2022年高斯消元法解线性方程组.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程治理中有很多问题常常可以归结为线性方程组类型的数学模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也不肯定相同；那么这样的线性方程组是否有解呢？假如有解,解是否唯独？假设解不唯独,解的结构如何呢？这就是下面要争论的问题；一、线性方程组设含有 n 个未知量、有 m 个方程式组成的方程组a x 1a x22a xnnb 1m3.1a21x 1a22x 2a2nxnb2am 1x 1am 2xamnxb其中系数 aij ,常数 b j 都是已知数, x i 是未知量也称为未知数 ；当右端常数项

2、 b1 , b2 , , bm不全为 0 时,称方程组3.1为非齐次线性方程组； 当b1=b2 = =bm= 0 时,即a x 1 a x 2 a x n 0a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 03.2a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0称为齐次线性方程组 ；由 n 个数 k1, k 2 , , k n 组成的一个有序数组k1 , k 2 , , k n ,假如将它们依次代入方程组 3.1中的 x1, x2 , , xn 后, 3.1中的每个方程都变成恒等式,就称这个有序数组 k 1, k 2 , , k n 为方程组3.1的一个 解；明显由 x1=

3、0, x2 =0, , xn =0 组成的有序数组 0, 0, , 0是齐次线性方程组 3.2的一个解,称之为齐次线性方程组3.2的 零解 ,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时,称之为 非零解 ；利用矩阵来争论线性方程组的解的情形或求线性方程组的解是很便利的；因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式；非齐次线性方程组 3.1的矩阵表示形式为：其中AX = BA 和a 11a 12a 1 nx 1b 1A = a21a22a2n,X = x2,B = b 2am 1a m2amnxnb n称 A 为方程组的 系数矩阵 ,X 为未知矩阵, B 为常数矩阵；将系数矩阵常数矩阵 B 放在一起构成

4、的矩阵1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 12a 1 nb 1AB=a 21a 22a2nb 2a m 1a m2amnb m称为方程组的 增广矩阵 ；齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX = O 二、高斯消元法下面介绍利用矩阵求解方程组的方法,那么矩阵初等行变换会不会转变方程组的解呢？我们先看一个定理；定理 3.1 假设用初等行变换将增广矩阵 A B 化为 C D ,就 AX = B 与CX = D 是同解方程组 ；证 由定理可知,存在初等矩阵 P1, P2 , , Pk ,使Pk P2 P1 A B

5、 = C D 记 Pk P2 P1 = P,就 P 可逆,即 P 1存在；设 X 1 为方程组 A X = B 的解,即A X 1 = B 在上式两边左乘 P,得P A X 1 = PB即C X1 = D说明 X 1 也是方程组 C X = D 的解；反之,设 X 2 为方程组 C X = D 的解,即C X 2 = D在上式两边左乘 P 1,得P 1C X 2 = P 1D 即A X 2 = B 说明 X 2 也是方程组 AX = B 的解；因此,方程组 A X = B 与 C X = D 的解相同,即它们是同解方程组；证毕由定理 3.1 可知,求方程组 3.1的解,可以利用初等行变换将其增

6、广矩阵AB 化简；又有其次章定理2.10 可知,通过初等行变换可以将AB化成阶梯形矩阵；因此,我们得到了求解线性方程组3.1的一般方法： 用初等行变换将方程组3.1的增广矩阵AB化成阶梯形矩阵,再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组,逐步回代,求出方程组的解；由于它们为同解方程组,所以也就得到了原方程组3.1的解；这种方法被称为 高斯消元法 ,下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - x1x22x3x41例 1解线性方程组x1x 15 x223x32x 403.33xx34x

7、 42解先写出增广矩阵2x 12x2x3x41AB,再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵,即112111 11211AB=15320 2304111311420477522111043311121111211 1 04111 104111300666006660022200000上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组,最终一个增广矩 阵表示的线性方程组为将最终一个方程乘x1x22x3x414x2x3x416 x36x461 6,再将 x4 项移至等号的右端,得x3x41将其代入其次个方程,解得再将 x 2,x 3代入第一个方程组,解得1x2x122x41因此,方程组 3.3的解为x

8、 11x 4123.4x221x3x4其中 x4 可以任意取值；由于未知量 x 4的取值是任意实数,故方程组3.3的解有无穷多个；由此可知,表示式 3.4表示了方程组 3.3的全部解；表示式 3.4中等号右端的未知量 x4 称为 自由未知量 ,用自由未知量表示其它未知量的表示式3.4称为方程组3.3的一般解 ,当表示式 3.4中的未知量 x4 取定一个值如 x 4 =1,得到1 1方程组 3.3的一个解如 x1 2, x2 2, x 3 0 , x 4 1,称之为方程组3.3的特解 ；留意,自由未知量的选取不是唯独的,如例3 1 也可以将 x 3取作自由未知量；名师归纳总结 - - - - -

9、 - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如将表示式 3.4中的自由未知量 程组 3.3的一般解为x 1k12x4 取一任意常数 k,即令x4 = k,那么方x 2121,其中 k 为任意常数；x 3kkx 4用矩阵形式表示为x 11k12=k01123.5x2212x3kk1111x40其中 k 为任意常数；称表示式 3.5为方程组 3.3的全部解；用消元法解线性方程组的过程中,当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后,要写出相应的方程组,然后再用回代的方法求出解；假如用矩阵将回代 的过程表示出来,我们可以发觉,这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简

10、化,使其最终化成一个特别的矩阵,从这个特别矩阵中,就可以直接解出或“ 读出”方程组的解；例如,对例1 中的阶梯形矩阵进一步化简,112101 1 621101104111040021200666001110000000000101141 0100120011100000上述矩阵对应的方程组为x 1 x 4 1 2x 2 1 2x 3 x 4 1将此方程组中含 x 4的项移到等号的右端,就得到原方程组3.3的一般解,x 1 x 4 1 2x 2 1 23.4x 3 x 4 1其中 x4 可以任意取值；例 2解线性方程组2x12x23x34x13x25 x374x13x29x392x15x28x3

11、84 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵AB化成阶梯阵,再求解；即AB=112234412034423570111439905372588012031230101110111002200110011000012703010201020011001100000000一般解为x 131B化成阶梯阵,再求解；即x 22x 31x1x2x31例 3解线性方程组x12x24x322x 15x2x33解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵A1111111AB=124203332513033111

12、110x 10x 20x 32,由该方03330002阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, - 2” 所表示的方程为：程可知,无论 x1 , x2 , x 3取何值,都不能满意这个方程；因此,原方程组无解；三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法,通过例题可知,线性方程组 的解的情形有三种： 无穷多解、唯独解和无解； 从求解过程可以看出, 方程组3.1是否有解,关键在于增广矩阵AB化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等；因此,线性方程组是否有解,就可以用其系 数矩阵和增广矩阵的秩来描述了；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5

13、 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 3.9线性方程组 3.1有解的充分必要是r A = r A B ；证设系数矩阵 A 的秩为 r,即 r A = r；利用初等行变换将增广矩阵AB化成阶梯阵：AB初等行变换c 11*c 1sc 1nd11= C00c 2k*c 2sc 2nd20000c rsc rndr000000dr0000000D 故 AX = B 与 CX = D 是同解方程组,因此AX = B 有解 d r 1= 0 r C D =r C = r即 r A B =r A = r；证毕推论 1 线性方程组有唯独解的充分必要条件是 r A r A B

14、= n ；推论 2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 r A r A B n ；将上述结论应用到齐次线性方程组3.2上,就总有 r A r A B ；因此齐次线性方程组肯定有解；并且有例 41 3 解由于判别以下方程组是否有解？假设有解,是有唯独解仍是有无穷多解？x12x23x311x12x 23x 3112x1x2x372 2x1x222x 37x 13x 2x36x13xx 363x 1x22x343x1x22x35x12x23x311x1x2x372x 13x 2x363x 1x22x351 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵,即1231112311AB =11170124231607

15、72831240772912311012400700001r A B = 4, r A =3,两者不等,所以方程组无解；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵,即由于 3 由于例 5解由于1231112311AB =112701142316000031250000r A B =r A =2n= 3,所以方程组有无穷多解；用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即1231112311AB =111701242316007031250000r A B =r A = 3 = n,所以方程组有唯独解；判别以下齐次方程组是否有非零解？机动x 13x 27x38x402x 15x24x34x403x 17x22x33x40x 14x212x316x40用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵,即13781378A =254401182037230223271412160158137813780118200118200013130013130013120001r A = 4 = n,所以齐次方程组只有零解；7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页