG DF 交 DF 于G ，则 EG = 2 ，GF = 1， 2 2 5 EF = 5 ，sinEFG = = . 5

22、5在 RtDHF 中，6 5DH = DF sinEFG = ，3 分5三棱锥 B - FCD 的体积 1 1 1 6 5 2 51V SB-FCD =VD-FCB = FCB DH = 2 =3 3 2 5 54 分【其它求法对照此标准相应给分】（3） 如图，在平面 ABCD 内作直线 AO EF 交 FE 延长线于点O ， 交 CB 延长线于点 K . AO EF ， KO EF ， AO I KO = O ， AO,KO 平面 AOK ， EF 平面 AOK ，又 EF 平面 BCFE ，平面 AOK 平面 BCFE ， 5 分数学参考答案及评分细则 第 7页（共 10页）作 AM OK

23、 交OK 于点 M .平面 AOK 平面 BCFE ，平面 AOK I 平面 BCFE = OK ，AM OK ， AM 平面 AOK ， AM 平面 BCFE ， 6 分 AM BC .作 MN BC 交 BC 于点 N ，连接 AN . AM BC ， MN BC ， MN I AM = M ， BC 平面 ANM ， 7 分 BC AN ，又 BC MN ， ANM 为二面角 A- BC - E 的平面角. 8 分在 RtAKB 中， AK = 2 5 ，4 5AO = AO = ，56 5OK = .52 5设 MK = t( t 2 5) ，5MN = 2 5 t ， 2 2 16

24、(6 5 )2 2 12 5 4则 AM = AO -OM = - - t = -t + t - ， 9 分5 5 5 512 5-t + t - 42AM 5 3 5 5 2 55 tanq = tan ANM = = = - + - ( t 2 5) . 10 分MN 2 5 t t 4 52t5令 5 (1 5)u = u ，则t 2 22 5 3 2 1 5g(u) = -u +3u - = -(u - ) +1( u ) ， 11 分4 2 2 23u = 时， g(u) 取到最大值 1，综合可知 tanq 的最大值为 1. 12 分 当且仅当2解法二：（1）同解法一. 4 分（2）

25、如图，在平面 ABCD 内作直线 AO EF 交 FE 延长线于点 O ， 交CB 延长线于点 K . AO EF ， KO EF ， AO I KO = O ， AO,KO 平面 AOK ， EF 平面 AOK ，又 EF 平面 BCFE ，数学参考答案及评分细则 第 8页（共 10页）平面 AOK 平面 BCFE .5 分作 AM OK 交OK 于点 M .平面 AOK 平面 BCFE ，平面 AOK I 平面 BCFE = OK ，AM OK ， AM 平面 AOK ， AM 平面 BCFE ， 6 分 AM BC .作 MN BC 交 BC 于点 N ，连接 AN . AM BC ，

26、MN BC ， MN I AM = M ， BC 平面 ANM ， 7 分 BC AN ，又 BC MN ， ANM 为二面角 A- BC - E 的平面角. 8 分 AO EF ， AO EF ，则 AOM 为二面角 A- EF - B 的平面角.设 AOM = a ，a (0, ) .当a = 时，点 O 与 M 重合，由24 12ON = ，可得 tan 5AO = ，q = ；5 53当a (0, ) 时，因为24AO = ，所以54AM = sina ，54OM = cosa ，5所以 4 4 4 4 2 12 8AM = + cosa ，故 MN = 4- ( + cos a) =

27、 - cos a ， 5 5 5 5 5 5 5所以 tanqAM= =MN5 sina3 - 2cosa.9 分同理当a ( , ) 时，2 4 4AM = sina,OM = - cosa ， 5 5则 4 4 4 4 2 12 8AM = + cosa ，故 MN = 4- ( + cos a) = - cos a ， 5 5 5 5 5 5 5所以 tan 5 sinAM aq = =MN 3- 2cosa. 10 分设 5 sinay =3-2 cosasin(a +j) =，所以 5 sina + 2y cosa = 3y ，所以3y4y +52， 11 分数学参考答案及评分细则 第 9页（共 10页）其中j 为辅助角，sinj =2y5+ 4y2cosj =，55+ 4y23y| |1，由 ，解得 -1 y 1 ，4y +52 2 2此时 5 sina +2 cosa =3 ，解得cosa = ，所以当cosa = 时， tanq 取到最大值为 1， 3 3综合可知 tanq 的最大值为 1. 12 分数学参考答案及评分细则 第 10页（共 10页）