2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（理）试题解析.doc

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1、2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1设复数（为虚数单位），则（）ABCD【答案】A【分析】应用复数的乘法求，再根据共轭复数的定义写出即可.【详解】由，则.故选：A2设是可导函数，当，则（）A2BCD【答案】C【分析】由导数的定义可得，即可得答案【详解】根据题意，故.故选：C3已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A是函数的极大值点B函数在区间上单调递增C是函数的最小值点D曲线在处切线的斜率小于零【答案】B【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在

2、上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B4直线是曲线的一条切线，则实数b=（）A-1或1B-1或3C-1D3【答案】B【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值.【详解】令，解得，故切点为或，而，所以或.故选：B5定积分（）A3B4C5D6【答案】C【分析】利用微积分基本定理即可求解.【详解】.故选：C6若函数满足，则的值为（）A1B2C0D【答案】C【解析】求导得到，取带入计算得到答案.【详解】，则，则，故.故选：C.【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.7已知函数，则的单调

3、递减区间是（）ABCD【答案】B【分析】利用导数研究的单调递减区间.【详解】由题设，又定义域为，令，则，解得，故，在上递减.故选：B.8用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（）ABCD【答案】C【分析】将容器容积表示成底面宽的函数关系，然后利用导数求此函数的最值，由此即可求出结果【详解】设容器底面宽为米，则另长为米，由总长，所以高为米由，得，设容器的容积为，则有整理，得，所以令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，此时宽.故选：C9已知函数，若在单调递增，a的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据函数的单调

4、性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参数的范围.【详解】因为在单调递增，故在区间恒成立，即，令则，故在单调递增，则，故，的取值范围为.故选：B.10若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，设，根据且，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D.11已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解

5、.【详解】根据题意，构造函数，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.12若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】对函数求导，可得，可知当时函数有一个极值点，故当时有两个极值点，即有两解，分离参数可转化为两个函数有两个公共点，结合函数图像即可得出的取值范围.【详解】解：由题意可知，可知当时函数有一个极值点，故当时有两个极值点，由得，令，则与直线有两个公共点，函数在单调递增，在单调递减，图像如图所示，故，即，故选：D.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题

6、注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理二、填空题13由抛物线，直线及轴围成的图形的面积为_【答案】【分析】画出由抛物线，直线及轴围成的图形，面积可用定积分表示为：，计算即得解【详解】由题意，由抛物线，直线及轴围成的图形如下图阴影部分所示：可用定积分表示为：故答案为：1【点睛】本题考查了定积分在曲边梯形面积表示中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题14曲线在点(0，1)处的切线方程为_【答案】【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程【详解】解：，切线的斜率为则切线方程为，即故答案为

7、：15若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最小值为_.【答案】-4【分析】求导，分， 两种情况，根据在上有一个零点，求得a，再利用导数法求其最小值.【详解】因为函数f(x)2x3ax21(aR)，所以，当时，则在上递增，又，所以在上无零点；当时，当时，当时，因为在上有一个零点，所以，解得，则，当时，当时，又，所以f(x)在1，1上的最小值为-4，故答案为：-416若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围_.【答案】.【分析】构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性即可求解.

8、【详解】，设，则，为奇函数，又，在上是减函数，从而在上是减函数，又，等价于，即，解得，故答案为：.三、解答题17已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.【详解】（1），令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，而，的最小值是，的最大值是；（2），设切点坐标为，则切线方程为，切线过点，化简得，或切线的方程

9、：或【点睛】本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.18已知函数，讨论的单调性【答案】答案见解析【分析】由，求导得到，再分，由，求解.【详解】解：， ， 当时，函数在上单调递增当时，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减19设函数的导数满足，.(1)求的单调区间；(2)在区间上的最大值为，求的值.(3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，(2)(3)【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间

10、的关系即可求的单调区间；（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.【详解】(1)由可得，因为，所以，解得：，所以，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.(2)由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，则在区间上的最大值为，所以.(3)由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.20已知函数，其中，e为自然对数的底数.(1)求函数的最小值；(2)若函数在区间上有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)(

11、2)【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，即得解；（2）对分三种情况讨论分析函数的图象即得解.【详解】(1)解：，.令，得；令，得.在上单调递减，在上单调递增.(2)解：由（1）知，当时，在区间上单调递增，此时在区间不可能有两个零点；当时，在区间上单调递减，此时在区间不可能有两个零点；当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，又，当，即时，在区间上有一个零点.当时，在区间上有两个零点.21在长方体中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，ABAD：AA1=124(1)求异面直线EF，A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面；(3)求二面角A-ED-F正弦值.【答案】(1)(2

12、)证明见解析(3)【分析】（1）利用空间向量求两直线的余弦值.（2）利用AF与平面内的两条向量乘积为0即可证明.（3）利用二面角的向量求法求出夹角的余弦值，然后求出正弦值.【详解】(1)如图所示：建立空间直角坐标系，以A点为原点，AB方向为轴，AD方向为轴，方向为轴，设，依据题意可知，设异面直线和所成角为，则，所以异面直线和所成角的余弦值为 (2)证明：连接ED，易知，于是，因此：，又，所以平面(3)设平面的一个法向量为则，即不妨令，可得.为平面的一个法向量，故二面角A-ED-F正弦值为22已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.【答案】（1）；（2）详见解析.【详解】

13、试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立.（1）因为，当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数；所以，.当，则，故在上是减函数，所以，综上所述，.（2）令，当时，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，当时，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有.【解析】函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函

14、数的单调性.23已知函数.(1)当时，求在上的极值点的个数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)存在唯一的极值点(2)【分析】（1）将问题转化为导函数在定义域内的零点个数问题，根据导函数的单调性，结合零点存在性定理可解；（2）参变分离，将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数讨论可得.【详解】(1)当 ，令 ，易知在上单调递增，所以 在有唯一零点，即在有唯一零点，所以当时，时所以在上存在唯一的极值点；(2)由条件整理得：对 恒成立， 令 ， 令 在上有唯一零点，且，所以当时，时， ， 得 ，令，易知在单增，故，得， .【点睛】本题第二问属于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.第 16 页 共 16 页