2022年高等数学不定积分重点难点复习大纲例题讲解.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四章 不定积分一、基本要求1. 懂得原函数概念,懂得不定积分的概念及性质;2. 把握不定积分的基本公式、换元法、分部积分;3. 明白有理函数及可化为有理函数的积分方法;二、主要内容原函数概念不定积分概念不定积分性质基本积分公式基本积分法无理函数的积分可化为有理函数的积分第一类换元法其次类换元法分部积分法. 原函数与不定积分概念1. 原函数设在区间上Fx可导,且Fxfx(或dFxfx dx)就称Fx为fx在的一个原函数; 2.不定积分x的全部原函数的集合,成为fx在区间上的不定积分,在区间上函数ff记作fx dx. 在上的一个
2、原函数,C 为任意常数 . x dxFx C其中Fx 为fx . 不定积分的性质名师归纳总结 1.dfx dxfxdxf 或fxdx ffx 第 1 页,共 14 页 2.dfx fx CC 或fx dxx 3.x dxkfx dxkf其中 k 为非零常数 . 4.fx gx dxx dxgx dx. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. 基本积分公式名师归纳总结 1.kdxkxC k为常数 C第 2 页,共 14 页 2.xudxu11xu1C 3.1dxlnxCx 4.1dx2arctanxCx 5.dxx2arcsinxC1 6
3、.cosx dxsinxC 7.sinxdxcosxC 8.2 secxdxtanxC 9.2 cscxdxcotxC 10.sec xtanxdxsec xC 11.csc xcotxdxcscxC 12.x edxexC 13.axdx1aaxCln 14.shxdxchxC 15.chxdxshxC 16.tanxdxlncosxC 17.cotxdxlnsinxC 18.sec xdxlnsec xtanx 19.Ccsc xdxlncscxcotx 20.a2dxx21arctanxCaa 21.x2dx21lnxaCa2axa- - - - - - -精选学习资料 - - - -
4、- - - - - 22.adxx2arcsinxC学习必备欢迎下载2a 23.xdxa2lnxx2a2C2 24.xdxa2lnxx2a2C2. 换元积分法1. 第一类换元法 . 凑微分法 f x x dx f u du F u C F C u x 其中 x 可导,F u 为 f x 的一个原函数 . 2. 其次类换元法f x dx f t dt F t C F 1 C x t 其中 x t 单调可导,且 t 0,F t 为 f t t 的一个原函数 . 分部积分法ux dv xu x vx v x dux 其中uxv x具有连续导数 . 有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的
5、函数称为有理函数,有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和,而真分式总可以分解为部分分式的代数和,所以有理函数的积分可化为整式和以下四种部分分式的积分. x1andxqndx1 x1adx 2 3 x2bxcqdx 4 x2bxcpxpx而求这四种积分也可用凑微分法或其次类换元法. 三角函数有理式的积分,总可用万能代换有理函数的积分,但对有些三角有理式的积分,式或积分方法求解,可能更简便些 . 三、重点与难点 原函数与基本积分公式 换元法、分部积分法等基本积分方法 抽象函数的积分u tan x 将原不定积分化为 u 为积分变量的2有时用三角公式转化,再用前所述的基本公名师归纳总结 - - -
6、- - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、例题解析 、挑选题例 1 如fx 的导数是cosx,就fx有一个原函数为 1sinxx2lnxCA1cosx B1cosx C1sinx D解应选 B. 由于1cosx sinx,而sinx cosx例 2 设fx 有原函数xlnx,就xlnxdx( )CAx211lnxC B x211lnx2442x2Cx211lnxC Dx211lnxC4224解xfxdxfx dx2x2fxx2fxdx222而fx xlnx lnx1,fx1,故xxfx dxx2lnx1 xdxx2lnx1x2
7、C222442所以应选 B. 、填空题例3设fx 为 定 义 区 间 上 单 调 连 续 可 微 函 数 ,f1 x为 相 应 的 反 函 数 , 如解ffFxC,就f1x dx为x dx1x dxxf1x xdf1xxf1xff1x df1xxf1xFf1xC、争论题例 4 解以下各题,并比较其解法:名师归纳总结 12x2dx2 1x2dx 3x22x32dx 4x42dx第 4 页,共 14 页x2x2x2x解 12xdx212d 21ln2x2C. x22x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22x2x2dx22x222学习必备1欢迎下载2dxd
8、x2x2xx2arctanxC. 2dx2留意观看被积函数的特232x32dx12x22dx2122x22x2x2x122x2dx21x22ln2x2C242x42dxx4424dxx2224x2dxx2xx32x22arctanxC32但解法却不尽相同;比较上述四题, 发觉各小题的被积函数很相像,点,第一题中分子的次数比分母低一次,正好可凑微分使变量一样;其次题中分子与分母同次,需要拆项, 使分子次数低于分母,即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分;第三题中分子次数高于分母一次,凑微分后分子分母同次,再仿其次题求解;第四题中分子次数高于分母二次, 凑微分就无效, 只能依据分母情形拆项仿
9、其次题的方法求解;过程中需针对详细情形挑选适当方法求解;由此可见在不定积分的运算名师归纳总结 例 5 争论利用第一类换元法求积的几种类型 设f u duFuC 第 5 页,共 14 页1faxbdx1faxbdaxb ba1fudu uaxb a1Fu Caxnbdaxna1FaxbCa 2faxnbxn1dx1fan1fudu uaxnb an1FuCan1FaxnbCan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如求x32dx学习必备欢迎下载cos4 x名师归纳总结 解 原式1142dx41tan4 x Cu1Cx2flnxfCx exdx等,第 6 页,
10、共 14 页4cosx4 3flnx 1 dxxx flnxdlnxfu duF uln如求32xlnxdx解 原式32lnxd2lnx 32lnx4C34 4fsinxcosxdxfsinx dsinxFsinxCf coxx sinxdxfcosx dcosxFcosxCftanx12xdxftanxdtanxcoxFtanxC如求3cosxxdxcos2解 原式3112xdsinxsin412xdsinxsin121x21xdsinx4sinsin1ln2sinxC42sinxx1dx, e其它一些类型, 例如farctanx 112dx,farcsinx请同学们自己加以总结. - -
11、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载V. 运算题例 6 求x2arctanxdx1x2分析 此题先把被积函数写成名师归纳总结 x2arctanx11x221arctanxarctanx112arctanxx1C第 7 页,共 14 页1x2xx拆成两项再进行积分较便利. 解x2arctanxdx1112arctanxdx1x2x e1exarctanxdxarctanxdx1x2xarctanxx112dxarctanxdarctanxxxarctanx1ln1x21arctanx 2C22例 7 求 ex xedxx1 2解ex xedxex
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