2023年平面解析几何知识点归纳.doc

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1、平面解析几何知识点归纳知识点归纳直线与方程1. 直线的倾斜角规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为范围：直线的倾斜角的取值范围为2.斜率：，斜率公式：通过两点，的直线的斜率公式为3. 直线方程的几种形式名称方程说明合用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直线上的已知点两点式是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线截距式是直线的横截距是直线的纵截距但是原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式当时，直线的横截距为当时，分别为直线的斜率、横截距，纵截距所有直线能力提高斜率应用例1.已知函数且，则的大小关系例2.已知实数满足，试求的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系位置关系

2、平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或直线间的夹角：若为到的角，或；若为和的夹角，则或；当或时，；直线到的角与和的夹角：或；距离问题1.平面上两点间的距离公式 则 2.点到直线距离公式点到直线的距离为：3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 4.直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为或+ (为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点，则中点的坐标公式为点关于的对称点为，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2. 轴对称： 点 关于直线的对称点为，则有，直线关

3、于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，运用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在运用由点斜式得出直线方程；、运用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在运用中点坐标公式求解。如：求点关于直线对称的坐标。直线关于直线对称：（

4、设关于对称）、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。如：求直线关于对称的直线的方程。能力提高例1.点到直线的最大距离为例2.已知点，在直线和上各找一点和，使的周长最短，并求出周长。线性规划问题：（1）设点和直线， 若点在直线上，则；若点在直线的上方，则；若点在直线的下方，则；（2）二元一次不等式表达平面区域：对于任意的二元一次不等式，当时，则表达直线上方的区域；表达直线下方的区域；当时，则表达直线下方的区域；表达直线上方的区域；注意：通常情况下将原点代入直线中，根

5、据或来表达二元一次不等式表达平面区域。（3）线性规划：求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当时，将直线向上平移，则的值越来越大； 直线向下平移，则的值越来越小；当时，将直线向上平移，则的值越来越小； 直线向下平移，则的值越来越大；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且涉及周界），目的函数取得最小值的最优解有无数个，则为 ；（1）设点和直线， 若点在直线上，则；若点在直线的上方，则；若点在直线

6、的下方，则；（2）二元一次不等式表达平面区域：对于任意的二元一次不等式，当时，则表达直线上方的区域；表达直线下方的区域；当时，则表达直线下方的区域；表达直线上方的区域；注意：通常情况下将原点代入直线中，根据或来表达二元一次不等式表达平面区域。（3）线性规划：求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当时，将直线向上平移，则的值越来越大； 直线向下平移，则的值越来越小；当时，将直线向上平移，则的值越来越小； 直线向下平移，则的值越来越大；xyOA(

7、1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且涉及周界），目的函数取得最小值的最优解有无数个，则为 ；圆与方程2.1圆的标准方程：圆心，半径特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.2.2点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点及圆. 在圆内 在圆上 在圆外2.3 圆的一般方程： .当时，方程表达一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表达一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程表达圆的充要条件是：且且.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径2.4 直线与圆的位置关

8、系： 直线与圆的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(（1）相离；(2)相切；（3）相交2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 外离 外切 相交 内切 内含 圆的切线方程：1. 直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2. 圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.3.圆的弦长问题：1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：2、弦长公式（设而不求）：