二次函数中的存在性问题(含答案~解析~).doc

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1、|2018 年 8 月 4 日初中数学试卷一、综合题（共 9 题；共 135 分）1.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 M（2 ，4），与 x 轴交于 A、B 两点，且 A（6 ，0），与 y 轴交于点 C（1 ）求抛物线的函数解析式； （2 ）求ABC 的面积； （3 ）能否在抛物线第三象限的 图象上找到一点 P，使 APC 的面积最大？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 2.（2017乌鲁木齐）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与直线 y=x+1 相交于 A（ 1，0），B（4 ，m）两点，且抛物线经过点 C（5，0）（1 ）求抛物线的解析式； （2 ）

2、点 P 是抛物线上的一个动点（不与点 A、点 B 重合）， 过点 P 作直线 PDx 轴于点 D，交直线 AB 于点 E当 PE=2ED 时，求 P 点坐标；是否存在点 P 使BEC 为等腰三角形？若存在 请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 |3.（2017赤峰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3 ， 0）， 顶点 C 的坐标为（1，4 ）（1 ）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2 ）点 P 是直线 BD 上的一个 动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象

3、限时，求线段 PM长度的最大值； （3 ）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存2在请说明理由 4.（2017广元）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（3 ，0），B（2 ，3），C（0，3），其顶点为 D（1 ）求抛物线的解析式； （2 ） 设点 M（ 1，m），当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值； （3 ）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值； （4 ）若抛物线的对称轴与直 线 AC 相交于点 N，E 为直线 AC 上任意一点，过点 E 作 EFND 交抛物线

4、于点 F，以N，D ，E ，F 为顶 点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由 5.（2017巴中）如图，已知两直线 l1 ， l2 分别经过点 A（1，0），点 B（ 3，0），且两条直线相交于 y 轴的正半轴上的点 C，当点 C 的坐标为（0， ）时，恰好有 l1l2 ， 经过点 A，B，C 的抛物线的对称轴与 l1、l 2、x3|轴分别交于点 G、E、F，D 为抛物线的顶点（1 ）求抛物线的函数解析式； （2 ） 试说明 DG 与 DE 的数量关系？并说明理由； （3 ）若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当 MCG 为等腰三角形时，请

5、直接写出点 M 的坐标 6.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经过 A（1 ，0），C（0，3 ）两点，与 x 轴交于点 B（1 ）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物线 的解析式； （2 ）在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标； （3 ） 设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 7.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A（1 ， 0），B（3，0），与 y 轴交于点

6、C（0，3）（1 ）求抛物线的解析式； （2 ） 连接 BC，点 P 为抛物线上第一象限内一动点，当BCP 面积最大时，求点 P 的坐标； （3 ） 设点 D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B，C，D，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 |8.（2017临沂）如图，抛物线 y=ax2+bx3 经过点 A（2 ，3 ），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且OC=3OB（1 ）求抛物线的解析式； （2 ）点 D 在 y 轴上，且 BDO=BAC，求点 D 的坐标； （3 ）点 M 在抛物 线上，点 N 在抛物

7、线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 |答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为 y=a（x+h） 2+k，函数 图 象顶点为 M（2， 4），y=a（x+2） 24，又 函数 图象经过点 A（6，0），0=a（6+2） 24解得 a= ，14此函数的解析式为 y= （x+2） 24，即 y= x2+x3；14 14（2 ）解：点 C 是函数 y= x2+x3 的图象与 y 轴的交点，14点 C 的坐标是（0 ，3），又当 y=0 时，有 y= x2+x3=0，14解得 x1

8、=6，x 2=2，点 B 的坐标是（ 2，0），则 SABC= |AB|OC|= 83=12；12 12（3 ）解：假设存在这样的点， 过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F设 E（x，0 ），则 P（x ， x2+x3），14设直线 AC 的解析式 为 y=kx+b，直 线 AC 过点 A（ 6，0），C（0 ，3 ）， ，解得 ，-6k+b=0-3=b k=-12b=-3直 线 AC 的解析式为 y= x3，12|点 F 的坐 标为 F（x， x3），12则|PF|= x3（ x2+x3）= x2 x，12 14 14 32SAPC=SAPF+SCPF= |PF|AE|+ |

9、PF|OE|12 12= |PF|OA|= （ x2 x）6= x2 x= （x+3） 2+ ，12 12 14 32 34 92 34 274当 x=3 时，S APC 有最大值 ，274此时点 P 的坐标 是 P（3 ， ） 154【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）根据 顶点坐标公式即可求得 a、b 、c 的值，即可解题；（2 ）易求得点 B、C 的坐标，即可求得 OC 的长，即可求得 ABC 的面积，即可解题；（3）作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F，可将 APC 的面积转化为AFP 和CFP 的面积之和，而这两个三角形有共同的底 PF，这一个底上的高的和又恰好是 A

10、、C 两点间的距离，因此若设设 E（x ，0），则可用 x 来表示APC 的面积，得到关于 x 的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题2.【答案】（1）解： 点 B（4 ，m）在直线 y=x+1 上，m=4+1=5，B（4， 5），把 A、B、C 三点坐 标代入抛物 线解析式可得 ，解得 ， a-b+c=016a+4b+c=525a+5b+c=0 a=-1b=4c=5抛物 线 解析式为 y=x2+4x+5（2 ）解：设 P（x， x2+4x+5），则 E（x ，x+1），D（ x，0 ），则 PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x 2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x

11、2+3x+4|=2|x+1|，当x 2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=2，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（2 ，9 ）；当x 2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=6，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（6 ，7）；综上可知 P 点坐 标为（2，9）或（6，7 ）；设 P（x，x 2+4x+5），则 E（x，x+1），且 B（4，5 ）， C（5，0），BE= = |x4|，CE= = ，BC= = ，(x-4)2+(x+1-5)2 2 (x-5)2+(x+1)2 2x2-8x+26 (4-5)2+(5-0)2 26|当B

12、EC 为等腰三角形时，则有 BE=CE、BE=BC 或 CE=BC 三种情况，当 BE=CE 时，则 |x4|= ，解得 x= ，此时 P 点坐标为（ ， ）；2 2x2-8x+2634 34 11916当 BE=BC 时，则 |x4|= ，解得 x=4+ 或 x=4 ，此时 P 点坐标为（4+ ，4 8）或（4 2 26 13 13 13 13 13，4 8）；13当 CE=BC 时，则 = ，解得 x=0 或 x=4，当 x=4 时 E 点与 B 点重合，不合题意，舍去，此时 P 点坐2x2-8x+26 26标为（0，5 ）；综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ ， ）或（4+ ，4

13、8）或（4 ，4 8）或34 11916 13 13 13 13（0 ， 5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）由直 线解析式可求得 B 点坐标，由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出 P 点坐 标，则可表示出 E、D 的坐标，从而可表示出 PE 和 ED 的长，由条件可知到关于 P 点坐标的方程，则可求得 P 点坐 标； 由 E、B、C 三点坐标可表示出 BE、CE 和 BC 的长，由等腰三角形的性质可得到关于 E 点坐标的方程，可求得 E 点坐标，则可求得 P 点坐 标3.【答案】（1）解： 抛物线的顶点 C

14、的坐标为（1 ，4），可 设抛物 线解析式为 y=a（x 1） 2+4，点 B（3，0 ）在该抛物线的图象上，0=a（3 1） 2+4，解得 a=1，抛物 线 解析式为 y=（x 1） 2+4，即 y=x2+2x+3，点 D 在 y 轴上，令 x=0 可得 y=3，D 点坐标为（ 0，3），可 设直 线 BD 解析式为 y=kx+3，把 B 点坐标代入可得 3k+3=0，解得 k=1，直 线 BD 解析式为 y=x+3（2 ）解：设 P 点横坐标为 m（m0 ），则 P（m， m+3），M （m，m 2+2m+3），PM=m2+2m+3（ m+3）=m 2+3m=（m ） 2+ ，32 94当

15、 m= 时，PM 有最大值 32 94（3 ）解：如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H，|设 Q（x，x 2+2x+3），则 G（ x，x+3），QG=|x2+2x+3（x+3）|=| x2+3x|，BOD 是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45，当BDQ 中 BD 边上的高为 2 时，即 QH=HG=2 ，2 2QG= 2 =4，2 2|x2+3x|=4，当x 2+3x=4 时，=9160 ，方程无实数根，当x 2+3x=4 时，解得 x=1 或 x=4，Q（ 1，0 ）或（4，5），综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1

16、 ，0）或（4，5 ） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）可设 抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式；（2 ）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标4.【答案】（1）解：将 A，B，C 点的坐标代入解析式，得，9a-3b+c

17、=04a-2b+c=3c=3解得 ，a=-1b=-2c=3抛物线的解析式为 y=x22x+3（2 ）解：配方，得 y=（x+1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4）作 B 点关于直线 x=1 的对称点 B，如图 1|，则 B（4 ，3），由（ 1）得 D（1 ，4），可求出直线 DB的函数关系式为 y= x+ ，15 195当 M（ 1，m）在直线 DN上时，MN+MD 的值最小，则 m= 1+ = 15 195 185（3 ）解：作 PEx 轴交 AC 于 E 点，如图 2，AC 的解析式为 y=x+3，设 P（m，m 22m+3），E（m，m+3），PE=m22m+3（m+3 ）= m2

18、3mSAPC= PE|xA|= （m 23m）3= （m+ ） 2+ ，12 12 32 32 278当 m= 时，APC 的面积的最大值是 32 278（4 ）解：由（1）、（2 ）得 D（1，4 ），N（1 ，2）点 E 在直线 AC 上，设 E（x，x+3），当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 F（x，x 22x+3），EF=DNx22x+3（x+3）=4 2=2，解得，x=2 或 x=1（舍去），|则点 E 的坐标为：（2 ，1）当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 F（x，x 22x+3），EF=DN，（ x+3）（ x22x

19、+3）=2 ，解得 x= 或 x= ，-3+172 -3- 172即点 E 的坐标为：（ ， ）或（ ， ）-3+172 3+172 -3- 172 3- 172综上可得满足条件的点 E 为 E（2 ，1）或：（ ， ）或（ ， ） -3+172 3+172 -3- 172 3- 172【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案 .（2 ）利用轴对称求最短路径的知 识，找到 B 点关于直线 x=1 的对称点 B，连接 BD，BD 与直线 x=1 的交点即是点 M 的位置，继而求出 m 的

20、 值.（3 ）根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得 PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4 ） 设出点 E 的坐标，分情况讨论； 当点 E 再线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方；当点 E 再线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，根据平行四 边形的性质，可得关于 x 的方程，继而求出点 E 的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c点 A（1，0），点 B（ 3，0），点 C（0 ， ）在抛物线上，3 ，解得 ，a+b+c=09a-3b+c=0c= 3 a=- 33b=-233c= 3抛物 线 的函数解析式为 y= x2 x+ 33 233 3（2 ）解：DG=DE理由如下：设直线 l1 的解析式为 y=k1x+b1 ， 将 A（1，0），C（0 ， ）代入，解得 y= x+ ；3 3 3设直线 l2 的解析式为 y=k2x+b2 ， 将 B（3，0 ），C（0， ）代入，解得 y= x+ ；333 3抛物 线 与 x 轴的交点为 A（1，0 ），B（3，0 ），