2022年高考第一轮复习数学：.--两角和与差、二倍角的公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 4.4 两角和与差、二倍角的公式三 学问梳理1能求出值的应求出值 . 2使三角函数种数、 项数尽量少； 分母尽量不含三角函数； 被开方式尽量不含三角函数 . 1活用公式包括正用、逆用、变形用. 2切割化弦、异名化同名、异角化同角等 . 1留意特别角的三角函数与特别值的互化 . 2留意利用代数上的一些恒等变形法就和分数的基本性质 . 3留意利用角与角之间的隐含关系 . 4留意利用“1” 的恒等变形 . 点击双基 cos =3+sinsin的一组、的值是 3 62A. =13 , =3 B. = , = 2124C. = , = 2D. = , =

2、 36解析：由已知得cos + =3 ,代入检验得 2A. 答案： A 和 tan 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,就 4a、b、c 的关系是A. b=a+c b=a+cC.c=b+a D.c=ab解析：tantan（）b,4atantan（ 4）c a,btan = 41a c=1. ab =1ac . a b=ac.c=a+b. 答案： C 名师归纳总结 3.fx =1sinxcosxx的值域为第 1 页,共 8 页sinxcos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 3 1, 1 1,3 1B.21, 1 1,212 ,22C.31,31

3、22 42 , 1 1,D.21,2122解析：令 t=sinx+cosx=2 sinx+t211, 1 1,21. 就 fx=12t=t21222答案： B cos = 1 , sin sin = 1 ,就 cos =_. 2 3解析： cos cos 2= 1 ,sin sin 2= 1 . 4 9两式相加,得 22cos = 13 . 36cos = 59 . 72答案：5972 典例剖析【例 1】 求证：sin（2sin）2cos + =sin. sin =sin ,再利用角的sin剖析：先转换命题,只需证sin2 + 2cos + 关系： 2 + = + + , + = 可证得结论

4、. 证明： sin 2 + 2cos + sin=sin + + 2cos + sin=sin + cos +cos + sin 2cos + sin=sin + cos cos + sin =sin + =sin . 两边同除以 sin 得sin（2）2cos + = sin . sin sin评述： 证明三角恒等式,可先从两边的角入手变角,将表达式中显现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化,然后分析两边的函数名称变名,将表达式中较多的函数种类尽量削减,这是三角恒等变形的两个基本策略 . 【例 2】 P 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆上一点,且圆的离心率为 e=2cos 1.PF 1F

5、2= , PF2F1=2 ,求证：椭名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - yF 1OF 2剖析：依据椭圆的定义2a=|PF 1|+|PF 2|,2c=|F 1F 2|, e=2 c. 22 a在 PF1F2 中解此三角即可得证. 证明：在PF 1F 2 中,由正弦定理知|PF 1|=|PF 2|=|F 1F2|. ）sin2sinsin（3由比例的性质得|F1F2|=|PF 1|PF2|sin3sin2sine=|F 1F 2|2|=sinsin3sin=sincos2cossinPF 1|PF2sin2sincos 2

6、=sin（2cos2）2sincos2sin（12cos）=4cos21=2cos 1. 2cos评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 深化拓展求 cot10 4cos10 的值 . 分析：给出非特别角,怎样化为特别角或非特别角,相互抵消、约分求出值 . 提示： cot10 4cos10=cos 104cos10 =cos 102sin20201sin202sin20sin10sin1020=3cos20=cos（3020）2sin22sin10sin10=3cos203sin20=3sin（30）=3 . 22sin10sin10答案：3 . 闯关训练夯实基础名师归纳总结 1. 200

7、3 年高考新课程卷已知x ,0, cosx= 24 ,就 tan2x 等于 524第 3 页,共 8 页A.7B.7C.24 7D.24247解析： cosx=4 ,x5 ,0,2sinx=3 .tanx=53 . 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3tan2x=12tanxx=12 9=3 216 =724 . 7tan216答案： D 2. 2004 年春季北京已知 必定成立的是2cot2 2cot22cos2 2cos2sin + 0,cos 0,就以下不等关系中解析：由已知得sin 0,cos 0,0. 就 tan2cot2=sin2cos2

8、=2coscos2sin2sintan2 cot2. 答案： B 、 ,使得 cos + =cos cos +sin sin 、 ,使得 cos + =cos cos +sin sin 、 ,cos + =cos cos sin sin 、 ,使得 cos + cos cos sin sin解析：由 cos + =cos cos +sin sin =cos cos sin sin ,得sin sin =0. =k 或 =k kZ. 答案： B y=5sinx+cos2x 的最大值是 _. 解析： y=5sinx+cos2x=5sinx+12sin2x=2 sinx5 2+ 433 . 8sin

9、x=1 时, y max=4. 答案： 4 名师归纳总结 LL0的直角三角形的面积的最大值2. . 第 4 页,共 8 页解法一： a+b+a2b2=L2ab +abab 2L2. S=1 ab21 22L22=1 （2222）L2=322L 2. 4解法二：设a=csin ,b=ccos . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - caba+b+c=L,c1+sin +cos =L. c= L. 1 sin cos2S= 1 c2sin cos =2 L2（1 sin sin coscos）2 . 设 sin +cos =t 1,2 ,2t 12 2 2

10、2就 S= L2（1 2t）2 = L4tt 11 = L41t 21L412 21= 34 2 2L 2. 6. 2004 年湖南, 17已知 sin +2 sin 2 = 1 , , ,求4 4 4 4 22sin 2 +tan cot 1 的值 . 解：由 sin +2 sin 2 =sin +2 cos +2 = 1 sin +44 4 4 4 2 2 = 1 cos4 = 1 ,得 cos4 = 1 . 2 4 2又 , ,所以 = 5 . 4 2 122 2于是 2sin2 +tan cot 1=cos2 + sin cos= cos2 + 2 cos 2sin cos sin 2

11、= cos2 +2cot2 = cos 5 +2cot 5 6 6=3 2 3 = 53 . 2 2培育才能名师归纳总结 7.求证：12sin22=1tan2. 22）=cos2sin2,第 5 页,共 8 页sin1tan2cos（sin2 2证明：左边 =1sin=cos2cossin22cos2sin2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1sin2右边 =cos2=cos2sin2,1sin2cos2sin2cos2. 左边 =右边,原式成立8. 2005 年春季北京, 15在 ABC 中, sinA+cosA= 和 ABC 的面积 . 2 ,AC

12、=2,AB=3,求 tanA 的值 2分析：此题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,考查运算才能. 解法一： sinA+cosA=2 cosA45 =2 ,2cosA45 =1 . 2又 0 A180 ,A 45 =60 , A=105 . tanA=tan45 +60 =13=23 . 13sinA=sin105 =sin45 +60 =sin45 cos60 +cos45 sin60 =246. S ABC=1 AC2ABsinA1 . 2=1 223246=3 42 +6 . 解法二： sinA+cosA=2 ,2 sinA+cosA2=1 . 2sinAcosA=20 A1

13、80 , sinA0, cosA0. 90 A180 . 名师归纳总结 sinAcosA2=12sinAcosA=3 ,2第 6 页,共 8 页sinAcosA=6 . 2+得 sinA=246. 得 cosA=246. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tanA=sinA=246246= 23 . cosA以下同解法一探究创新x、y 满意 sinycscx=cosx+y且 x+y解： sinycscx=cosx+y,sinycscx=cosxcosysinxsiny,siny sinx+cscx=cosxcosy. ,求 tany 的最大值 . 2t

14、any=sincosxx=sinxcosx=2sinxcosx2x=1tanxx2tanxx=2 ,4xcsc1sinxsin2xcos22 tan2tan当且仅当 tanx=2 时取等号 . 2tany 的最大值为2. 4 思悟小结1.证明三角恒等式的基本思路,是依据等式两端的特点,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法,使等式两端的“ 异” 化为“ 同”. 2.条件等式的证明,通过仔细观看,发觉已知条件和待证等式之间的关系,挑选适当的途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法即从已知条件动身,以待证式为目标进行代数或三角恒等变形,逐步推出待证式、分析法等 . 3

15、.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值,这第一应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成 y=Asin x+A 0, 0的形式,或者通过换元转化成二次函数,然后再求之 . 老师下载中心教学点睛1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程 . 2.有条件的三角函数求值有两个关键：三角函数各关系式及常用公式的娴熟应用 .条件的合理应用： 留意条件的整体功能,留意将条件适当简化、所运算的式子更加吻合 . 3.留意方程思想的应用 . 拓展题例整理或重新改造组合,使其与名师归纳总结 【例 1】 试证：tan（1sin）sin=tansin sin. 2,第 7 页,共 8 页tan（1sin）s

16、intansin（1sin）sin22 cos2cos2=cot证明：左边 =cos sin（1sin）sincos=2sin2cos2=1sincos=sincoscos22sin222sin2sin2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 右边 =sinsin=1coscossinsinsincos=22cos22=cot2,原等式成立. 2=1 tan22.求 +2sin2cos【例2】 已知 、 0, , 3sin =sin 2 + ,4tan 4 的值 . 解： 4tan2=1tan22,2tan =1,tan =1 . 23sin =sin2 + ,3sin =sin + cos +cos + sin . 3sin + cos 3cos + sin =sin + cos +cos + sin . sin + cos =2cos + sin . tan + =2tan =1. + = . 4 + = + + , = + 等. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页