2021-2022学年河南省商丘市商丘名校高二下学期期中联考 数学（文）解析版.doc

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1、2021-2022学年河南省商丘市商丘名校高二下学期期中联考 数学（文）一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 观察下列各式：，则的个位数字是（ ）A. 3B. 9C. 7D. 1【1题答案】【答案】B【解析】【分析】个位数出现顺序为，且周期为4，即可确定的个位数字.【详解】由题设，个位数出现顺序为，且周期为4，所以，即的个位数字与相同.故选：B2. 虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（ ）A. 复数小数整数B. 复数无理数自然数C. 复数无理数整数D. 复数整数

2、小数【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据实数和复数的概念，直接判断即可.【详解】由复数的分类可得：1处填入复数；由实数的分类可得：2处填入无理数；由有理数的分类可得：3处填入整数.故选：C.3. 已知复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据复数在复平面内对应点的特征得到，解之即可求出结果.【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，得，解得，所以m的取值范围为.故选：C.4. 通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：；.对这两个模型进行了残差分析发现

3、：第个线性模型比第个线性模型拟合效果好.若用、，、分别表示模型与模型的相关指数与残差平方和，则结论正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【4题答案】【答案】A【解析】【分析】相关指数越大，残差平方和越小，拟合效果越好，据此即可判断【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，第个线性模型比第个线性模型拟合效果好，故选：A5. 给出如下“三段论”的推理过程：已知是函数的导函数，如果，那么是函数的极值点，（大前提）；因为函数在处的导数值，（小前提）；所以是函数的极值点.（结论）则上述推理错误的原因是（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 大前提

4、小前提都错误D. 推理形式错误【5题答案】【答案】A【解析】【分析】利用“三段论”的推理和极值点的定义判断.【详解】因为对应可导函数，如果，且满足和时，导函数值异号，那么是函数的极值点.所以大前提：“可导函数，如果，那么是函数的极值点”错误，但推理形式正确.故选：A.6. 如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，零件到达后，一件成品最少最多需要经过的工序数目分别为（ ）A. 4，6B. 4，7C. 5，6D. 5，7【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据流程图，直接判断答案即可【详解】由某产品加工为成品的流程图看出，一件成品最少经过的工序有：粗加工，检验，精加工，最后检验，共4道程

5、序；一件成品最多经过的工序有：粗加工，检验，返修加工，返修检验，精加工，最后检验，共6道程序.故选：A7. 新教材人教B版必修第二册课后习题：“求证方程只有一个解”.证明如下：“化为，设，则在R上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，解不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】将不等式变形为，进而构造函数，结合函数单调性解不等式即可求出结果.【详解】由不等式得.设函数，则，由，所以在R上单调递增，所以得，解得或.故选：D.8. 已知复数，且有，则（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据，求得，再由求解.【

6、详解】因为，则，因为，则，解得，此时，所以.故选：C.9. 甲乙丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦瑞典挪威芬兰冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲乙丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（ ）A. 丹麦B. 挪威C. 芬兰D. 冰岛【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意，逐一分析此运动员来着丹麦、瑞典、挪威、芬兰、冰岛，结合题意，分析即可得答案.【详解】若此运动员来自丹麦，则甲乙丙三人

7、中甲乙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自丹麦；若此运动员来自瑞典，则甲乙丙三人都猜测错误，与题设矛盾，故此运动员不来自瑞典；若此运动员来自挪威，则甲乙丙三人中只有甲猜测正确，与题设相符，故此运动员来自挪威；若此运动员来自芬兰，则甲乙丙三人中乙丙猜测是正确，与题设矛盾，故此运动员不来自芬兰；若此运动员来自冰岛，则甲乙丙三人中乙丙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自冰岛.综上可知，此运动员只能是来自挪威.故选：B10. 有如下四个命题，其中正确命题的序号是（ ）在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；在线性回归模型中，相关指数表示解释变量x对于预报变量y

8、的贡献率，越接近于0，表示回归效果越好；已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越小，则“X与Y有关系”的把握程度越小；在一组样本数据（，），（，），（，），（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.A. B. C. D. 【10题答案】【答案】A【解析】【分析】根据线性回归的相关概念，解析回归方程的意义，逐个选项进行判断即可.【详解】对于，在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，正确；对于，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故错误；对于

9、，对分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，则“X与Y有关系”的把握程度越小，故正确；对于，相关系数反映是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为，故错误.故选：A11. 某实验室在对细胞分裂的研究过程中发现，某种细胞的分裂速度y与细胞所处的温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）进行拟合.设，其变换后得到一组数据：x2123252729z22.4334.6由上表可得线性回归方程为，则当时，估计该细胞的分裂速度y的值为（ ）A. 4.9B. C. 5.9D. 【11题答案】【答案】D【解析】【分析】由回归直线过样本中心可得，进而

10、代入自变量求估计值.【详解】由表格数据得：，代入，得：，所以，即，从而有，当时，.故选：D.12. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占女生调查人数的.若有99%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的学生中男生人数可能为（ ）附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：.A. 13

11、5B. 145C. 146D. 150【12题答案】【答案】D【解析】【分析】设参加调查的男生女生各x人，然后完善列联表数据，计算出对比临界值，结合，且x是15的整数倍即可求出结果.【详解】设参加调查的男生女生各x人，依题意填写22列联表，如下：支持不支持总计男生女生总计若有99%的把握认为是否支持该政策与性别有关，则，即，解得，由题意知，且x是15的整数倍，所以x取150.故选：D.二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某高中建立了本校女学生的身高和预报体重的回归方程为：，其中，的单位分别是，则此方程在样本处的残差的绝对值是_.【13题答案】【答案】1.5【解析】【分析】利

12、用回归直线方程，求出的估计值，然后求解残差的绝对值.【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是，当时，此方程在样本处残差的绝对值：.故答案为：1.5.14. 若复数，为虚数单位）的实部和虚部相等，则_.【14题答案】【答案】【解析】【分析】化简可得，进而得到，再计算模长即可详解】依题意，则，得，所以，所以.故答案为：.15. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为33，则输入的整数t的最大值为_.【15题答案】【答案】32【解析】【分析】利用程序框图的功能一一循环，直至终止循环求解.【详解】第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，不成立；第四次循环，不成立；第五次

13、循环，成立；所以，则输入的整数t的最大值为32.故答案为：32.16. 在样本点的散点图中，所有的点都在曲线附近波动.经计算，则实数b的值为_.【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据样本中心点满足线性回归方程，代入计算即可【详解】令，则为，因为样本中心点在回归直线上，所以，可得.故答案为：.三解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17. 请选择适当方法证明.（1）已知，且，证明：；（2）已知，证明：a，b中至少有一个不小于0.【17题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）方法一：利用做差法，对因式分解，判断正负即可得出结论；即可证明；方法

14、二：利用综合法即可证明；（2）结合反正法假设ab都小于0，推出矛盾即可得出结论.【小问1详解】方法一（做差法）：因为，因为且，所以，所以，得证方法二（综合法）：因为，且，所以，所以，展开得：，所以，即，得证【小问2详解】（反证法）假设ab都小于0，即，则有，因为，则，这与假设所得相矛盾，因此，假设不成立.所以，ab中至少有一个不小于0.19. 已知复数，为虚数单位.（1）若是纯虚数，求实数m的值；（2）若，求实数m的值.【19题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解.（2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚

15、部为0，即可求解.【小问1详解】化简，因为为纯虚数，则，解得【小问2详解】因为，则，解得.21. 开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在教材选修12第二章推理与证明的学习中，我们知道，很多平面图形可以推广为空间图形.如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等.如图1，在三角形ABC中，已知，若，则.类比该命题：（1）如图2，三棱锥ABCD中，已知平面ABC，若A点在三角形BCD所在的平面内的射影为M，你能得出什么结论；

16、（2）判断该命题的真假，并证明.【21题答案】【答案】（1）答案见解析； （2）真命题，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用类比推理可得命题；（2）利用线面垂直的判定定理及性质可得，进而可得，然后利用面积公式即得.【小问1详解】命题是：在三棱锥中，已知平面ABC，若A点在三角形BCD所在的平面内的射影为M，则有；【小问2详解】该命题为真命题.证明如下：连接DM并延长交BC于点E，连接AE，因为平面ABC，AE平面ABC，所以，.因为平面BCD，DE平面BCD，所以，.因为，所以平面ADE.因为AE平面ADE，所以，因为，所以，所以，所以，即.23. 2022年年度大剧人世间自1月28日在央视

17、一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂.某调研机构为了解某社区居民对该剧的收视情况，随机抽取了该社区年龄在3060岁的600名居民进行调查，经统计，其中男性居民与女性居民的人数之比是.收看本剧的居民比没有收看本剧的居民多300人，女性居民中仅有60人没有收看本剧.（1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为收看过电视剧人世间与性别有关？观看过没有观看过合计男性女性60合计600（2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5人，若要从这5人中随机选出2人对其做进一步的观剧感受访谈，求选出的2人中至少有一位是男性居民的概率.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.001

18、2.7063.8415.0246.63510.828【23题答案】【答案】（1）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为收看过电视剧人世间与性别有关 （2）【解析】【分析】（1）根据题目信息完善列联表数据，进而计算出，对比临界值即可得出结论；（2）根据古典概型的计算公式即可求出结果.【小问1详解】由题意，调查的600名居民中，男性与女性居民的人数之比是9：11，故男性有人，女性有人.因为收看过本剧的居民比没有收看过的居民多300人，所以收看过本剧的居民有450人，没有收看过本剧的居民有150人；因为没有收看过本剧的女性有60人，所以收看过本剧的女性居民有270人，没收看过本剧的男性有90人.完

19、成22列联表，如下：观看过没有观看过合计男性18090270女性27060330合计450150600所以，所以有99.9%的把握认为收看过电视剧人世间与性别有关.【小问2详解】收看过电视剧人世间的共有450人，从中抽取5人，抽到的男性人数女性人数分别为：（人），（人），记2名男性分别是a，b；3名女性分别是A，B，C.则从5人中选出2人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个；选出的2人中至少有一位是男性的事件有7个.所以选出的2人至少有一位是男性的概率.25. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，

20、而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”，近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车某区域销售在2021年11月至2022年3月这5个月的销售量y（单位：百辆）的数据如下表：月份2021年11月2021年12月2022年1月2022年2月2022年3月月份代码：x12345销售量y（单位：百辆）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码x与该品牌的新能源汽车区域销售量y（单位；百辆）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，

21、计算r时精确度为0.01.）（2）求销售量y与月份代码x之间的线性回归方程，并预测2022年4月份该区域的销售量（单位：百辆）.参考数据：，参考公式：相关系数，线性回归方程中，其中，为样本平均值.【25题答案】【答案】（1）有较高的线性相关程度 （2），80.8百辆【解析】【分析】（1）根据所给数据算出相关系数即可；（2）根据所给数据和公式算出答案即可.【小问1详解】由表中数据可得，所以，又，所以.所以月份代码x与销售量y（单位：百辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量y与月份代码x之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得，则，所以，令，可得（百辆），故可预测2022年4月该品

22、牌新能源汽车该区域的销售量为80.8百辆.27. 椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线（1）设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；（2）设椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值，类比椭圆的性质：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想的值，并证明.【27题答案】【答案】（1）猜想：，证明见

23、解析 （2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）设，再表示，最后根据A，B满足椭圆的方程式化简即可（2）设，再根据，求得直线PA方程为，得到点M坐标，表达出，同理得到，再根据满足双曲线方程代入化简即可【小问1详解】猜想：.证明：设，则有，则.将A，B的坐标代入椭圆方程中得：，-得：，即.【小问2详解】猜想：证明：由题意得，设，则，所以直线PA方程为.令，则，所以点M坐标为.又，所以；同理可得：.所以，又因为，所以，得证.【点睛】本题主要考查了利用圆锥曲线上的点满足圆锥曲线的方程，进而化简所求表达式的值的方法，需要根据题意根据相关直线的方程联立求解得出相关点的坐标，再化简求解，属于中档题18