复合函数的零点问题.doc
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1、|复合函数的零点问题I题源探究黄金母题【例 1】设函数 ( 为常数1,0,(),1xaf x且 ) 0,1a若 是 的零点但不是 的零点,则称xfxfx为 的二阶周期点,求函数 的二阶周期点0()()【答案】函数 有且仅有两个二阶周期点,f, 12ax21xa【解析】 2222,0,(),1(),1,(),.1xxafxxaax当 时,由 解得 ,由于 ,20xa2x00f故 不是 的二阶周期点;f当 时,由 解得2ax1()ax因22(,),22211() 1afaa故 是 的二阶周期点; 2x()fx当 时,由 解得12()xa,因2xa2(,)故 不是112f a1xa精彩解读【试题来源
2、】2013 年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点,难度较大新定义(信息题)是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义,写出复合函数的解析式,再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题|的二阶周期点; ()fx当 时, 解得21a1()xa,因2x2(,22211()1afaa, 故 是 的二阶周期点 2x()fx综上:函数 有且仅有两个二阶周期点,f, 12ax21xaII考场精彩真题回放【例 2】 【2017 年高考江苏卷】设 是定义在 且周期为()fxR1 的函数,在区间 上, 其中集合0,1)2,Df,则方程 的解的个数,*nDxN(
3、)lg0fx是 【答案】8【解析】由于 ,则需考虑 的情况()0,1fx10x在此范围内, 且 时,设QZ,且 互质*,2qxpN,pq若 ,则由 ,可设lglg(01)x,且 互质*,nxm,mn因此 ,则 ,此时左边为整数,右边10qp()nqp非整数,矛盾,因此 lgxQ因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等,只lgxD需考虑 与每个周期 的部分的交点,画出函数图象,图中交点除 外其它交点横坐标均为无理数,属于每个1,0周期 的部分,且 处 ,xD1x1lg1ln0lx【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在
4、考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,综合性强,难度大【难点中心】解答此类问题,关键在于 “抽茧剥丝” ,把复合函数问题转化为单函数问题,准确作出函数图象,利用图象解决问题|则在 附近仅有一个交点,一次方程解的个数为 81x【例 3】 【2015 年高考天津】已知函数函数 ,2,xf2gxbfx其中 ,若函数 恰有 4 个零点,则bRyf的取值范围是 ( )A B C D7,47,470,4,2【答案】D【解析】由 得 ,2,xf2,0()xfx,即22,()40(),yfxx2,(),58,f,所以(2)yfxgfxb恰有 4 个零点等价于方程有 4 个不同的解,即函数 与()2)
5、0fbyb函数 的图象的 4 个公共点,由图象可(yfx知 74| 864246815055105III理论基础解题原理1复合函数定义:设 , ,且函数 的值域为 定义域的子集,那么 通过 的yftgxgxftyt联系而得到自变量 的函数,称 是 的复合函数,记为 x y2复合函数函数值计算的步骤:求 函数值遵循“由内到外”的顺序,一层层求出函数值yf例如:已知 ,计算 2,xfgx2g【解析】 , 2441f3已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求 的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到x求出 的值例如:已知 , ,若 ,求 x2xf2g0gfxx由上例可得,要想求出 的根,则需要
6、先将 视为整体,先求出 的值,再求对应0gfxfxfx的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义x4函数的零点:设 的定义域为 ,若存在 ,使得 ,则称 为 的一个fD00f0f零点5复合函数零点问题的特点:考虑关于 的方程 根的个数,在解此类问题时,要分为两层xgfx来分析,第一层是解关于 的方程,观察有几个 的值使得等式成立;第二层是结合着第一层f的值求出每一个 被几个 对应,将 的个数汇总后即为 的根的个数fxx 0gfxIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,一般综合性强,难度大【技能方法】求解复合函数 零点问题的技巧:
7、ygfx(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出 的图像,fxg|(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 的方程 中 解的个数,再根据fx0gfxfx个数与 的图像特点,分配每个函数值 被几个 所对应,从而确定 的取值范围,进而决定fxif i参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存在例如:若函数 f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(2,2)内有一个零点,则 f(2)f(2)的值 ( )A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定解答:若函数 f(x)在(2,2)内有一个零点,该零点可分两种情况:(1)该零点是变号零点,则f(2)f(
8、2)0,因此选 D易错警示: 警示 1:错误认为该零点是变号零点;警示 2:不知道非变号零点这种情况方法剖析:方程的根或函数零点的存在性问题,可以根据区间端点处的函数值的正负来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处函数值的正负,作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性,事实上,当 f(x)在(2,2)内有一个零点时,f(2)f(2)的符号不能确定2要注意对于在区间a,b上的连续函数 f(x),若 x0是 f(x)的零点,却不一定有
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