2021-2022学年四川省内江市威远中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题解析.doc

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1、2021-2022学年四川省内江市威远中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1已知命题：，则为（）A，B，C，D，【答案】C【分析】根据特称命题的否定变量词否结论即可得正确答案.【详解】命题：，则为，故选：C.2若，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】运用充分必要条件定义判断求解【详解】解：，当时，即或，不一定成立当时，成立，由充分必要条件定义可判断：“”是“”的必要不充分条件，故选：3抛物线的焦点坐标是（）ABCD【答案】D【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可求解.【详解】因为抛物线，所以抛物线，所以抛物线的

2、焦点在轴上，则焦点坐标为.故选：D.4已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）ABCD【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程.【详解】直线与轴的交点为,直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.则，所以椭圆的方程为：.故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.5平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（）ABCD【答案】D【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.【详解】解：由可知，点的运动轨

3、迹是以，为焦点的双曲线右支，.所以动点的轨迹方程是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.6已知抛物线的焦点为，是上一点，则（）A1B2C4D8【答案】A【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可.【详解】由抛物线方程 ，得p=1，准线方程为 ， 点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即 ，解得 ；故选：A.7已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】由题可得，即，由此即可求出离心率.【详解】直线的斜率为，由题意，得，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.8已知抛物线的焦点为F，定点，点

4、P是抛物线上一个动点，则的最小值为（）A3B4C5D8【答案】C【分析】作出示意图，利用抛物线定义将转化为，即可求得答案.【详解】由题意可判断在抛物线内部，如图示，作 垂直于抛物线的准线，垂足为E，则 ,故,过A作抛物线准线的垂线，如图中虚线位置，交抛物线于点，则当P点位于时，即A,P,E三点共线时，取得最小值，最小值为 ，故选:C.9已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（）AB24CD16【答案】D【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长【详解】由题意抛物线准线为，解得，的周长为故选：D【点睛】本题考查

5、抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值10已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=AB3CD4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，

6、根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.11椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】C【分析】由题可得直线AB的方程，从

7、而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，到直线AB的距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.12设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为ABCD【答案】C【详解】由轴得：，所以，又，由，由，得：，因此，代入椭圆方程得：.故选：C二、填空题13若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_【答案】【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可【详解】命题“”是假命题，则命题“”是真命题，则，解得则实数的取值范

8、围是故答案为【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题14直线与双曲线相交于、两点，_.【答案】【分析】设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，然后利用弦长公式可求得.【详解】设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，由弦长公式得.故答案为：.【点睛】本题考查直线与双曲线相交所得弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.15已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是_.【答案】4【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出的值，再根据勾股定理，可证明是以为直角边的直角三角形，由此即可求出结果.【详解】由椭圆的

9、定义可知，又，联立两式 ，可得又，所以，所以是以为直角边的直角三角形，所以的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题.16已知椭圆，过左焦点任作一条斜率为的直线交椭圆于不同的两点，点为点关于轴的对称点，若，则面积的取值范围是_【答案】，【分析】先设出直线方程，联立直线和椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和与积，利用得到关于的表达式，再利用函数的单调性求其最值.【详解】由题意，设，则，直线的方程为，与椭圆方程联立得，消去，得，所以，因为，所以，即，即，不妨设，则令，由对勾函数的性质得，函数在，上单调递减，在，上单调递增，所以，当时，当

10、时，所以，所以，即，所以面积的取值范围是，故答案为：，三、解答题17已知方程表示双曲线(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】(1)或(2)【分析】（1）由方程表示双曲线可得，解不等式可求得集合；（2）解一元二次不等式可得集合，由充分不必要条件定义可知，由此可得不等关系，可求得的范围.【详解】(1)方程表示双曲线，解得：或，或.(2)由得：，即；是的充分不必要条件，或，即或，实数的取值范围为.18如图，四棱锥中，底面是梯形，是等边三角形，是棱的中点，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1

11、）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】(1)为等边三角形，为中点，且；，四边形为平行四边形，又，又，平面，平面.(2)，四边形为平行四边形，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，即直线与平面所成角的正弦值为.19中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点、，且，椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为37，求这两条曲线的方程.【答案】，【分析】设椭圆的方程为，双

12、曲线的方程为，则可得，再结合，即可解出，得到这两条曲线的方程【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，半焦距，由已知得：，解得：，所以：，所以两条曲线的方程分别为：，【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，以及椭圆和双曲线的方程的求法，属于基础题20已知抛物线过点(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度【答案】(1)抛物线，准线：.(2)【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.【详解】(1)过点，解得

13、：，抛物线，准线方程为：(2)由（1）知：抛物线焦点为，设直线，由得：，.21已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，(1)求抛物线方程；(2)若，求的值；(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由可构造方程求得；（3）设，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值.【详解】(1)抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；(2)由题意知：，可设直线，即

14、，由得：，即，解得：，；(3)由题意知：直线的斜率均存在，不妨设，则；由得：，则，即；，；同理可得：，（当且仅当，即时取等号），面积的最小值为.22已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；（3）设，为椭圆的左右顶点，为椭圆上除，外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.【解析】（1）记焦距为，根据题中条件，列出关于的方程组求解，得出，即可得出椭圆方程；（2）设，联立直线与椭圆方程，由韦达

15、定理，得到和，由判别式大于零求出范围，根据题中条件，得到，由此求出，即可得出结果；（3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，根据和两点的坐标得出和的横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.【详解】（1）记该椭圆的焦距为，由题意可得，解得，因此椭圆的方程为；（2）设，由消去，整理得，所以，则；又以线段为直径的圆经过原点，所以，则，所以，即，则，整理得满足，所以；（3）因为，为椭圆的左右顶点，所以，由题意，设，则，所以，则，因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，则为中点，所以，又直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为，因此直线的方程为，即；又直线的斜率为，所以直线的方程为，由可得，则，解得，即，又、分别为、在轴的垂足，则，所以为定值.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于，根据线段为直径的圆经过原点得到，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理进行求解；求解本题第三问的关键在于设出点坐标，根据点坐标表示出直线方程，求出和的坐标，即可求解.第 15 页 共 15 页