等边三角形专栏.doc

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1、|环球雅思学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 八年级 课时数：3 课时学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课题目 等边三角形专题星 级 教学内容等边三角形练习题1 （2012深圳）如图，已知：MON=30，点 A1、A 2、A 3在射线 ON 上，点B1、B 2、B 3在射线 OM 上， A 1B1A2、A 2B2A3、A 3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则 A 6B6A7 的边长为（ ）A 6 B 12 C 32 D 642 （2012凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+ 的度数是（ ）A 180 B 220 C 240 D 3003 （201

2、2荆门）如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PE AB于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF=2，则 PE 的长为（ ）A 2 B 2 C D 34 （2011南平）边长为 4 的正三角形的高为（ ）A 2 B 4 C D 25 （2010随州）如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）A B C D 不能确定6 （2009攀枝花）如图所示，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上

3、，且BD=AE，AD 与 CE 交于点 F，则DFC 的度数为（ ）A 60 B 45 C 40 D 307 （2007绵阳）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边ADE，BE、CE 分别交 AD 于G、H，设CDH、GHE 的面积分别为 S1、S 2，则（ ）|A 3S1=2S2 B 2S1=3S2 C 2S1= S2 D S1=2S28 （2007娄底）如图，ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）A 4cm2 B 2cm2 C 3 cm2 D 3cm29 （2006天津）如图，A、 C、B 三点在同一条直线上

4、，DAC 和EBC 都是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正确结论的个数是（ ）A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个10 （2006南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上爬行（A，C 端点除外） ，设甲虫 P 到另外两边的距离之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h，则 d 与 h 的大小关系是（ ）A dh B dh C d=h D 无法确定11 （2007南充）一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40的方向行驶 40 海里到达 B地，再由 B 地向北偏西 20的方向行驶 40

5、 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距（ ）A 30 海里 B 40 海里 C 50 海里 D 60 海里12 （2006曲靖）如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，将 BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中点 E 处，则A 等于（ ）A 25 B 30 C 45 D 6013 （2011茂名）如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= _ 度14 （2008日照）如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，A

6、D 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ以下五个结论：AD=BE；PQ AE ；AP=BQ；DE=DP；AOB=60 度恒成立的结论有 _ （把你认为正确的序号都填上）15 （2005扬州）如图，将边长为 4 的等边ABC，沿 x 轴向左平移 2 个单位后，得到ABC ，则点 A的坐标为 _ 16 （2004茂名）如图，正三角形 A1B1C1 的边长为 1，A 1B1C1 的三条中位线组成A2B2C2，A 2B2C2 的三条中线又组成 A 3B3C3，如此类推，得到A nBnCn则：（1）A 3B3C3 的边长 a3= _ ；|（2）A nBnCn 的边长 an= _

7、（其中 n 为正整数） 17 （2006嘉峪关）ABC 为等边三角形，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且AE=CD=BF，则DEF 为 _ 三角形18 （1999广州）如图，以 A，B 两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _ 个19如图所示，P 是等边三角形 ABC 内一点，将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60，得到CBP，若 PB=3，则 PP= _ 20 （2009浙江）如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD BC 于点D，以 AD 为一边向右作正三角形 ADE（1）求ABC 的面积 S；（2）判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明21 （2

8、009辽阳）如图，ABC 为正三角形，D 为边 BA 延长线上一点，连接 CD，以 CD为一边作正三角形 CDE，连接 AE，判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由22 （2008绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上，且 BM=CN，AM，BN 交于点Q求证：BQM=60 度（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BM=CN”与“BQM=60 ”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点 M，N 分别移动到 BC，CA 的延长线上

9、，是否仍能得到BQM=60？|若将题中的条件“点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上”改为“点 M，N 分别在正方形 ABCD 的 BC，CD 边上” ，是否仍能得到BQM=60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”： _ ； _ ； _ 并对，的判断，选择一个给出证明23 （2007河北）在ABC 中，AB=AC ，CGBA 交 BA 的延长线于点 G一等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B（1）在图 1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 C

10、G 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿 AC 方向平移到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E此时请你通过观察、测量DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE+DF 与 CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC上，且点 F 与点 C 不重合）时， （2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由） 24 （2004苏州）已知：如图，正ABC 的边长为 a，D 为 AC 边上的一个动点，延长 AB至

11、E，使 BE=CD，连接 DE，交 BC 于点 P（1）求证：DP=PE；（2）若 D 为 AC 的中点，求 BP 的长25 （2002黑龙江）已知等边ABC 和点 P，设点 P 到 ABC 三边 AB、AC、BC 的距离分别为 h1、h 2、h 3，ABC 的高为 h “若点 P 在一边 BC 上（如图 1） ，此时 h3=0，可得结论 h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：|（1）当点 P 在ABC 内（如图 2） ， （2）点 P 在ABC 外（如图 3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h 1、h 2、h 3 与 h 之间的关系如何？请写出

12、你的猜想，不需证明26 （2000河南）如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形（1）当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时，ACP PDB ；（2）当ACPPDB 时，求 APB 的度数27 （2010雅安）如图，点 C 是线段 AB 上除点 A、B 外的任意一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同旁作等边ACD 和等边BCE ，连接 AE 交 DC 于 M，连接 BD 交 CE于 N，连接 MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB28 （2005临沂）如图，已知 AD 和 BC 交于点 O，且 OAB 和OCD 均为等边三角形，以 OD 和 OB 为边作平行

13、四边形 ODEB，连接 AC、AE 和 CE，CE 和 AD 相交于点 F求证：ACE 为等边三角形29已知：如图，ABC、CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点 O，点 M、N 分别是线段 AD、BE 的中点（1）求证：AD=BE；（2）求DOE 的度数；（3）求证：MNC 是等边三角形|30如图，等边ABC 的边长为 10，点 P 是边 AB 的中点，Q 为 BC 延长线上一点，CQ：BC=1：2，过 P 作 PEAC 于 E，连 PQ 交 AC 边于 D，求 DE 的长？全等三角形练习参考答案与试题解析1C 2C 3 C 4D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13

14、E= 15 度14 15 .16 a3= ；A nBnCn 的边长 an= （或 21n ） 17 等边 三角形18 2 个19 PP= 3 20 解：（1）在正ABC 中，AD=4 ， （2 分）S= BCAD= 42 =4 （3 分）（2）AC、DE 的位置关系： ACDE （1 分）在CDF 中， CDE=90 ADE=30， （2 分）CFD=180CCDE=1806030=90ACDE （3 分）（注：其它方法酌情给分） 21 解：AEBC理由如下：ABC 与CDE 为正三角形，BC=AC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+ACD= DCE+ACD ，即BCD=ACE，BCD

15、ACE，B=EAC，B=ACB，EAC=ACB，AEBC22请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”： 是 ； 是 ； 否 |并对，的判断，选择一个给出证明（1）证明：在ABM 和BCN 中，ABMBCN ，BAM=CBN ，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60（2）是；是；否的证明：如图，在ACM 和BAN 中，ACMBAN ，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=18060=120，BQM=60的证明：如图，在 Rt ABM 和 RtBCN 中，RtABM RtBCN ，AMB=BNC 又NBM+BNC=90，QBM+QMB=90，BQM=90，即BQM 60

16、23解：（1）BF=CG；证明：在ABF 和ACG 中F=G=90，FAB=GAC，AB=ACABF ACG（AAS）BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点 D 作 DHCG 于点 H（如图 2）DEBA 于点 E，G=90，DHCG四边形 EDHG 为矩形|DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=ACFCD=GBC=HDC又F=DHC=90 ，CD=DCFDC HCD（AAS）DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即 DE+DF=CG；（3）仍然成立证明：过点 D 作 DHCG 于点 H（如图 3）DEBA 于点 E，G=90，DHCG四边形 EDHG 为矩形，DE=HG，DHBG

17、，GBC=HDC，AB=AC，FCD=GBC=HDC，又F=DHC=90 ，CD=DC，FDC HCD（AAS）DF=CH，GH+CH=DE+DF=CG，即 DE+DF=CG24 （1）证明：过点 D 作 DFAB，交 BC 于 FABC 为正三角形，CDF=A=60CDF 为正三角形DF=CD又 BE=CD，BE=DF又 DFAB ，PEB=PDF在DFP 和EBP 中， ，DFPEBP（AAS ） DP=PE（2）解：由（1）得DFPEBP，可得 FP=BPD 为 AC 中点，DF AB，BF= BC= aBP= BF= a25 解：（1）当点 P 在ABC 内时，结论 h1+h2+h3=

18、h 仍然成立理由如下：过点 P 作 BC 的平行线，交 AB 于 G，交 AC 于 H，交 AM 于 N，则可得|结论 h1+h2=AN四边形 MNPF 是矩形，PF=MN，即 h3=MNh 1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即 h1+h2+h3=h（2）当点 P 在ABC 外时，结论 h1+h2+h3=h 不成立此时，它们的关系是h1+h2h 3=h理由如下：过点 P 作 BC 的平行线，与 AB、AC、AM 分别相交于 G、H、N，则可得结论 h1+h2=AN四边形 MNPF 是矩形，PF=MN，即 h3=MNh 1+h2h 3=ANMN=AM=h，即 h1+h2h 3=h26 解：（

19、1）当 CD2=ACDB 时，ACP PDB，PCD 是等边三角形，PCD=PDC=60，ACP=PDB=120，若 CD2=ACDB，由 PC=PD=CD 可得：PCPD=AC DB，即 = ，则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB（2）当ACPPDB 时， APC=PBDPDB=120DPB+DBP=60APC+BPD=60APB=CPD+APC+BPD=120即可得APB 的度数为 12027 证明：（1）ACD 和BCE 是等边三角形，AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60，DCA=ECB=60，DCA+DCE=ECB+ DCE，ACE=DCB ，在ACE 与DCB 中，

20、 ，ACEDCB，AE=BD；（2）由（1）得，ACEDCB，CAM=CDN，ACD=ECB=60，而 A、C 、B 三点共线，DCN=60，在ACM 与DCN 中，| ，ACMDCN ，MC=NC，MCN=60，MCN 为等边三角形，NMC=DCN=60，NMC=DCA，MNAB 28 证明：OAB 和OCD 为等边三角形，CD=OD，OB=AB，ADC=ABO=60四边形 ODEB 是平行四边形，OD=BE，OB=DE，CBE=EDOCD=BE，AB=DE，ABE=CDEABEEDCAE=CE，AEB=ECDBEAD，AEB=EADEAD=ECD在AFE 和CFD 中又AFE= CFD，AEC=ADC=60ACE 为等边三角形29 解：（1）ABC、CDE 都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，ACD=BCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE，AD=BE（2）解：ACDBCE，ADC=BEC，等边三角形 DCE，CED=CDE=60，ADE+BED= ADC+ CDE+BED，=ADC+60+BED，=CED+60，=60+60，=120，DOE=180（ADE+BED）=60，