2023年数学二真题.docx

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1、一、选择题（每小题4分，共32分）（1）若函数在处连续，则（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由连续的定义可知：其中，从而，也即，故选A.【试题点评】本题考察函数的连续性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（2）设二阶可导函数满足，且，则（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于可知其中的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即，因此同理，因此从而，故选B.【试题点评】本题考察二阶导数与拐点的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲

2、解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（3）设数列收敛，则（）。A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，【答案】D【解析】，而要使，只有a=0，故D对的。【试题点评】本题考察级数收敛性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（4）微分方程的特解可设为（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】齐次方程的特性根为，原方程可分解为两个非齐次方程：和，可知第一个方程的特解为，第二个方程的特解为，故选C.【试题点评】本题考察微分方程的解。此知识点

3、在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第五章微分方程和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（5）设具有一阶偏导数，且在任意的，都有，则（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知分别关于单调递增和单调递减，所以选D.【试题点评】本题考察函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表达甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表达乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数

4、值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】时，乙比甲多跑10m，而最开始的时候甲在乙前方10m处。【试题点评】本题考察函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由相似矩阵的特性值与特性向量的定义，可知.【试题点评】本题考察可逆矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性

5、代数第二章矩阵和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（8）已知矩阵，则（）。A.A与C相似，B与C相似B. A与C相似，B与C不相似C. A与C不相似，B与C相似D. A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】A，B的特性值为2,2,1，但A有三个线性无关的特性向量，而B只有两个，所以A可对角化，B则不行.【试题点评】本题考察相似矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特性值与特性向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。二、填空题（每小题4分，共24分）（9）曲线的斜渐近线方程为_。【答案】【解析】，则斜渐近线方程为.【试

6、题点评】本题考察导数的应用。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（10）设函数由参数方程拟定，则=_。【答案】【解析】【试题点评】本题考察二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（11）=_。【答案】1【解析】【试题点评】本题考察定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强

7、化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（12）设函数具有一阶连续偏导数，且，则=_。【答案】【解析】由题意可知，即即故c=0,.【试题点评】本题考察函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（13）=_。【答案】【解析】【试题点评】本题考察定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（14）设矩阵的一个特性向量为，则=_。【答案】-1【解析】【试题点评】本题

8、考察矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特性值与特性向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。三、解答题（共94分）（15）（本题满分10分）求【答案】【解析】令【试题点评】本题考察函数的极限。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续性偏导数，求。【答案】；【解析】【试题点评】本题考察切线方程与导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，

9、在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（17）（本题满分10分）求。【答案】【解析】【试题点评】本题考察级数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（18）（本题满分10分）已知函数由方程拟定，求的极值。【答案】当x=1时函数有极大值，极大值为1，当x=-1时函数有极小值，极小值为0.【解析】方程两边对x求导得：令当方程两边再对x求导: 令当x=1，y=1时，当x=-1时，所以当x=1时函数有极大值，极大值为1，当x=-1时函数有极小值

10、，极小值为0.【试题点评】本题考察多元函数极值。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第六章空间解析几何与多元微分学和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：（）方程在区间内至少存在一个实根；（）方程在区间内至少存在两个不同实根。【答案】略【解析】（）证：由于，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。（）构造函数，因此，由于，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。【试题点评】

11、本题考察二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（20）（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分。【答案】【解析】【试题点评】本题考察二重积分。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第七章重积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点，若，求上点的坐标满足的方程。【答案】【解析】设曲线L在（x,y）处的切线

12、方程为，所以相应的法线方程为，所以因此，即这是一个齐次方程，可令，最终求得方程的通解为再由得【试题点评】本题考察切线方程与导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特性值，且，（）证明；（）假如，求方程组的通解。【答案】（）略；（）。【解析】（）证：由于有三个不同的特性值，所以不是零矩阵，因此，若，那么特性根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据，所以，因此。（）由于，所以的基础解系中只有一个解向量，又，即，因此基础解系

13、的一个解向量为。由于，故的特解为，因此的通解为。【试题点评】本题考察线性方程组的解。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第四章线性方程组和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【答案】，正交矩阵【解析】二次型的矩阵由于二次型在正互换下的标准形为，故A有特性值0,|A|=0，故a=2由得特性值为解齐次方程组，求特性向量对，得;对得对得;由于属于不同特性值，已经正交，只需规范化：令所求正交矩阵为，相应标准形为.【试题点评】本题考察二次型。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第六章二次型和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。